中考专项复习与圆有关的位置关系

第二十六讲与圆有关的位置关系一、点与圆的位置关系1.设圆O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d.则:点P在圆外⇔____;点P在圆上⇔____;点P在圆内⇔____.2.确定圆的条件:不在同一条直线上的三个点确定_____圆.drd=rdr一个3.三角形的外心:三角形外接圆的圆心,是三角形三边的___________的交点.外心到三角形三个顶点的距离相等.垂直平分线二、直线与圆的位置关系1.三种位置关系:_____、_____、_____.2.切线的定义、性质与判定:(1)定义:和圆有_____公共点的直线.(2)性质:圆的切线_______过切点的直径.(3)判定:经过半径的外端,并且_____于这条半径的直线是圆的切线.相交相切相离唯一垂直于垂直3.切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长_____,这一点和圆心的连线_____两条切线的夹角.相等平分三、三角形的内切圆1.定义:与三角形各边都_____的圆.2.三角形的内心:三角形_______的圆心,是三角形三条_________的交点.内心到三角形三边的距离相等.相切内切圆角平分线【自我诊断】(打“√”或“×”)1.已知⊙O的半径为r,点P到点O的距离大于r,那么点P的位置一定在⊙O的外部.()2.经过三个点一定可以作圆.()3.如果圆心O到直线l上一点A的距离等于半径R,则直线l与圆的位置关系是相切.()√××4.以等腰三角形顶角的顶点为圆心,底边上的高为半径的圆与底边相切.()5.三角形一定有内切圆.()√√考点一直线与圆位置关系的判断【例1】(2016·湘西中考)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,以点C为圆心,以2.5cm为半径画圆,则⊙C与直线AB的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定【思路点拨】过点C作CD⊥AB于点D,求出CD的长和⊙C的半径比较,得出结论.【自主解答】选A.过C作CD⊥AB于点D,如图所示.∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm,∴AB==5cm,∵△ABC的面积=AC·BC=AB·CD,∴×4×3=×5CD,∴CD=2.4cm2.5cm,即dr,∴以2.5cm为半径的⊙C与直线AB的关系是相交.22ACBC12121212【名师点津】判断直线与圆位置关系的两种方法1.用直线与圆交点的个数来判断.2.用圆心到直线的距离与半径的大小来判断.【备选例题】(2015·烟台中考)如图,直线l:y=-x+1与坐标轴交于A,B两点,点M(m,0)是x轴上一动点,以点M为圆心,2个单位长度为半径作⊙M,当⊙M与直线l相切时,m的值为________.12【解析】∵直线l:y=-x+1与坐标轴交于A,B两点,∴A(0,1),B(2,0).∴AB=∵⊙M与直线l相切,⊙M的半径为2,∴sin∠ABO=解得m=2-2或2+2.答案:2-2或2+21222125.12.|m2|55555【题组过关】1.(2016·梧州中考)已知半径为5的圆,其圆心到直线的距离是3,此时直线和圆的位置关系为()A.相离B.相切C.相交D.无法确定【解析】选C.半径r=5,圆心到直线的距离d=3,∵53,即rd,∴直线和圆相交.2.(2016·台州中考)如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,以边AB的中点O为圆心,作半圆与AC相切,点P,Q分别是边BC和半圆上的动点,连接PQ,则PQ长的最大值与最小值的和是()世纪金榜导学号1610440132A.6B.2131C.9D.3【解析】选C.∵AB2=AC2+BC2,∴△ABC是直角三角形,∴∠C=90°,设AC切⊙O于点D,连接OD,∴OD⊥AC,∴∠ADO=∠C=90°,∴OD∥BC.又O是AB中点,∴AD=CD=4,DO=BC=3.∴OE=OF=3.当Q在E处,P在B处时,PQ最大,即PQ=AB-AE=10-(AO-OE)=10-(5-3)=8,过O作OM⊥BC交⊙O于点N,当Q在N处,P在M处时,PQ最小,此时OM=AC=4,MN=4-3=1,故PQ最大值与最小值和为8+1=9.12123.(2016·无锡中考)如图,△AOB中,∠O=90°,AO=8cm,BO=6cm,点C从A点出发,在边AO上以2cm/s的速度向O点运动,与此同时,点D从点B出发,在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动,过OC的中点E作CD的垂线EF,则当点C运动了________s时,以C点为圆心,1.5cm为半径的圆与直线EF相切.【解析】当以点C为圆心,1.5cm为半径的圆与直线EF相切时,CF=1.5,∵AC=2t,BD=t,∴OC=8-2t,OD=6-t,∵点E是OC的中点,∴CE=OC=4-t,∵∠EFC=∠O=90°,∠FCE=∠DCO,∴△EFC∽△DOC,∴323212EFCFODOC，由勾股定理可知:CE2=CF2+EF2,∴(4-t)2=解得:∵0≤t≤4,∴t=.答案:33(6t)3OD92EF2OC282t8，（）2239()()28，1747tt88或，178178考点二切线的性质与判定【考情分析】切线的性质与判定是中考命题的热点,两者单独考查或者综合考查,常常结合直角三角形、勾股定理、相似三角形等进行命题,呈现形式多样化,有选择题、填空题和解答题.命题角度1:切线的性质【例2】(2017·南京中考)如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点.连接AO并延长,交PB的延长线于点C,连接PO,交⊙O于点D.世纪金榜导学号16104402(1)求证:PO平分∠APC.(2)连接DB,若∠C=30°,求证DB∥AC.【思路点拨】(1)连接OB,根据切线的性质和角平分线的概念可证明.(2)根据角平分线的性质可证明△ODB是等边三角形,然后根据平行线的判定得证.【自主解答】(1)∵PA,PB是⊙O的切线,∴PO平分∠APC.(2)如图,连接OB.∵AO⊥AP,OB⊥BP,∴∠CAP=∠OBP=90°.∵∠C=30°,∴∠APC=90°-∠C=90°-30°=60°.∵PO平分∠APC,∴∠OPC=∠APC=×60°=30°,∴∠POB=90°-∠OPC=90°-30°=60°.又OD=OB,∴△ODB是等边三角形,∴∠OBD=60°.∴∠DBP=∠OBP-∠OBD=90°-60°=30°.∴∠DBP=∠C,∴DB∥AC.1212命题角度2:切线的判定【例3】(2017·怀化中考)如图,已知BC是⊙O的直径,点D为BC延长线上的一点,点A为圆上一点,且AB=AD,AC=CD.(1)求证:△ACD∽△BAD.(2)求证:AD是⊙O的切线.【思路点拨】(1)根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠B,由于∠D=∠D,于是得到△ACD∽△BAD.(2)连接OA,根据等腰三角形的性质得到∠B=∠OAB,得到∠OAB=∠CAD,由BC是⊙O的直径,得到∠BAC=90°即可得到结论.【自主解答】(1)∵AB=AD,∴∠B=∠D,∵AC=CD,∴∠CAD=∠D,∴∠CAD=∠B,∵∠D=∠D,∴△ACD∽△BAD.(2)连接OA,∵OA=OB,∴∠B=∠OAB,∴∠OAB=∠CAD,∵BC是⊙O的直径,∴∠BAC=90°,∴∠BAO+∠OAC=∠DAC+∠OAC=90°,∴OA⊥AD,∴AD是⊙O的切线.命题角度3:切线长定理【例4】(2016·西宁中考)如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.世纪金榜导学号16104403(1)求证:CD是⊙O的切线.(2)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E,BC=6,.求BE的长.AD2BD3【思路点拨】(1)求证CD是⊙O的切线,先连接OD,证明∠ODC=90°,本题利用等量代换即可求得∠ODC=90°.(2)由∠CDA=∠CBD,∠C=∠C可知△CDA∽△CBD,又因为,可求得CD的长.由切线长定理可得,ED=EB.在Rt△EBC中用勾股定理可求得EB的长度.AD2BD3【自主解答】(1)连接OD,∵OB=OD,∴∠OBD=∠BDO,∵∠CDA=∠CBD,∴∠CDA=∠ODB,又∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°(直径所对的圆周角是直角),∴∠ADO+∠ODB=90°,∴∠ADO+∠CDA=90°,即∠CDO=90°,∴OD⊥CD,∵OD是⊙O的半径,∴CD是⊙O的切线(经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线).(2)∵∠C=∠C,∠CDA=∠CBD,∴△CDA∽△CBD,CDAD,BCBDAD2,BC6,CD4,BD3∵CE,BE是⊙O的切线,∴BE=DE,BE⊥BC,∴BE2+BC2=EC2,即BE2+62=(4+BE)2,解得BE=.52命题角度4:切线的性质和判定的综合应用【例5】(2017·丽水中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的⊙O交AB于点D,切线DE交AC于点E.世纪金榜导学号16104404(1)求证:∠A=∠ADE.(2)若AD=16,DE=10,求BC的长.【思路点拨】(1)只要证明∠A+∠B=90°,∠ADE+∠B=90°即可解决问题.(2)首先证明AC=2DE=20,在Rt△ADC中,DC==12,设BD=x,在Rt△BDC中,BC2=x2+122,在Rt△ABC中,BC2=(x+16)2-202,可得x2+122=(x+16)2-202,解方程即可解决问题.222016【自主解答】(1)连接OD,∵DE是⊙O的切线,∴∠ODE=90°,∴∠ADE+∠BDO=90°.∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°.又∵OD=OB,∴∠B=∠BDO,∴∠A=∠ADE.(2)连接CD,∵∠ADE=∠A,∴AE=DE.∵BC是⊙O的直径,∠ACB=90°,∴EC是⊙O的切线,∴DE=EC,∴AE=EC.又∵DE=10,∴AC=2DE=20.在Rt△ADC中,DC==12,222016设BD=x,在Rt△BDC中,BC2=x2+122,在Rt△ABC中,BC2=(x+16)2-202,∴x2+122=(x+16)2-202,解得x=9.∴BC==15.22129【名师点津】1.若已知直线与圆的公共点,证该直线为圆的切线,则采用判定定理法,其基本思路是:当已知点在圆上时,连接过这点的半径,证明这条半径与直线垂直即可,可简述为:有切点,连半径,证垂直.2.若未知直线与圆的交点,证该直线为圆的切线,则采用数量关系法,其基本思路是:过圆心作直线的垂线段,证明垂线段的长等于圆的半径,可简述为:无切点,作垂线,证半径.【题组过关】1.(2017·自贡中考)如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,PO交⊙O于点C,连接BC,若∠P=40°,则∠B等于()A.20°B.25°C.30°D.40°【解析】选B.∵PA切⊙O于点A,∴∠PAB=90°,∵∠P=40°,∴∠POA=90°-40°=50°,∵OC=OB,∴∠B=∠BCO=∠AOC=25°.122.(2017·泰安中考)如图,圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M,若∠ABC=55°,则∠ACD等于()A.20°B.35°C.40°D.55°【解析】选A.∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,∴∠ADC+∠ABC=180°,∠ACB=90°,∴∠ADC=180°-∠ABC=125°,∠BAC=90°-∠ABC=35°,∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M,∴∠MCA=∠ABC=55°,∠AMC=90°,∵∠ADC=∠AMC+∠DCM,∴∠DCM=∠ADC-∠AMC=35°,∴∠ACD=∠MCA-∠DCM=55°-35°=20°.3.(2017·镇江中考)如图,AB是⊙O的直径,AC与⊙O相切,CO交⊙O于点D.若∠CAD=30°,则∠BOD=________.世纪金榜导学号16104405【解析】由AC与⊙O相切可得∠CAO=90°,而∠CAD=30°,故∠OAD=