6-可靠性设计常用概率分布

可靠性设计常用概率分布一、离散型随机变量概率分布1.两点分布两点分布又称为(0,1)分布。该分布数学模型的随机试验只可能有两种试验结果，如果其中一种结果用{X=1}来表示，另一种用{X=0}来表示，而它们的概率分布是P{X=1}=p，P{X=0}=1－p，0p1，则称随机变量X服从两点分布，或称X具有两点分布。两点分布的分布列或分布律可写为：X=xk10P{X=xk}=pkp1－p两点分布的数学特征为pqpxE01)(pqppppxD)1()(22．二项分布二项分布又称伯努利分布。二项分布的分布律为knkknqpCkXP)(k=0,1,2…,n二项分布的数学特征为nknpkXkPXE0)()()1()()]([)(02pnpnpqkXPXEkXDnk3．泊松分布泊松分布的分布律为ekkXPk!)(k=0,1,2…,n；λ为泊松分布的参数且λ0。泊松分布的数学特征为0)()(kkXkPXE02)()]([)(kkXPXEkXD4．几何分布令p为失败的概率，q=1－p为成功的概率，X为试验的总次数，则随机变量X的概率分布为pqkXPk1)(k=0,1,2…式中：-1p1，p+q=1。此时称随机变量X服从几何分布。几何分布有时称为“离散型等候时间分布”，即“一直等到出现第一次失败为止这样的等候试验次数的分布”，是用来描述某个试验“首次成功”的概率模型。几何分布的数学特征为pXE1)(2)(pqXD5．超几何分布设k表示成功次数，且n－k表示失败，从N中抽出n的随机样本，则超几何分布随机变量X的概率分布为nNknrNkrCCCkXP)(k=0,1,2…,n超几何分布的数学特征为NnrXE)()1())(()(2NNnNrNnrXD二、连续型随机变量概率分布1.正态分布正态分布又称高斯分布，是描述产品随机失效比较集中发生现象的一种最常用的分布。此分布的失效率术语耗损失效率，它可以很好的描述在平均寿命μ附近失效集中发生的现象，比如磨损老化现象。正态分布常用来研究测量许多相互独立的随机因素所引起的误差，这些偶然因素每一个的影响都很小，而且相互独立。正态分布函数为：222)(21)(xexfx正态分布的累积失效分布函数)(xF、可靠度函数)(xR和故障率函数)(x分别为xxxdxedxxfxF222)(21)()()(1)(xFxR)()()(xRxfx正态分布的数学特征为)(xE)(xD2.截尾正态分布若X是一个非负的随机变量，且X的密度函数为])(21exp[21)(2xaxf则称X服从截尾正态分布。式中，0a且为常数，)(a，它保证1)(0dxxf。222)(21)(xexfx截尾正态分布的分布函数)(xF、可靠度函数)(xR和故障率函数)(x分别为)(1)(11)(xxF)(1)(1)(1)(xxFxR)(1)()()()(1xxxRxfx截尾正态分布的数学特征为)()(axE)(1)(1)(222aaxD3.对数正态分布若随机变量X的对数Xln服从),(~ln2NX，则称服从对数正态分布，记作),ln(~2X。其分布密度函数为]2)(lnexp[21)(22xxxfx0对数正态分布的分布函数)(xF、可靠度函数)(xR和故障率函数)(x分别为dxexxFxx02)(ln22121)(令xZln则)ln(21)(22xdZeZFZZ从而可得出，可靠度函数)(xR和故障率函数)(x分别为dsexFxRxxln2)(2221)(1)()]ln(1[)ln()(tttx对数正态分布的数学特征为)(xEXxDln)(4.指数分布指数分布是电子产品可靠性工程中最重要的分布。多数电子产品，包括大部分仪器仪表在内，在剔除早期失效后，到发生元器件或材料的老化变质之前的随机失效阶段，其寿命服从指数分布。指数分布的密度函数为式中，λ为指数分布的参数（常数）。指数分布的分布函数（即累积失效分布函数）和可靠度函数为ttttedtedttftF1)()(0t0tetFtR)(1)(t0指数分布情况下的失效率为)()()(tRtft指数分布的数学特征为1)()(0dtetdttftTEmt22221)]([)()(TEdttftTD5.威布尔分布威布尔分布是一种含有三个参数的分布，其概率密度函数为mtmetmtf)(1)()(0,0,mt威布尔分布的分布函数（即累积失效分布函数）、可靠度函数和失效率函数为mmtxmtrtedxexmdxxftF)(11)()(mtetFtR)()(1)(1)()()(mtmtRtft指数分布的数学特征为)11()()(2mdttftTE)]11()21([)]([)()(2222mmTEdttftTD三、抽样分布1.2分布若nXXX,,,21是来自样本总体)1,0(~NX的一个样本，且iX与总体X同分布，即)1,0(NXi，则统计量222212nXXX服从自由度为n的2分布，记为)(~22n。统计量X遵从2分布，则其分布密度函数为)2(122)2(21);(vvexvvxf,2,1,0vx式中)2/(v为伽马函数。v为自由度，是统计量中独立的自由度变量的个数。2分布的数学特征为vvE))((2vvD2))((2)(2v分布具有可加性，若对)(1221v，)(2222v且21与22相互独立，则)(~2122221vv2.t分布t分布常用于区间估计、正态总体的假设检验和机械概率设计之中。若总体)1,0(~NX，)(~2vY，且X与Y相互独立，则称统计量vYXT服从自由度为v的t分布，记为)(~vtT，其分布密度为2121)2()21()(vvtvvvtf,2,1,vt式中为伽马函数。t分布的数学特征为0)(TE1v2)(vvTD2v