3.2空间向量在立体几何中应用

1/153.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程学习目标1.掌握直线的方向向量、直线的向量方程有关概念，并会用数学语言表述2.能正确运用向量方法证明线与线、线与面、面与面的平行和垂直关系3.能根据具体问题合理选定基底教学过程1.用向量表示直线或点在直线上的位置在平面向量的学习中，我们得知①M、A、B三点共线②A、B是直线l上任意两点。O是l外一点.动点P在l的充要条件是).(1RtOBtOAtOP）（，称作直线l的向量参数方程式，实数t叫参数。给定一个定点A和一个向量a，如图所示，再任给一个实数t,以A为起点作向量.taAP①这时点P的位置被完全确定，容易看到，当t在实数集R中取遍所有值时，点P的轨迹是一条通过点A且平行于向量a的一条直线l.反之，在直线l上任取一点P，一定存在一个实数t，使.taAP向量方程①通常称作直线l的参数方程。向量a称为该直线的方向向量。注:⑴向量方程两要素:定点A,方向向量a⑵t为参数,且t是实数,反向和同向和aAPtaAPt00直线的向量方程①,还可作如下的表示:对空间任一个确定的点O(如图所示),点P在直线l上的充要条件是存在惟一的实数t,满足等式.taOAOP②如果在l上取,aAB则②式可化为)(OAOBtOAABtOAOP即OBtOAtOP)1(③①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程注:⑴当t=21时,OBOAOP2121.此时P是线段AB的中点,这就是线段AB中点.2/15的向量表达式.⑵③中OBOAOP、、有共同的起点.⑶③中OBOA、的系数之和为1.例1．已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，以AB的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上两点，且分别满足条件（1）AP：PB=1：2；（2）AQ：QB=－2，求点P和点Q的坐标。2.用向量方法证明空间中有关平行的问题（1）线线平行与向量的关系设直线l1和l2的方向向量分别为ν1和ν2，则，重合与或212121////vvllll)0(221vvv证明两直线平行方法思路：在两直线上分别取不同的两点，得到两向量，转化为证明两向量平行。（2）线面平行与向量的关系已知两个不共线向量ν1和ν2与平面共面，一直线l的一个方向向量为ν，则.,!//21vyvxvyxll，使实数对或证明线面平行的方法思路：求面的法向量，在直线找不同两点得一向量，证明这一向量与法向量垂直（即证明数量积为0），则可得线面平行。（3）面面平行与向量的关系已知两个不共线向量ν1和ν2与平面共面，.//////21vv且重合与或证明面面平行的方法思路：求两平面的法向量，转化为证明两法向量平行，则两平面平行。例2．如图，已知正方体ABCD－A’B’C’D’，点M，N分别是面对角线A’B与面对角线A’C’的中点，求证：MN//侧面AD’；MN//AD’；并且MN=.21DAA'D'C'B'CDABNM3/153.用向量方法证明两直线垂直或两直线成角的问题设两条直线所成的角为θ(锐角)，则直线方向向量间的夹角与θ相等或互补线线垂直、线线成角与向量的关系：设直线l1和l2的方向向量分别为ν1和ν2，则.|,cos|cos,212121vvvvll（1）用向量法证两直线垂直的步骤：A.不以共面的三向量为基底，B.用基底表示欲证的两直线的方向向量，C.验证这两个方向向量的数量积为零。注：空间四边形中，有两组对边垂直，则第三组对边也垂直。.)3(cos)2()1(.,2,90,1,,,4.11111111111MCBACBBABNAABANMAABCACBCAABCCBAABC求证的值；求的长；求的中点、是分别、棱中底面直三棱柱如图例.1xyzOzyxCCCBCAC如图空间直角坐标系轴建立、、所在直线为、、为原点，解：以小结：1.直线的向量方程；2.用向量方法证明直线与直线平行；3.用向量方法证明直线与平面平行；4.用向量方法证明平面与平面平行；5.用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角；6.A，B，C，三点不线，四点A，B，C，M共面的充要条件。),2,1,0(),0,0,0(),0,1,0(),2,0,1()2(11BCBA依题意有,3),2,1,0(),2,1,1(1111CBBACBBA..5,611CBBA.30101cos111111CBBACBBACBBA),2,21,21(),2,0,0()3(1MC依题意得)0,21,21(),2,1,1(11MCBA，00212111MCBA.11MCBA4/153.2.2平面的法向量与平面的向量表示学习目标1、理解平面的法向量的概念，了解平面的向量表示式2、掌握线面垂直的判定定理以及三垂线定理和三垂线定理的逆定理3、会证明两平面的平行和垂直重点：平面法向量的概念及应用，正射影的概念，三垂线定理及逆定理。难点：平面法向量的理解及灵活运用，三垂线定理的证明思路及三垂线定理的应用。教学过程1、法向量的概念定义：已知平面，如果向量n的基线与平面垂直，则向量n叫做平面的法向量或说向量n与平面正交。2、直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面已知：a,b是平面内的两条相交直线，且直线,nanb求证：.n证明：见课本思考：设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，适合条件0AMn的点M的集合构成什么样的图形？结论：设12,nn分别是平面,的法向量，则有例1：已知点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),其中0abc，求平面ABC的一个法向量反思与变式练习（1）、已知正方体''''ABCDABCD，写出平面ABC和平面'ABC的一个法向量（2）、已知平面经过点O（0,0,0），且e=（1,1,1）是的法向量，M（x,y,z）是平面内任意一点，则x,y,z满足的关系式是_____________（3）、已知A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),求平面ABC的单位法向量3、正射影定义：已知平面和一点A,，过点A作的垂线l与相交于点'A，则点'A就是点A平面内的正射影，以下简称射影。平面内的任一点在内的射影都是它自身。图形F上所有的点在平面内的射影所成的集合'F，叫做图形F在平面内的射影如果一条直线AB和平面相交于点B，但不和垂直，那么直线AB叫做这个平面的斜线。斜线和平面的交点B叫做斜足，斜线上一点A与斜足B之间的线段叫做斜线段AB。121212////0nnnnnn或与重合5/154、三垂线定理如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直例2已知：AB，AC分别是平面的垂线和斜线，BC是ＡＣ在内的射影，l且lBC。求证：lAC反思与变式练习如果在三垂线定理中，已知条件改为：直线l//平面，并且直线l垂直于斜线AC在平面内的射影BC，直线l是否还垂直与斜线AC？１、如图，在RtABC中，90C，ABCPC平面，则其中（1）与PC垂直的直线有________________（2）与AP垂直的直线有_________________（3）直角三角形有_________________2、设平面的法向量(1,2,-2),平面的法向量（-2，-4，k）若//，则k等于_____________若，则k等于___________3、已知正方体1111ABCDABCD中，,EF分别为1,BBCD的中点，求证：1DF平面ADE。4、已知正方体''''ABCDABCD.求证：平面''//ABD平面'BDC.5、如图，底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，且SAAB，E是SC中点.求证：平面BDE平面ABCD3.2.3直线与平面的夹角教学目标知识目标：（理解定义、会求角）1.理解斜线与平面所成角的定义，体会夹角定义的唯一性，合理性；2.会求直线AB与平面α所成的角。能力目标（定性到定量）1.培养构建能力、转化与化归能力、观察思考能力和空间想象能力；2.体验从“定性”推理到“定量”计算的转化，提高分析情感目标（热情与主动）1.激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；2.感受和体会数学与生活的密切关系，激发“学数学用数学”的热情。教材分析地位：线面夹角是立体几何的重要概念，求线面夹角是立体几何在新教材高考中命题的热点AA'DBB'D'CC'yzxCADSyzxEB6/15内容之一。作用：与异面直线所成角、二面角共同构成立体几何求角问题的主体内容，对思维形式由空间向平面转化，构建数学模型、向量应用都起到了深化的作用。重点：1.斜线和平面所成的角（或夹角）的概念；2.如何求斜线与平面所成的角。难点：1.斜线与平面所成的角的求解；2.构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及法向量的坐标。教学过程一.复习斜线在平面上的正射影一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影。二.新课引入1.直线与平面所成角思考：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段AB、AC、AD、AE…中，那一条最短？回答：垂线段比任何一条斜线段都短；射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；概念：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角(斜线与平面的夹角)。一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0的角；一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角；直线和平面所成角的范围是[0，90]。2.最小角定理思考：学生活动创设情境，思考笔座能联系立体几何中的哪部分内容？（引出直线与平面的位置关系）问题1：直线与平面斜交时，直线与平面的夹角该怎样来定义呢？问题2：如图，从直观上，斜线OA与平面内的这些直线哪一个成的角最小？为什么？7/15向量证法OAOBAmmmB由于是单位向量，故有m因此OAOBBAOAOmBm在直线OM上取单位向量，则，即。m0mBABAm2||cos||cosOAOB1ABOM2m2||coscos||OBOA1||cos||OBOA12coscoscos所以因为0≤cosθ2≤1，所以cosθ≤cosθ1，又因为在第一象限单调减，所以θ1≤θ。概念（最小角定理）：斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角。3.求直线与平面所成角的基本方法(1)几何求法：找出A1B在平面A1B1CD内的射影几何求法111BCABCD平面所以A1M是A1B在平面A1B1CD内的射影。解：连接BC1，交B1C于M，连接A1M。111BCBCCB平面111ABBC1111ABBCB11111111111111ABBCABBBABBCCBBCBBB平面11BCBCABCDA1B1C1D1M正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角。a在正方体ABCD-A1B1C1D1中，各面均为正方形，设其棱长为(2)向量求法：利用法向量与直线上向量所成角设斜线的方向向量为a，平面的法向量为n，则向量a与n的夹角为cos〈a,n〉=a⋅n|a||n|，sinθ=|cos〈a,n〉|=|a⋅n|a||n||8/15向量求法解：建立如图所示坐标系，设正方形边长为1，则100