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第2课时一元二次不等式、绝对值不等式及其解法2014高考导航考纲展示备考指南1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．4.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|.(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c;|ax＋b|≥c;|x－a|＋|x－b|≥c.1.一元二次不等式、绝对值不等式的解法及三个二次间的关系问题是命题热点．2.考查题型多为客观题,有时会在解答中出现交汇命题，着重考查二次不等式的解法，属中、低档题.本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现知能演练轻松闯关教材回顾夯实双基基础梳理1.一元一次不等式的解法一元一次不等式ax＞b(a≠0)的解集为(1)当a＞0时，解集为___________．(2)当a＜0时，解集为___________．{x|x＞ba}{x|x＜ba}2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集_____________________________ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集______________________{x|xx2或xx1}R{x|x1＜x＜x2}∅∅{x|x≠－b2a}思考探究不等式ax2＋bx＋c0(a≠0)的解集为R的充要条件是什么？提示：a0，Δ0.3．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤________，当且仅当_______时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么___________________，当且仅当________________时，等号成立．|a|＋|b|ab≥0|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥0思考探究2．绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么？提示：当a，b不共线时，|a＋b||a|＋|b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边．4．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集(2)|ax＋b|≤c(c0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔____________________；②|ax＋b|≥c⇔________________________.不等式a0a＝0a0|x|a_________________________|x|a_________________________________{x|－axa}∅∅{x|xa或x－a}{x|x∈R且x≠0}R－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c课前热身1．(教材习题改编)不等式x2－3x＋2＜0的解集为()A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)B．(－2，－1)C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D．(1,2)答案：D2．不等式组x2－10x2－3x0的解集是()A．{x|－1x1}B．{x|0x3}C．{x|0x1}D．{x|－1x3}解析：选C.由x2－10x2－3x0，得－1x10x3，∴0x1.3．设一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为{x|－1＜x＜13}，则ab的值为()A．－6B．－5C．6D．5答案：C4．若不等式x2－x≤0的解集为M，函数f(x)＝ln(1－|x|)的定义域为N，则M∩N为________．解析：由x2－x≤0，解得0≤x≤1，∴M＝{x|0≤x≤1}．又1－|x|0，解得－1x1，∴N＝{x|－1x1}，则M∩N＝{x|0≤x1}．答案：[0,1)5．(2012·高考陕西卷)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．解析：|x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.答案：[－2,4]考点探究讲练互动例1考点突破考点1一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)2x2＋4x＋30；(2)－3x2－2x＋8≥0；(3)12x2－axa2(a∈R)．【解】(1)∵Δ＝42－4×2×30，∴方程2x2＋4x＋3＝0没有实根，二次函数y＝2x2＋4x＋3的图象开口向上，与x轴没有交点，即2x2＋4x＋30恒成立，所以不等式2x2＋4x＋30的解集为R.(2)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，∵Δ＝1000，∴方程3x2＋2x－8＝0的两根为－2，43，结合二次函数y＝3x2＋2x－8的图象可知原不等式的解集为{x|－2≤x≤43}．(3)由12x2－ax－a20⇔(4x＋a)(3x－a)0⇔(x＋a4)(x－a3)0，①a0时，－a4a3，解集为{x|x－a4或xa3}；②a＝0时，x20，解集为{x|x∈R且x≠0}；③a0时，－a4a3，解集为{x|xa3或x－a4}．【方法感悟】(1)解一元二次不等式的一般步骤：①对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；②计算相应的判别式；③当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；④根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式可考虑因式分解，然后比较两根大小，若不能分解因式，则可对判别式Δ进行分类讨论．跟踪训练1．解下列不等式：(1)8x－1≤16x2；(2)x2－2ax－3a2＜0(a＜0)．解：(1)原不等式转化为16x2－8x＋1≥0，即(4x－1)2≥0，∴x∈R，故原不等式的解集为R.(2)原不等式转化为(x＋a)(x－3a)＜0.∵a＜0，∴3a＜－a，∴原不等式的解集为{x|3a＜x＜－a}．考点2三个“二次”间的关系(2012·高考江苏卷)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为__________．例2【解析】由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝(x＋a2)2＋b－a24.∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－a24＝0，即b＝a24.∴f(x)＝(x＋a2)2.又∵f(x)＜c，∴x＋a22＜c，即－a2－c＜x＜－a2＋c.∴－a2－c＝m，①－a2＋c＝m＋6，②②－①，得2c＝6，∴c＝9.【答案】9【题后感悟】二次函数、一元二次不等式、一元二次方程之间有着密切关系．(1)一元二次不等式解集的端点就是对应的一元二次方程的解.(2)不等式的解集结构与二次项系数有直接的关系．(3)二次函数的图象能直观反映一元二次不等式解集的情况．跟踪训练2．若不等式－4＜2x－3＜4与不等式x2＋px＋q＜0的解集相同，则pq＝__________.解析：由－4＜2x－3＜4，得－12＜x＜72.由题意得72－12＝－p，(－12)×72＝q，即p＝－3，q＝－74，∴pq＝127.答案：127例3考点3一元二次不等式的应用(2013·杭州模拟)某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围．【解】(1)依题意，y＝100(1－x10)·100(1＋850x)．又售价不能低于成本价，所以100(1－x10)－80≥0，即x≤2，所以y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)，定义域为x∈[0,2]．(2)由题意得20(10－x)(50＋8x)≥10260，化简得8x2－30x＋13≤0.解得12≤x≤134.所以x的取值范围是[12，2]．【题后感悟】求解不等式应用题一般可按如下四步进行：(1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系．(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系．(3)解不等式．(4)回归实际问题．跟踪训练3．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对,同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：是谁超速行驶，在此事故中应负主要责任？解：由题意列出不等式，对甲车型：0.1x＋0.01x2＞12，解得x＞30(x＜－40舍去)；对乙车型：0.05x＋0.005x2＞10，解得x＞40(x＜－50舍去)，从而x甲＞30km/h，x乙＞40km/h，经比较知乙车超过限速，在此事故中应负主要责任．考点4绝对值不等式的解法(2012·高考课标全国卷)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．例4【解】(1)当a＝－3时，f(x)＝－2x＋5，x≤2，1，2x3，2x－5，x≥3.当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；当2x3时，f(x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4，所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．【名师点评】(1)形如|x－a|±|x－b|≥c不等式的解法常用零点分段讨论法，其步骤为：①求零点；②划分区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值．(2)上述不等式也可用|x－a1|±|x－a2|的几何意义去求解集．跟踪训练4．设函数f(x)＝2|x－1|＋|x＋2|.(1)求不等式f(x)≥4的解集；(2)若不等式f(x)|m－2|的解集是非空集合，求实数m的取值范围．解：(1)f(x)＝－3x，x≤－2－x＋4，－2x≤1，3x，x1令－x＋4＝4或3x＝4，得x＝0或x＝43，所以不等式f(x)≥4的解集是{x|x≤0或x≥43}．(2)f(x)在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以f(x)≥f(1)＝3，由于不等式f(x)|m－2|的解集是非空集合，所以|m－2|3，解之得，m－1或m5，即实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(5，＋∞)．方法感悟1．解一元二次不等式时，首先要将一元二次不等式化成标准型，即ax2＋bx＋c0或ax2＋bx＋c0的形式，其中a0.求解时要善于联想：(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；(2)方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，运用好“三个二次”间的关系．2．解不等式的基本思路是等价转化，分式不等式整式化,使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式，进而获得解决．名师讲坛精彩呈现例难题易解破解一元二次不等式恒成立问题(2013·包头模拟)在实数集上定义运算：xy