2014届高考数学一轮复习课件：第六章第4课时基本不等式(新人教A版)

第4课时基本不等式2014高考导航考纲展示备考指南1.了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1.利用基本不等式求最值是命题热点．2.客观题突出变形的灵活性，主观题在考查基本运算能力的同时又着重考查化归思想、分类讨论思想的应用．3.各种题型都有,难度中、低档.本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现知能演练轻松闯关教材回顾夯实双基基础梳理1．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：______________.(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．a0，b0a＝b2．常用的几个重要不等式(1)a2＋b2≥_____(a，b∈R)；(2)ab_____(a＋b2)2(a，b∈R)；(3)a2＋b22_____(a＋b2)2(a，b∈R)；(4)ba＋ab≥____(a，b同号且不为零)．2ab≤≥2思考探究上述四个不等式等号成立的条件是什么？提示：满足a＝b.3．算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为_______，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_______时，x＋y有_____值是_______.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当_______时，xy有______值是_____.(简记：和定积最大)a＋b2x＝y最小x＝y最大2pp24课前热身1．(教材习题改编)函数y＝x＋1x(x＞0)的值域为()A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B．(0，＋∞)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)答案：C2．已知x，y＞0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为()A.14B.18C.12D.116答案：D3．(2011·高考上海卷)若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2＞2abB．a＋b≥2abC.1a＋1b＞2abD.ba＋ab≥2解析：选D.∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误．对于B、C，当a＜0，b＜0时，明显错误．对于D，∵ab＞0，∴ba＋ab≥2ba·ab＝2.解析：由基本不等式得a＋b≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取到等号；ab≤a＋b22＝14，当且仅当a＝b＝12时取到等号．4．已知a，b∈(0，＋∞)，若ab＝1，则a＋b的最小值为________；若a＋b＝1，则ab的最大值为________．答案：214解析：设矩形的长、宽分别为m、n，则m2＋n2＝100，S＝mn≤m2＋n22＝50.5．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，最大的一个矩形的面积为________．答案：50考点1利用基本不等式求最值(1)已知x＞1，求f(x)＝x＋1x－1的最小值；(2)已知0＜x＜25，求y＝2x－5x2的最大值；(3)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求8x＋2y的最小值．考点探究讲练互动例1考点突破【解】(1)∵x＞1，∴x－1＞0，∴f(x)＝x＋1x－1＝x－1＋1x－1＋1≥2x－1·1x－1＋1＝2＋1＝3.当且仅当x－1＝1x－1，即x＝2时，等号成立．∴f(x)的最小值为3.(2)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝15·5x·(2－5x)．∵0x25，∴5x2,2－5x0，∴5x(2－5x)≤(5x＋2－5x2)2＝1，∴y≤15，当且仅当5x＝2－5x，即x＝15时，ymax＝15.(3)∵x0，y0，且x＋y＝1，∴8x＋2y＝(8x＋2y)(x＋y)＝10＋8yx＋2xy≥10＋28yx·2xy＝18，当且仅当8yx＝2xy，即x＝23，y＝13时等号成立，∴8x＋2y的最小值是18.【题后感悟】利用基本不等式求最值必须具备三个条件：一正、二定、三相等．“一正”就是各项必须为正数．“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值．“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号，则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易出现错误的地方．跟踪训练1．(1)已知x0，则f(x)＝2＋4x＋x的最大值为__________；(2)当x＞0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为__________；(3)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值为__________．解析：(1)∵x0，∴－x0，∴f(x)＝2＋4x＋x＝2－[4－x＋(－x)]．∵－4x＋(－x)≥24＝4，当且仅当－x＝4－x，即x＝－2时等号成立．∴f(x)＝2－[4－x＋(－x)]≤2－4＝－2，∴f(x)的最大值为－2.(2)∵x＞0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．(3)xy＝2x＋y＋6≥22xy＋6，令xy＝t2(t＞0)，可得t2－22t－6≥0，注意到t＞0，解得t≥32，故xy的最小值为18.答案：(1)－2(2)1(3)18考点2利用基本不等式解决实际问题围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用．例2【解】(1)设矩形场地的另一边长为am，则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.由已知xa＝360，得a＝360x，所以y＝225x＋3602x－360(x2)．(2)∵x2，∴225x＋3602x≥2225x×3602x＝10800.∴y＝225x＋3602x－360≥10440，当且仅当225x＝3602x时，等号成立，即当x＝24m时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10440元．【名师点评】(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．(2)求所列函数的最值，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．跟踪训练2．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．解：(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x(x＋1)．设平均每天所支付的总费用为y1元，则y1＝1x[9x(x＋1)＋900]＋6×1800＝900x＋9x＋10809≥2900x·9x＋10809＝10989，当且仅当9x＝900x，x＝10时取等号，即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．(2)若厂家利用此优惠条件后,则至少每隔35天购买一次面粉．设该厂利用此优惠条件，每隔x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，则y2＝1x[9x(x＋1)＋900]＋6×1800×0.9＝900x＋9x＋9729(x≥35)．令f(x)＝x＋100x(x≥35)，x2x1≥35，则f(x1)－f(x2)＝(x1＋100x1)－(x2＋100x2)＝x2－x1100－x1x2x1x2.∵x2x1≥35，∴x2－x10，x1x20,100－x1x20.∴f(x1)－f(x2)0，f(x1)f(x2)．即f(x)＝x＋100x，当x≥35时为增函数．∴当x＝35时，f(x)有最小值，此时y210989，∴该厂应接受此优惠条件．方法感悟1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤a＋b22≤a2＋b22，ab≤a＋b2≤a2＋b22(a0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．易错警示基本不等式中等号成立的条件把握不准致误名师讲坛精彩呈现例(2012·高考浙江卷)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A.245B.285C．5D．6【常见错误】易多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件，如：5xy＝x＋3y≥23xy，即xy≥235，3x＋4y≥43·xy≥245.【解析】∵x＞0，y＞0，由x＋3y＝5xy，得151y＋3x＝1.∴3x＋4y＝15(3x＋4y)1y＋3x＝153xy＋4＋9＋12yx＝135＋153xy＋12yx≥135＋15×23xy·12yx＝5(当且仅当x＝2y时取等号)，∴3x＋4y的最小值为5.【答案】C【防范措施】利用基本不等式求最值时，一定要注意应用基本不等式成立的条件：即一正，二定，三相等，否则求解时会出现等号成立的条件不具备而出错．若在同一题目中，两次或两次以上利用基本不等式，等号应同时成立．跟踪训练3．设x，y满足约束条件x－2y＋3≥02x－3y＋4≤0，y≥0若目标函数z＝ax＋by(其中a＞0，b＞0)的最大值为3，则1a＋2b的最小值为()A．3B．1C．2D．4解析：选A.在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线ax＋by＝0，平移该直线，当平移到经过不等式组表示的平面区域内的点(1,2)时，相应直线在x轴上的截距取到最大，即此时目标函数z＝ax＋by取得最大值，即有a＋2b＝3，1a＋2b＝13(a＋2b)(1a＋2b)＝13[5＋(2ba＋2ab)]≥13(5＋22ba×2ab)＝3，当且仅当2ba＝2ab，即a＝b＝1时取等号，因此1a＋2b的最小值为3.知能演练轻松闯关本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放