2014届高考数学一轮复习课件：第六章第5课时合情推理与演绎推理(新人教A版)

第5课时合情推理与演绎推理2014高考导航考纲展示备考指南1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理．3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.1.从高考内容上看，归纳推理、类比推理、演绎推理是高考命题的热点．2.归纳推理、类比推理多以填空题形式考查．演绎推理大多出现在解答题中,为中、高档题目.本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现知能演练轻松闯关教材回顾夯实双基基础梳理1.推理(1)定义：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．(2)分类：推理一般分为___________与___________两类．合情推理演绎推理2.合情推理归纳推理类比推理定义由某类事物的__________具有某些特征，推出该类事物的__________都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出_________的推理由两类对象具有______________和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由______到______、由______到______的推理由______到______的推理一般步骤(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想)部分对象全部对象一般结论某些类似特征部分整体个别一般特殊特殊3.演绎推理(1)定义：从______________出发，推出_______________下的结论，我们把这种推理称为演绎推理；(2)特点：演绎推理是由____________的推理；(3)模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：“三段论”的结构①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．“三段论”的表示①大前提——________.②小前提——________.③结论——S是P.一般性的原理某个特殊情况一般到特殊M是PS是M课前热身1．数列1,2,4,8,16,32的一个通项公式是()A．an＝2nB．an＝2n－1C．an＝2nD．an＝2n＋1答案：B2．命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但推理形式错误D．使用了“三段论”，但小前提错误解析：选C.大前提中的“有些有理数”与小前提中的“有理数”不是同一个概念，故不符合三段论的推理形式，故选C.3．(教材习题改编)给出下列三个类比结论．①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是()A．0B．1C．2D．3答案：B4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积的比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．答案：1∶8解析：V1V2＝13S1h113S2h2＝(S1S2)·h1h2＝14×12＝18.5．(2012·高考陕西卷)观察下列不等式1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…照此规律，第五个不等式为________________．解析：观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．∴第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162116.答案：1＋122＋132＋142＋152＋162116考点1归纳推理(2011·高考山东卷)设函数f(x)＝xx＋2(x0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，考点探究讲练互动例1考点突破f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.【解析】依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为bn＝2n.所以当n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝x2n－1x＋2n.【答案】x2n－1x＋2n【题后感悟】本题实质是根据前几项，归纳猜想一般规律，归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．跟踪训练1．已知函数f(x)＝x21＋x2.(1)分别求f(2)＋f(12)，f(3)＋f(13)，f(4)＋f(14)的值；(2)归纳猜想一般性结论，并给出证明．解：(1)∵f(x)＝x21＋x2，∴f(2)＋f(12)＝221＋22＋1221＋122＝221＋22＋122＋1＝1，同理可得f(3)＋f(13)＝1，f(4)＋f(14)＝1.(2)由(1)猜想f(x)＋f(1x)＝1.证明如下：f(x)＋f(1x)＝x21＋x2＋1x21＋1x2＝x21＋x2＋1x2＋1＝1.例2考点2类比推理(2013·安溪模拟)已知命题：“若数列{an}是等比数列，且an＞0，则数列bn＝na1a2…an(n∈N*)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．【解】类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{an}是等差数列，则数列bn＝a1＋a2＋…＋ann也是等差数列．证明如下：设等差数列{an}的公差为d，则bn＝a1＋a2＋…＋ann＝na1＋nn－1d2n＝a1＋d2(n－1)，所以数列{bn}是以a1为首项，d2为公差的等差数列．【题后感悟】(1)类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法．(2)在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证明的．跟踪训练2．在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为AEEB＝ACBC，把这个结论类比到空间：在三棱锥A­BCD中(如图所示)，平面DEC平分二面角A­CD­B且与AB相交于点E，则类比得到的结论是________．解析：易知点E到平面BCD与平面ACD的距离相等，故VE－BCDVE－ACD＝BEEA＝S△BCDS△ACD.答案：BEEA＝S△BCDS△ACD例2考点3演绎推理数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝n＋2n·Sn(n∈N＋)，用三段论的形式证明：(1)数列{Snn}是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.【证明】(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝n＋2nSn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.∴Sn＋1n＋1＝2·Snn，(小前提)故{Snn}是以2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知Sn＋1n＋1＝4·Sn－1n－1(n≥2)，∴Sn＋1＝4(n＋1)·Sn－1n－1＝4·n－1＋2n－1·Sn－1＝4an(n≥2)．(小前提)又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)【名师点评】(1)演绎推理是由一般到特殊的推理模式，是一种必然推理，只要前提是真实的，推理形式是正确的,结论必定是真实的．(2)演绎推理的主要形式：大前提、小前提、结论的三段论式推理．(3)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成，大前提通常省略不写，或者写在结论后面的括号内，小前提有时也可以省略，而采取某种简明的推理模式．跟踪训练3．用三段论的形式写出下列演绎推理．(1)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则此两角不是对顶角；(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等．解：(1)∠1和∠2是对顶角，则∠1，∠2相等，大前提∠1和∠2不相等，小前提∠1和∠2不是对顶角．结论(2)每一个矩形的对角线相等，大前提正方形是矩形，小前提正方形的对角线相等．结论方法感悟1．合情推理是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比，然后提出猜想，要合乎情理地进行推理，充分挖掘已给的事实，寻求规律；类比则要比较类比源和类比对象的共有属性，不能盲目进行类比．合情推理得出的结论要进行证明，可靠性才能得到确定．2．合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．易错警示归纳不合理致误(2011·高考江西卷改编)观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72013的末两位数字为________．【常见错误】(1)找不到规律而误解，错因是只观察前三个式子结果,而不去继续探究以后几项式子;(2)在继续探究的情况下,运算出现错误从而导致周期找不到或找错周期.名师讲坛精彩呈现例【解析】由条件知：75＝16807,76＝117649,77＝823543，…，观察发现后两位数字呈周期变化，周期为4.又∵2013＝4×503＋1，∴72013的末两位数字是07.【答案】07【防范措施】(1)解决归纳推理的问题，求解时需要多计算几个式子，从中寻求其规律找到周期后才能解决，但运算要准确无误．(2)解决类似问题时，一定要注意探求条件中所隐含的规律，从而达到解决问题的目的．跟踪训练4．(2013·深圳模拟)已知2＋23＝2·23，3＋38＝3·38，4＋415＝4·415，…，观察以上等式，若8＋at＝8·at(a，t均为正实数)，则a＋t＝__________.解析：观察可知，各式中右边根式外部分与根式中分数的分子相同，依次为2,3,4，…，且各根式中分数的分母依次为3,8,15，…，即22－1,32－1,42－1，….∴8＋882－1＝8＋863＝8＋at.∴a＝8，t＝63，即a＋t＝71.答案：71知能演练轻松闯关本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放