2014届高考数学二轮专题突破辅导与测试 第1部分 专题五 第二讲 圆锥曲线的定义、方程与性质课件

第二讲圆锥曲线的定义、方程与性质(选择、填空题型)圆锥曲线的综合问题抛物线双曲线椭圆考点1.对椭圆的考查以椭圆的标准方程及几何性质为主要考查对象，有时也考查椭圆定义的应用，尤其要熟记椭圆中参数a，b，c之间的内在联系及其几何意义，如2013年全国高考T8,2013年江苏T12.2.对于双曲线的考查主要有两种形式：一是求双曲线方程；二是通过方程研究双曲线的性质，如2013年新课标全国卷ⅠT4,2013年浙江T9.3.高考对抛物线定义的考查主要体现在抛物线的标准方程、焦点等问题上，考查方程主要有两个方面，一是用定义或待定系数法求抛物线方程；二是利用抛物线方程研究几何性质．4.圆锥曲线综合问题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，如2013年天津T5.考情1．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为52，则C的渐近线方程为()A．y＝±14xB．y＝±13xC．y＝±12xD．y＝±x解析：因为双曲线x2a2－y2b2＝1的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为y＝±bax.又离心率为e＝ca＝a2＋b2a＝1＋ba2＝52，所以ba＝12，所以双曲线的渐近线方程为y＝±12x.答案：C2．(2013·浙江高考)如图，F1，F2是椭圆C1：x24＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A.2B.3C.32D.62解析：设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)①，点A的坐标为(x0，y0)．由题意得a2＋b2＝3＝c2②，则|OA|＝c＝3，所以x20＋y20＝3，x20＋4y20＝4，解得x20＝83，y20＝13，又点A在双曲线上，代入①得，83b2－13a2＝a2b2③，联立②③解得a＝2，所以e＝ca＝62.答案：D3．(2013·全国高考)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为()A.x22＋y2＝1B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1D.x25＋y24＝1解析：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由题意可得A1，b2a，B1，－b2a，因|AB|＝b2a－－b2a＝2b2a＝3，即2b2＝3a，所以2b2＝3a，a2－b2＝c2＝1，解得a＝2，b＝3，所以C的方程为x24＋y23＝1.答案：C4．(2013·天津高考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A,B两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为3，则p＝()A．1B.32C．2D．3解析：因为双曲线的离心率e＝ca＝2，所以b＝3a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±3x，与抛物线的准线x＝－p2相交于A－p2，32p，B－p2，－32p，所以△AOB的面积为12×p2×3p＝3，又p＞0，所以p＝2.答案：C1．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质y2＝2px(p＞0)标准方程|PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l于M||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)定义抛物线双曲线椭圆名称x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)渐近线e＝1离心率几何性质图像抛物线双曲线椭圆名称e＝ca＝1－b2a2(0＜e＜1)e＝ca＝1＋b2a2(e＞1)y＝±bax2.直线与圆锥曲线相交时的弦长设而不求，根据韦达定理，进行整体代入．即当直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|，而|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2.3．抛物线的过焦点的弦长抛物线y2＝2px(p＞0)的过焦点Fp2，0的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝p24，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.同样可得抛物线y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py类似的性质．圆锥曲线定义及标准方程[例1](1)(2013·广东高考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是()A.x23＋y24＝1B.x24＋y23＝1C.x24＋y22＝1D.x24＋y23＝1(2)设F1，F2分别为双曲线x29－y216＝1的左、右焦点，过F1引圆x2＋y2＝9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|等于()A．4B．3C．2D．1(3)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．[自主解答](1)依题意，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，所以c＝1，ca＝12，c2＝a2－b2，解得a2＝4，b2＝3.(2)连接PF2、OT，则有|MO|＝12|PF2|＝12(|PF1|－2a)＝12(|PF1|－6)，|MT|＝12|PF1|－|F1T|＝12|PF1|－c2－a2＝12|PF1|－4，于是有|MO|－|MT|＝12|PF1|－3－12|PF1|－4＝1.(3)直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离．故本题可化为在抛物线y2＝4x上找一个点P使得P到点F(1,0)和直线l1的距离之和最小．如图所示，距离之和的最小值为焦点F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝|4－0＋6|5＝2.[答案](1)D(2)D(3)2本例(3)中把直线l1换成点A(2,3)，如何求点P到点A和直线l2的距离之和的最小值？解析：直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线定义知，P到l2的距离等于P到抛物线焦点F(1,0)的距离．故本题可以转化为在抛物线上找一个点P，使得|PA|＋|PF|最小，即|AF|为所求，A(2,3)，F(1,0)，|AF|＝2－12＋32＝10.答案：10——————————规律·总结————————————圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”．(1)定型．就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．(2)计算．即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn＞0)．———————————————————————————1．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A.14B.35C.34D.45解析：因为c2＝2＋2＝4，所以c＝2,2c＝|F1F2|＝4，由题意可知|PF1|－|PF2|＝2a＝22，|PF1|＝2|PF2|，所以|PF2|＝22，|PF1|＝42，由余弦定理可知cos∠F1PF2＝422＋222－422×42×22＝34.答案：C2．已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．解析：抛物线y2＝8x的准线x＝－2过双曲线的一个焦点，所以c＝2，又离心率为2，所以a＝1，b＝c2－a2＝3，所以该双曲线的方程为x2－y23＝1.答案：x2－y23＝1[例2](1)(2013·山东高考)抛物线C1：y＝12px2(p＞0)的焦点与双曲线C2：x23－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()A.316B.38C.233D.433圆锥曲线的几何性质(2)(2013·福建高考)椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．[自主解答](1)抛物线的焦点坐标为0，p2，双曲线的右焦点坐标为(2,0)，所以上述两点连线的方程为x2＋2yp＝1.双曲线的渐近线方程为y＝±33x.对函数y＝12px2求导，得y′＝1px.设M(x0，y0)，则1px0＝33，即x0＝33p，代入抛物线方程得，y0＝16p.由于点M在直线x2＋2yp＝1上，所以36p＋2p×p6＝1，解得p＝43＝433.(2)直线y＝3(x＋c)过点F1，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝3c，所以该椭圆的离心率e＝2c2a＝2cc＋3c＝3－1.[答案](1)D(2)3－1——————————规律·总结————————————两类离心率问题(1)椭圆的离心率：e2＝c2a2＝1－b2a2，ba＝1－e2；(2)双曲线的离心率：e2＝c2a2＝1＋b2a2，ba＝e2－1.——————————————————————————3．已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()A．x2＝833yB．x2＝1633yC．x2＝8yD．x2＝16y解析：∵双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，∴ca＝a2＋b2a＝2，∴b＝3a，∴双曲线的渐近线方程为3x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p0)的焦点0，p2到双曲线的渐近线的距离为3×0±p22＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.答案：D4．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝45，则C的离心率e＝________.解析：设椭圆的右焦点为F1，在△ABF中，由余弦定理可解得|BF|＝8，所以△ABF为直角三角形，又因为斜边AB的中点为O，所以|OF|＝c＝5.连接AF1，因为A，B关于原点对称，所以|BF|＝|AF1|＝8，所以2a＝14，a＝7，所以离心率e＝57.答案：57[例3](1)(2013·新课标全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为()A．y＝x－1或y＝－x＋1B．y＝33(x－1)或y＝－33(x－1)C．y＝3(x－1)或y＝－3(x－1)D．y＝22(x－1)或y＝－22(x－1)直线与圆锥曲线的位置关系(2)(2013·东城模拟)已知抛物线y2＝2px的焦点F与双曲线x27－y29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝2|AF|，则△AFK的面积为()A．4B．8C．16D．32[自主解答](1)法一：如图所示，作出抛物线的准线l1及点A，B到准线的垂线段AA1，BB1，并设直线l交准线于点M.设|BF|＝m，由抛物线的定义可知|BB1|＝m，|AA1|＝|AF|＝3m.由BB1∥AA1可知|BB1||AA1|＝|MB||MA|，即m3m＝|MB||MB|＋4m，所以|MB|＝2m，则|MA|＝6m.故∠AMA1＝30°，得∠AFx＝∠MAA1＝60°，结合选项知选C项．法二：由|AF|＝3|BF|可知AF＝3FB，易知