2014届高考数学二轮复习_专题三_三角函数、三角恒等变换与解三角形课件[1] 2

第7讲三角函数的图像与性质第8讲三角恒等变换与解三角形专题三三角函数、三角恒等变换与解三角形第7讲三角函数的图像与性质返回目录命题考向探究命题立意追溯核心知识聚焦第7讲三角函数的图像与性质——体验高考——返回目录核心知识聚焦1．[2011·新课标全国卷改编]已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边①在直线y＝2x上，则tanθ＝________．[答案]2［解析］根据三角函数定义可得.⇒三角函数的定义关键词：始边、终边、单位圆、三角函数的定义，如①.——主干知识————体验高考——返回目录核心知识聚焦2．[2012·辽宁卷改编]若sinα－cosα＝2，α∈(0，π)则tanα②＝________．[答案]－1⇒同角三角函数关系关键词：平方关系、商数关系，如②.——主干知识——［解析］已知式两端平方可得1－sin2α＝2，即sin2α＝－1，所以α＝3π4，所以tanα＝－1.或者把已知与sin2α＋cos2α＝1联立求出sinα，cosα的值，再根据商数关系得之.第7讲三角函数的图像与性质——体验高考——返回目录核心知识聚焦3．[2012·天津卷改编]将函数f(x)＝sinωx(ω0)的图像向右平移③π4个单位长度，所得图像经过点3π4，0，则ω的最小值是________．[答案]2⇒图像平移变换关键词：平移、左加右减、只变换x，如③.——主干知识——第7讲三角函数的图像与性质——体验高考——返回目录核心知识聚焦［解析］函数f（x）的图像向右平移π4个单位长度得到函数g（x）＝fx－π4＝sinωx－π4＝sinωx－ωπ4的图像，因为此时函数图像过点3π4，0，所以sinω3π4－π4＝0，即ω3π4－π4＝ωπ2＝kπ（k∈Z），所以ω＝2k（k∈Z），又ω0，所以ω的最小值为2.——主干知识——第7讲三角函数的图像与性质——体验高考——返回目录核心知识聚焦4．[2012·新课标全国卷改编]已知ω0，0φπ，直线x＝π4和x＝5π4是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像的两条相邻的对称轴④，则φ＝________．[答案]π4⇒函数图像关键词：相邻对称轴、周期、最值，如④.——主干知识——第7讲三角函数的图像与性质——体验高考——返回目录核心知识聚焦5．[2012·新课标全国卷改编]已知ω0，函数f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上单调⑤递减，则ω的取值范围是________．⇒单调性关键词：单调、取值范围，如⑤.——主干知识——[答案]第7讲三角函数的图像与性质——体验高考——返回目录核心知识聚焦［解析］由题意，ωπ－π2≤π⇔ω≤2，ωx＋π4∈π2ω＋π4，πω＋π4⊆2kπ＋π2，2kπ3π2得π2ω＋π4≥2kπ＋π2，πω＋π4≤2kπ＋3π2⇔ω≥4k＋12，ω≤2k＋54.又因为0ω≤2，所以12≤ω≤54.——主干知识——第7讲三角函数的图像与性质——体验高考——返回目录核心知识聚焦6．[2013·山东卷改编]将函数y＝sin(2x＋φ)(0φπ)的图像沿x轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数⑥的图像，φ＝________．[答案]π4⇒奇偶性关键词：图像平移、偶函数、奇函数，如⑥.——主干知识——第7讲三角函数的图像与性质——体验高考——返回目录核心知识聚焦［解析］把函数y＝sin（2x＋φ）（0φπ）的图像向左平移π8个单位得到的图像的解析式是y＝sin2x＋π4＋φ（0φπ），该函数是偶函数的充要条件是π4＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，即φ＝kπ＋π4，k∈Z.又因为0φπ，所以φ＝π4.——主干知识——第7讲三角函数的图像与性质——体验高考——返回目录核心知识聚焦7．[2013·江苏卷]函数y＝3sin2x＋π4的最小正周期⑦为________．[答案]π⇒周期性关键词：周期函数、周期、最小正周期，如⑦.——主干知识——［解析］T＝2πω＝π.第7讲三角函数的图像与性质——体验高考——返回目录核心知识聚焦8．[2013·新课标全国卷Ⅰ]设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值⑧，则cosθ＝________．[答案]－255⇒最值关键词：最大值、最小值，如⑧.——主干知识——第7讲三角函数的图像与性质——体验高考——返回目录核心知识聚焦［解析］f（x）＝sinx－2cosx＝515sinx－25cosx，令cosα＝15，sinα＝25，则f（x）＝5sin（x－α），当θ－α＝2kπ＋π2，即θ＝2kπ＋π2＋α（k∈Z）时f（x）取得最大值，此时cosθ＝－sinα＝－255.——主干知识——第7讲三角函数的图像与性质——基础知识必备——返回目录第7讲三角函数的图像与性质返回目录►考向一高考中三角函数常见的基本问题考向：三角函数定义、同角三角函数关系、诱导公式、特殊角的三角函数值等.考例：本考例湖南卷直接考查虽然不多，但三角函数定义、同角三角函数关系是整个三角函数知识体系的重要基础.例1(1)[2013·四川卷]设sin2α＝－sinα，α∈π2，π，则tan2α的值是________．(2)已知A(xA，yA)是单位圆(圆心在坐标原点O)上任意一点，将射线OA绕O点逆时针旋转30°到OB，交单位圆于点B(xB，yB)，则xA－yB的最大值为________．命题考向探究第7讲三角函数的图像与性质返回目录［解析］（1）方法一：由sin2α＝－sinα，得2sinαcosα＝－sinα，又α∈π2，π，故sinα≠0，于是cosα＝－12，进而sinα＝32，于是tanα＝－3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×（－3）1－3＝3.方法二：同上得cosα＝－12，又α∈π2，π，可得α＝2π3，∴tan2α＝tan4π3＝3.[答案]（1）3（2）C命题考向探究第7讲三角函数的图像与性质返回目录（2）设x轴正方向逆时针到射线OA的角为α，根据三角函数定义xA＝cosα，yB＝sin（α＋30°），所以xA－yB＝cosα－sin（α＋30°）＝－32sinα＋12cosα＝sin（α＋150°），故其最大值为1.命题考向探究小结：三角函数的定义是求三角函数值的基础，同角三角函数间的关系、诱导公式以及三角函数式的化简在运算中起着重要的作用，解题时要注意依据已知条件正确地选择公式，并注意应用公式所具备的条件．第7讲三角函数的图像与性质返回目录命题考向探究变式题已知sinα＝－23，且α∈－π2，0，则tanα等于()A．－255B.255C．－52D.52第7讲三角函数的图像与性质返回目录命题考向探究［解析］由sinα＝－23，且α∈－π2，0得cosα＝53，所以tanα＝sinαcosα＝－255.[答案]A第7讲三角函数的图像与性质返回目录►考向二三角函数的图像考向：根据三角函数的图像求函数的解析式，根据函数的解析式确定函数图像，利用三角函数图像解决问题等.考例：2012年T15，近四年湖南卷共考查了1次.例2(1)[2013·四川卷]函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω0，－π2φπ2的部分图像如图3－7－1所示，则ω，φ的值分别是()A．2，－π3B．2，－π6C．4，－π6D．4，π3图3－7－1命题考向探究第7讲三角函数的图像与性质返回目录图3－7－2(2)函数y＝sin(πx＋φ)(φ0)的部分图像如图3－7－2所示，设P是图像的最高点，A，B是图像与x轴的交点，记∠APB＝θ，则sin2θ＝________．[答案](1)A(2)A命题考向探究第7讲三角函数的图像与性质返回目录［解析］（1）由图知3T4＝5π12＋π3＝3π4，故周期T＝π，于是ω＝2，所以f（x）＝2sin（2x＋φ）.再由f5π12＝2，得sin5π6＋φ＝1，于是5π6＋φ＝2kπ＋π2（k∈Z），因为－π2φπ2，取k＝0，得φ＝－π3.命题考向探究第7讲三角函数的图像与性质返回目录（2）函数的周期为2，可得|AB|＝2，|AP|＝1＋14＝52，|BP|＝1＋94＝132，根据余弦定理可得cosθ＝54＋134－42×52×132＝165，所以sinθ＝865，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝2×165×865＝1665.（或者先计算tanθ，再根据sin2θ＝2tanθ1＋tan2θ求解）命题考向探究第7讲三角函数的图像与性质返回目录方法指导14.根据三角函数图像求解析式的方程组方法根据三角函数解析式画三角函数图像的基本方法是“五点法”，根据三角函数图像求解函数解析式其实就是“五点法”的逆用，如例2中的（1）可看作是函数y＝2sinx，x∈［－π，π］经过变换得出函数y＝2sin（ωx＋φ）在一个周期内的图像，其中点－π3，0可看作“五点法”作图时（－π，0）变换得出的，点5π12，2可看作是“五点法”作图时点π2，2得出的,故可得方程组ω－π3＋φ＝－π，ω·5π12＋φ＝π2，解这个方程组即得ω，φ的值.命题考向探究第7讲三角函数的图像与性质返回目录小结：根据三角函数的图像求函数的解析式，主要考虑两点：①根据函数图像得出函数的最小正周期，求出ω的值，②根据函数图像上特殊点的坐标，得出三角函数的方程求出φ值．命题考向探究第7讲三角函数的图像与性质返回目录命题考向探究►考向三三角函数的性质考向：三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值.考例：2013年T17，近四年湖南卷共考查了1次.例3(1)[2013·湖北卷]将函数y＝3cosx＋sinx(x∈R)的图像向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是()A.π12B.π6C.π3D.5π6(2)若函数f(x)＝sinωx＋3cosωx(x∈R，ω0)满足f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－β|的最小值为π2，则函数f(x)的单调增递区间为____________________．第7讲三角函数的图像与性质返回目录命题考向探究［解析］（1）结合选项，将函数y＝3cosx＋sinx＝2sinx＋π3的图像向左平移π6个单位长度后得到y＝2sinx＋π2＝2cosx的图像，它的图像关于y轴对称，选B.[答案]第7讲三角函数的图像与性质返回目录命题考向探究（2）f（x）＝sinωx＋3cosωx＝2sinωx＋π3.因为f（α）＝－2，f（β）＝0，且|α－β|min＝π2，所以T4＝π2，得T＝2π（T为函数f（x）的最小正周期），故ω＝2πT＝1.所以f（x）＝2sinx＋π3.令2kπ－π2≤x＋π3≤2kπ＋π2（k∈Z），解得2kπ－5π6≤x≤2kπ＋π6（k∈Z）.所以函数f（x）的单调递增区间为2kπ－5π6，2kπ＋π6（k∈Z）.第7讲三角函数的图像与性质返回目录命题考向探究小结：三角函数的性质主要是单调性、奇偶性、周期性和最值，三角函数的性质和图像是密不可分的，在研究三角函数的性质时要注意从图像的特征得出性质，同时注意根据三角函数的性质推断函数图像的特征．第7讲三角函数的图像与性质返回目录命题考向探究变式题(1)函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx的最小正周期为()A.3π2B．2πC．πD.π2(2)函数y＝sin(ωx＋φ)ω0且|φ|π2在区间π6，2π3上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图像与y轴交点的纵坐标为()A.12B.22C.32D.6＋24第7讲三角函数的图像与性质返回目录命题考向探究［解析］（1）f（x）＝（1＋3tanx）cosx＝cosx＋3sinx＝2sinx＋π6，其最小正周期为2π.（2）因为函数的最大值为1，最小值为－1，且在区间π6，2π3上单调递减，又函数值从1减小到－1，