2014届高考数学总复习小题冲关课件(浙江专用)：专题2 第3讲 函数的图象与性质

第三讲函数的图象与性质1.函数的三要素：定义域、值域、对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数.2.函数的单调性(1)单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0⇔fx1－fx2x1－x20⇔f(x)在[a，b]上是增函数；本讲栏目开关考点整合真题感悟题型与方法阅卷评析小题冲关(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0⇔fx1－fx2x1－x20⇔f(x)在[a，b]上是减函数.(2)若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)也是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f[g(x)]的单调性.3.函数的奇偶性(1)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0；f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)＝f(|x|)⇔f(x)－f(－x)＝0.只有当定义域关于原点对称时，这个函数才能具有奇偶性.(2)f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称；f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称.本讲栏目开关考点整合真题感悟题型与方法阅卷评析小题冲关(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性.(4)若f(x＋a)为奇函数⇒f(x)的图象关于点(a,0)中心对称；若f(x＋a)为偶函数⇒f(x)的图象关于直线x＝a对称.(5)在f(x)，g(x)的公共定义域上：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.4.函数的周期性的结论(1)若y＝f(x)在x∈R时，f(x＋a)＝f(x－a)恒成立，则函数f(x)的周期为2|a|.(2)若y＝f(x)在x∈R时，f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝±1fx恒成立，则函数y＝f(x)的周期为2|a|.本讲栏目开关考点整合真题感悟题型与方法阅卷评析小题冲关5.函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图.作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.重要结论：(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称.(3)若函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)，则该函数图象关于点(a，b)成中心对称.本讲栏目开关考点整合真题感悟题型与方法阅卷评析小题冲关1.(2013·江西)函数y＝xln(1－x)的定义域为()A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]解析由1－x0x≥0得，函数定义域为[0,1).B本讲栏目开关考点整合真题感悟题型与方法阅卷评析小题冲关2.(2013·山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)等于()A.－2B.0C.1D.2解析f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.A本讲栏目开关考点整合真题感悟题型与方法阅卷评析小题冲关3.(2013·四川)函数y＝x33x－1的图象大致是()解析由3x－1≠0得x≠0，∴函数y＝x33x－1的定义域为{x|x≠0}，可排除选项A；当x＝－1时，y＝－1313－1＝320，可排除选项B；本讲栏目开关考点整合真题感悟题型与方法阅卷评析小题冲关当x＝2时，y＝1，当x＝4时，y＝6480，但从选项D的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C.答案C本讲栏目开关考点整合真题感悟题型与方法阅卷评析小题冲关4.(2013·北京)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)等于()A.ex＋1B.ex－1C.e－x＋1D.e－x－1解析与y＝ex图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象.∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到.∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.D本讲栏目开关考点整合真题感悟题型与方法阅卷评析小题冲关5.(2013·江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为____________________.解析由已知f(0)＝0，当x0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－4x，因此f(x)＝x2－4x，x≥0－x2－4x，x0不等式f(x)x等价于x≥0x2－4xx，或x0－x2－4xx解得：x5或－5x0.(－5,0)∪(5，＋∞)本讲栏目开关考点整合真题感悟题型与方法阅卷评析小题冲关题型一函数及其表示例1(1)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f2xlnx的定义域是()A.[0,1]B.[0,1)C.[0,1)∪(1,4]D.(0,1)(2)已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a，x1，－x－2a，x≥1.若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________.本讲栏目开关考点整合真题感悟题型与方法阅卷评析小题冲关审题破题(1)f(2x)有意义要求2x在f(x)的定义域内；(2)解题的关键是考虑f(1－a)和f(1＋a)需要代入解析式的哪一段，因而需讨论1－a和1＋a与1的大小关系，即a与0的大小关系，构造关于a的方程求解.解析(1)因为f(x)的定义域为[0,2]，所以对g(x)，0≤2x≤2，且x0，x≠1，故x∈(0,1).(2)首先讨论1－a,1＋a与1的关系，当a0时，1－a1,1＋a1，所以f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2.本讲栏目开关考点整合真题感悟题型与方法阅卷评析小题冲关因为f(1－a)＝f(1＋a)，所以－1－a＝3a＋2，所以a＝－34；当a0时，1－a1,1＋a1，所以f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a；f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1.因为f(1－a)＝f(1＋a)，所以2－a＝－3a－1，所以a＝－32(舍去).综上，满足条件的a＝－34.答案(1)D(2)－34本讲栏目开关考点整合真题感悟题型与方法阅卷评析小题冲关反思归纳(1)求函数定义域的方法：①根据具体函数y＝f(x)求定义域时，只要构建使解析式有意义的不等式(组)，求解即可；②根据抽象函数求定义域时：a.若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出.b.若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域.(2)求复合函数的函数值，要先内后外；分段函数问题要准确代入函数的解析式，如不能确定要进行讨论.本讲栏目开关考点整合真题感悟题型与方法阅卷评析小题冲关互动探究若将例1(2)中“f(1－a)＝f(1＋a)”变为“f(1－a)≥f(1＋a)”，则a的取值范围是_______________.解析当a0时，由f(1－a)≥f(1＋a)得：(2－2a)＋a≥－1－a－2a，解得a≥－32.所以a0，当a0时，由f(1－a)≥f(1＋a)得：－1＋a－2a≥2＋2a＋a，解得a≤－34，综上可知，a的取值范围为a≤－34或a0.a≤－34或a0本讲栏目开关考点整合真题感悟题型与方法阅卷评析小题冲关变式训练1设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝gx＋x＋4，xgx，gx－x，x≥gx，则f(x)的值域是()A.[－94，0]∪(1，＋∞)B.[0，＋∞)C.[－94，＋∞)D.[－94，0]∪(2，＋∞)解析由xg(x)得xx2－2，∴x－1或x2；由x≥g(x)得x≥x2－2，∴－1≤x≤2.∴f(x)＝x2＋x＋2，x－1或x2，x2－x－2，－1≤x≤2.本讲栏目开关考点整合真题感悟题型与方法阅卷评析小题冲关即f(x)＝x＋122＋74，x－1或x2，x－122－94，－1≤x≤2.当x－1时，f(x)2；当x2时，f(x)8.∴当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞).当－1≤x≤2时，－94≤f(x)≤0.∴当x∈[－1,2]时，函数的值域为[－94，0].综上可知，f(x)的值域为[－94，0]∪(2，＋∞).答案D本讲栏目开关考点整合真题感悟题型与方法阅卷评析小题冲关题型二函数的图象问题例2已知f(x)＝－2x－1≤x≤0，x0x≤1，则下列函数的图象错误的是()审题破题可以先画出函数f(x)的草图，然后变换得到其它函数的图象，也可以利用特殊点进行排除.本讲栏目开关考点整合真题感悟题型与方法阅卷评析小题冲关解析先在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，再将函数y＝f(x)的图象向右平移1个长度单位即可得到y＝f(x－1)的图象，因此A正确；作函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图形，即可得到y＝f(－x)的图象，因此B正确；y＝f(x)的值域是[0,2]，因此y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，C正确；y＝f(|x|)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0≤x≤1时，y＝f(|x|)＝x，相应这部分图象不是一条线段，因此选项D不正确.答案D本讲栏目开关考点整合真题感悟题型与方法阅卷评析小题冲关反思归纳(1)作图：应注意在定义域内依据函数的性质，选取关键的一部分点连接而成.(2)识图：在观察、分析图象时，要注意到图象的分布及变化趋势，具有的性质，找准解析式与图象的对应关系.(3)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.本讲栏目开关考点整合真题感悟题型与方法阅卷评析小题冲关变式训练2已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是()本讲栏目开关考点整合真题感悟题型与方法阅卷评析小题冲关解析函数f(x)＝2x－2是把函数y＝2x的图象向下平移两个单位得到的图象，由2x－20得x1，即在(－∞，1)上，函数f(x)＝2x－2的图象位于x轴下方，根据指数函数图象的特点，不难看出把x轴下方的部分对称到x轴上方后得到函数y＝|f(x)|的图象.故选B.答案B本讲栏目开关考点整合真题感悟题型与方法阅卷评析小题冲关题型三函数的性质问题例3(1)(2012·山东)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2013)等于()A.335B.337C.1678D.2012(2)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，若对任意的x∈[－2－2，2＋2]，不等式f(x＋t)≤2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是()A.[2，＋∞)B.(－∞，－2]C.[4＋32，＋∞)D.(－∞，－2]∪[4＋32，＋∞)本讲栏目开关考点整合真题感悟题型与方法阅卷评析小题冲关审题破题(1)先判断函数的周期性，再求函数值；(2)利用函数f(x)的单调性先脱去f，然后分离t，再求最值得t的范围.解析(1)利用函数的周期性和函数值的求法求解.∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6.∵当－3≤x－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x3时，f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，本讲栏目开关考点整合真题感悟题型与方法阅卷评析小题冲关∴f(1)＋f(2)＋…＋f