考研数学习题课--基础班-第十讲下

第十章复习课一、曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法线面积分的计算积分学定积分二重积分三重积分积分域区间域平面域空间域曲线积分曲线域曲面域曲面积分01lim()ΔΩ()dniiifPFP（一）对面积的曲面积分的概念及计算方法（二）对坐标的曲面积分的概念及计算方法（三）高斯公式及斯托克斯公式二、曲面积分的计算法（四）物理应用（一）对面积的曲面积分的概念及计算方法①定义:设为光滑曲面,“乘积和式极限”都存在,的曲面积分f(x,y,z)是定义在上的一个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积01lim(,,)niiiiifS(,,)dfxyzS说明：(1):积分曲面(也称积分区域)；d:.S面积元素(2)(,,)d.fxyzS为封闭曲面上的第一类曲面积分积分区域：假定光滑或逐片光滑.逐片光滑：曲面分成若干块后,每块光滑.光滑曲面:曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.1.对面积的曲面积分的概念及性质(4):(,,)Σ,xyz物理意义当为光滑曲面的面密度时曲面形构件的(,,)d.MxyzS质量(5)(,,)1,xyz当时ΣΣd,S曲面的面积dS而221ddxyzzxy曲面面积叫的微元.Σ(6)Σ(,,)d(,,0)dxyxyDxoyDfxyzSfxy当是上的闭区域时，故二重积分是第一类曲面积分的特例.假定：第一类曲面积分总是存在的，重点是计算第一类曲面积分.(3)(,,)Σ(,,)d.fxyzfxyzS存在性:当在上连续时,存在01lim(,,)(,,)dniiiiiffxyzSS②第一类曲面积分的性质(假定下面的面积分都存在)(1),,设为常数则[(,,)(,,)]d(,,)d(,,)d.fxyzgxyzSfxyzSgxyzS(2)可加性：12ΣΣΣ,若曲面可分为两片光滑曲面和则12(,,)d(,,)d(,,)d.fxyzSfxyzSfxyzS(3)Σ(,,)(,,)fxyzgxyz若在曲面上，,则(,,)d(,,)d.fxyzSgxyzS01lim(,,)(,,)dniiiiiffxyzSS结论11212,与12(,,)dS,(,,)dS0fxyzfxyz，(,)xoyyozzox或或关于对称(,)zxy或或关于是偶函数f(,)zxy或或关于是奇函数f如果积分曲面关于平面对称（轮换对称性）yx(,,)d(,,)dfzSfzSxyyx则1[(,,)d(,,)d]2fzSfzyxyxS结论2(4).积分区域的对称性及变量的轮换对称性01lim(,,)(,,)dniiiiiffxyzSSP184题2.设1为在第一卦限中的部分,则有().1()d4d;BySxS1()d4d;CzSxSC(2000考研)xzyao222zaxy2.对面积的曲面积分的计算方法((,),,)xyzzxxyDy由方程:(1)设光滑曲面给出,xyD为在,xoy面上的投影区域(,,),fxyz函数在上连续则(,,)dfxyzS[,,]xyDfxy(,)zxy221dd.xyzzxy化为二重积分计算证明:由定义知01lim(,,)niiiiifS(,,)dfxyzS(,,)iii()ioxyzyxD(,)zzxy：2201lim[,(,]1,)niiiixiiyfzzz[,,]xyDfxy(,)zxy221dd.xyzzxy221ixyiSzz(,)(1)(,),xyzzxyxyD:(,,)dfxyzS[,,]xyDfxy(,)zxy221dd.xyzzxy(,)(2)(,),xzyyxzxzD:(,,)dfxyzS[,,]xzDfxz(,)yxz221dd.xzyyxz(,)(3)(,),yzxxyzyzD:(,,)dfxyzS[,,]yzDfyz(,)xyz221()()dd.xxyzyz所以类似的有温馨提示：向哪个坐标面投影，由所给积分曲面方程的形式决定.注意：对面积的曲面积分的计算步骤如下：xyD(1)画出曲面,写出并由的方程的类型选定公式；dS(2)由的方程,求出曲面的微元；22d1ddxySzzxy如:=xyD(3)计算在投影面上的二重积分，(,,)dfxyzS[,,]xyDfxy(,)zxy221dd.xyzzxy简述为：一代、二换、三投影代：将曲面的方程代入被积函数换：换面积元dS投影：将曲面投影到坐标面得投影区域()d,xyzxyzS求其中为锥.所割下的部分xyzo11D02:22zxyx解1:22:zxy，22d1ddxySzzxy=2dd,xy原式2222()2ddxyDxyyxyxxyxy2cos2222022d(sincossincos)d5452242(cossincossincos)d642.15例1.22222zxyxyx面被曲面D2222()d,2xyzxyzSzxyxyx求其中为锥面被曲面.所割下的部分xyzo11D02:22zxyx解2:利用对称性xoz由于关于面对称，()d0xyyzS则，则原式dxzS222ddxyDxxyxy2cos2202dcosd52242cosd52082cosd4!!8215!!4282531642.15例1.说明：第一类曲面积分的简化计算方法（1）曲面积分与曲线积分一样，可用积分曲面的方程代入被积表达式化简被积函数.（2）利用曲面积分的几何意义简化计算曲面积分.ΣΣd,S曲面的面积222222222Σd4(Σ:)xyzSRRxyzR如：（）（3）利用积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性简化计算曲面积分；或用轮换对称性.（4）利用规则几何体的质心坐标.预备知识：有向曲面及曲面元素的投影1.曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带分上侧和下侧分内侧和外侧分左侧和右侧(单侧曲面的典型)其方向用法向量的2.指定了侧的曲面叫有向曲面,指向表示:其方向用法向量的指向方向余弦coscoscos0为前侧0为后侧封闭曲面0为右侧0为左侧0为上侧0为下侧外侧内侧侧的规定2.指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:(,),zzxy对曲面()nnz若法向量朝上与的夹角为锐角轴，n则的指向为上侧，否则为下侧；(,),xxyz对曲面xn若法向量与的正向的夹角轴为锐角，n则的指向为前侧，否则为后侧；(,),yyxz对曲面yn若法向量与的正向的夹角轴为锐角，n则的指向为右侧，否则为左侧；(cos,cos,cos)是曲面上任一点处的单位法向量.,设是有向曲面S在上取一小块曲面，Sxoy把投影到面上,),(yxfzxyDxyzoS()(),xy得一投影区域表示区域又表示面积()xyS假定上任一点z处的法向量与轴夹角的余弦()同号同正或同负，()xySxoyS则在面内的投影为：()xyS=cos0(),xycos0(),xycos00,注:()()xxyySSxoy是在面上的投影区附以一定域的面积的符号.nn3.有向曲面元的投影：(),()xyxySSS即coscoszcosSSab12Sab1cos2abnkn同理可定义：()()yzzxSyozxozSS在面、面内的投影和分别为：()yzS=cos0(),yzcos0(),yzcos00,()zxS=cos0(),zxcos0(),zxcos00,(),()yzyzSSS即coscos(),()zxzxSSS即coscos（二）对坐标的曲面积分的概念及计算方法,(,,),Rxyzn设是光滑的有向曲面函数在上有界把任意分成块小(),(,,)iiiiiiixySSxoySS曲面又表示面积,在面上的投影为,0,如果当各小块曲面的直径的最大值时01lim(,,),niiiixyiRS总存在(,,),xRxyzy在有极限值对坐则称此为函标,的向曲面曲上面积分数记为：(,,)dd.Rxyzxy(,,)ddRxyzxy即01lim(,,)niiiixyiRS；类似地：01(,,)ddlim(,,)()niiiiyziPxyzyzPS；01(,,)ddlim(,,)().niiiizxiQxyzzxQS①定义:1.对坐标的曲面积分的概念及性质说明:(1)光滑曲面是有向称它为，积分曲面;(2)常用组合形式：ddddddPyzQzxRxydddddd.PyzQzxRxy如：稳定流动的不可压缩的流体,流向指定侧的流量为：(,,)dd(,,)dd(,,)dd.PxyzyzQxyzzxRxyzxy(ddd)dd3dPyzQzxRxy表示是上的曲闭合曲面面积分；(4)存在性：,,,.PQR当在上时存在相应的续曲面积分连②对坐标的曲面积分的性质：1.线性性质：略2.可加性：12,若ddddddPyzQzxRxy则12dddddddddddd.PyzQzxRxyPyzQzxRxy3.有向性：,设是有向曲面,表示取反侧的有向曲面则dddddddddddd.PyzQzxRxyPyzQzxRxy4.垂直性：xoy若平面,则dd0;Rxyyoz若平面,则dd0;Pyzzox若平面,则dd0.Qzx(,,)ddRxyzxy01lim(,,)niiiixyiRSddddddPyzQzxRxyni1zyiiiiSP))(,,(xziiiiSQ))(,,(yxiiiiSR))(,,(0lim0limni1()ixyiSScos()iyziSScos()izxiSScos③两类曲面积分的联系：coscoscosdPQRS01(,,)dlim(,,)niiiiifxyzSfSdddddd(coscoscos)dPyzQzxRxyPQRS故两类面积分的关系的的向量形式：(cos,cos,cos)ndS=(cos,cos,cos)dS=(cosd,cosd,cosd)SSS(d),(d),(d)yzzxxySSSdd,dd,ddyzzxxy:dd,dd,ddd,yzzxxySyozzoxxoy这里是分别在面、面、面内的投影---法向量dvSdvnS(,,),vPQR如果记注：由这个关系式就可把第二类曲面积分转化为第一类曲面积分，用第一类曲面积分的计算方法