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选修4-4极坐标与参数方程试题研究与应试策略阜阳二中潘林1.•考试大纲与考试说明2.•近三年全国卷高考真题分析3.•与往届安徽高考考题的比较4.•考点分析5.•应试策略6•教学建议平面直角坐标系极坐标极坐标与球坐标直线的参数方程圆锥曲线的参数方程渐开线与摆线方程坐标法伸缩变换直角坐标与极坐标的互化简单曲线的极坐标方程参数方程概念圆的参数方程参数方程与普通方程的互化椭圆的参数方程双曲线的参数方程抛物线的参数方程坐标系参数方程1.考试大纲与考试说明1.1坐标系理解坐标系的作用。了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。1.2坐标系能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别。能把点的直角坐标化为柱坐标、球坐标。1.3参数方程了解参数方程，了解参数的意义。能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。(2013课标全国Ⅰ，理23)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinxtyt(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)【考查内容】1.圆的极坐标方程、参数方程之间的互化；2.求圆与圆交点的极坐标二、近三年全国高考真题分析研究解法：解：(1)将45cos,55sinxtyt消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将cos,sinxy代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由2222810160,20xyxyxyy解得1,1xy或0,2.xy所以C1与C2交点的极坐标分别为π2,4，π2,2.而对（2)从极坐标系下解法：由（1）求出𝑐1的极坐标方程，联立：ρ2－8ρcosߠ－10ρsinߠ＋16＝0ρ=2sinߠ易解得：cosߠ(cos𝜃−sin𝜃)=0由于𝜌≥0，得:𝜃=𝜋2或𝜋4进而得出交点坐标分别为（2，𝜋2），（2，𝜋4）【考查内容】1.直线、椭圆的普通方程与参数方程互化；2.参数方程的应用。(2014课标全国Ⅰ，理23)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C：22149xy，直线l：222xtyt（t为参数）.（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任一点P作与l夹角为o30的直线，交l于点A，求||PA的最大值与最小值.(2015课标全国Ⅰ，理23)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系O中。直线1C:=2，圆2C：22121,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（I）求1C，2C的极坐标方程；（II）若直线3C的极坐标方程为4R，设2C与3C的交点为M,N,求∆𝐶2𝑀𝑁的面积【考查内容】1.直线和圆的普通方程化为极坐标方程；2.求过极点的直线与曲线的交点弦长。三、与往届安徽高考考查内容的不同之处1、试题题型不同，分值不同。全国卷把极坐标和参数方程作为三个选做大题之一，分值为10分。而往届安徽卷主要以填空题为主，分值为5分。2、试题难度不同，试题综合程度不同。全国卷对极坐标和参数方程的考查较往届安徽卷难度有所增大，而且综合程度较高。四、与往届安徽高考考查内容的相似之处1、全国卷和往届安徽卷对极坐标和参数方程的考查都遵循了《课程标准》所要建构的解析几何课程体系，即以坐标法为核心，依据“直线与方程----圆与方程----圆锥曲线与方程----坐标系与参数方程”为顺序，螺旋上升、循序渐进地展开内容。把对参数方程和极坐标的内容考查作为解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化的主旨不变。2、所涉题型均属于对教材习题的引申，解决该问题的两种主要思路：一是将参数方程化为普通方程，然后将普通方程化为极坐标方程，这种数量关系换算思想是不变的；二是由参数、极坐标方程表示的几何意义入手给出极坐标方程。教材P36:点p是椭圆𝑥=4𝑐𝑜𝑠𝛼𝑦=23𝑠𝑖𝑛𝛼𝛼为参数上，且在第一象限，𝑜𝑝的倾斜角为𝜋4，求𝑃点坐标。教材P25：求曲线𝜌=𝑠𝑖𝑛𝜃和𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃=14的交点坐标教材P53：求直线y=-x+1与圆𝑥=1+𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦=𝑠𝑖𝑛𝜃𝜃位参数的交点坐标。五、考点分析近几年的数学高考题重点考查直线和圆的极坐标，以及极坐标与直角坐标的互化；参数方程侧重考查直线，圆及椭圆参数方程与普通方程的互化；用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题、交点问题和位置关系的判定1、参数方程（1）了解参数方程及其意义，掌握参数方程和普通方程的互化。参数方程化为普通方程，常用代入法，加减消元法，三角恒等式消元法等方法。（2）选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程，掌握直线的参数方程及参数的几何意义，用直线的参数方程解决简单的相关问题。（3）引导学生利用参数方程中参数的几何意义去解决问题。这也符合课程标准所建构的解析几何螺旋上升的教育体系，学生也更加理解为什么要学这一章，学了又有什么用。特别是直线参数方程的几何意义更为重要，根据直线的参数方程中t的几何意义，可以得出相应结论。比如教材P38：直线经过M（1,5）、倾斜角是𝝅𝟑，求这条直线与圆𝒙𝟐+𝒚𝟐=16的两个交点到点M的距离和与积？解:由题意可得直线参数方程：𝑥=1+12𝑡𝑦=5+32𝑡（参数𝑡的几何意义是从点𝑀到直线任意点𝑃的位移）联立圆的方程得：𝑡2+53+1𝑡+10=0设该方程的两个根为𝑡1、𝑡2,由于𝑡1𝑡2=100,𝑡1+𝑡2=−（53+1）0,故而两个交点到点M的距离分别为−𝑡1，−𝑡2，所以两个交点到点M的距离和与积分别为−𝑡1+（−𝑡2）=53+1（−𝑡1）∙（−𝑡2）=10。2、坐标系（1）了解在系伸缩变换作用下平平面直角坐标面图形的变化情况。（2）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。例如：在极坐标系中点A（1,1）与直角坐标系中点A（1,1）的区别（3）注意极坐标与直角坐标的两组互化公式的使用条件：极点与原点重合；极轴与轴正向重合；取相同的单位长度。（4）极坐标系的问题多数情况下可转化到直角坐标系去解决。因为学生对直角坐标系比较熟悉，运用起来更方便。例如判断曲线的类型、求距离和点的坐标等。（5）如果直接在极坐标系中解决问题，则要和解三角形联系起来。根据几何图形，合理使用公式（例如，正余弦定理、三角形面积公式、直角三角形中的正余弦关系等）解决问题。掌握极坐标方程中𝜌的几何意义，会用𝜌（𝜌≥0）的几何意义解决有关距离问题。六、应试策略（1）该高考题在新课标大纲要求下，整体难度不大。学生复习时对试题难度的把握一定要恰当，不宜深挖，力求基础扎实，复习时紧扣大纲要求，不做偏题难题。抓好基础概念、定理、公式等基础知识的复习，掌握根据所给曲线的参数方程、极坐标方程化为普通方程和直角坐标方程，从而判断曲线类型的方法（2）在基础知识理解和变量换算上下功夫，减少学生在此题中暴露出的公式运用和计算过程的低级错误。变量换算是学生弱项，教师引导学生复习时须就熟避疏，就简避繁。（3）该题解题有多种方法，但有一个基本程序的限制。学生复习时要研究问题本质，不断梳理解题程序。解决直线与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，注意普通方程与参数方程的互化公式，重点掌握通过互化解决直线与圆、圆锥曲线位置关系的问题。（4）注意答题规范训练。由于高考评分参考答案标准较为简洁，学生书写要做到说清问题，表达有条理，根据所问问题写出关键步骤即可。七、教学建议1、教学内容方面1.1坐标系的教学应着重让学生理解平面和空间中点的位置都可以用有序数组（坐标）来刻画，在不同坐标系中，这些数所体现的几何含义不同。同一几何图形的方程在不同坐标系中具有不同的形式。因此，选择适当的坐标系可以使表示图形的方程具有更方便的形式。在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立坐标系有哪些方便之处。教学中应通过具体例子让学生体会极坐标的多值性，但是在表示点的极坐标时，如无特别要求，通常取ρ≥0，0≤θ＜2π。极坐标方程与直角坐标方程的互化，主要是极坐标方程化为直角坐标方程；参数方程与普通方程的互化，主要是参数方程化为普通方程，并注意参数的取值范围。1.2教材P9说明：当𝝆𝟎时，点𝑴（𝝆，θ）的位置可以按下列规则确定：作射线OP，使∠𝒙𝒐𝒑=𝜽,在OP的反向延长线上取一点M，𝑶𝑴=𝝆,这样点M的坐标就是(𝝆,𝜽)。1.3.1求曲线的极坐标方程主要包括：特殊位置的直线（如过极点的直线）圆（过极点或圆心在极点的圆）；1.3.2求曲线的参数方程主要包括：直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线的参数方程。1.3.3应注意鼓励学生运用已有的平面向量、三角函数等知识，选择适当的参数建立曲线的参数方程。七、教学建议2、教学方式方面2.1创设问题情境，启发学生思维，体会数学过程，改进学习方式。在进行具体内容的教学时应重视问题情景。其目的不仅是为了介入数学知识，更重要的是使学生体会数学知识的发生与发展过程，解决学生认知上的困难，启发学生的思维，改进学生学习的方式。2.2充分重视数学知识的联系性，使教学过程既成为学生学习新知识的过程，同时也成为已学知识的提升过程。2.3强调数学思想方法，关注数学思维活动，提高学生认知水平。高水平的数学教学活动不会停留在知识的传授与学习这个层次上。教学时，应关注学生的数学思维活动，帮助他们一数学知识为载体，提炼数学思想方法，提高认知水平。结束语考查内容一般是直线、圆、椭圆的三种方程（普通方程、参数方程、极坐标方程）的互化；利用参数方程、极坐标方程的特点优化交点坐标的求解、线段长度的计算等，难度一般不太大，要让学生树立信心拿满分。其他内容作为了解即可。谢谢大家！