【步步高】2015届高考数学总复习 第九章 9.2两直线的位置关系课件 理 北师大版

数学北（理）第九章平面解析几何§9.2两直线的位置关系基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行两条直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(b1≠b2)，则：l1∥l2⇔；当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2．(2)两条直线垂直两条直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，则l1⊥l2⇔；当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线．k1＝k2平行或重合k1·k2垂直＝－1基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理2．两直线相交交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0的解一一对应．相交⇔方程组有，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组；重合⇔方程组有．唯一解无解无数个解基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理3．三种距离公式(1)点A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离：|AB|＝.(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝.(3)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离为d＝.x2－x12＋y2－y12|Ax0＋By0＋C|A2＋B2|C2－C1|A2＋B2题号答案解析12345Dx＋y＋1＝0或x＋y－3＝0基础知识·自主学习－4342(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)√夯实基础突破疑难夯基释疑题型一两条直线的平行与垂直【例1】已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析【例1】已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．本题考查两直线平行或垂直成立的充分必要条件，解题易错点在于忽略斜率不存在的情况．题型分类·深度剖析题型一两条直线的平行与垂直思维启迪思维升华解析【例1】已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解(1)由已知可得l2的斜率存在，∴k2＝1－a.若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.题型分类·深度剖析∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0.又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a＝43(矛盾)．∴此种情况不存在，∴k2≠0.即k1，k2都存在，∵k2＝1－a，k1＝ab，l1⊥l2，题型一两条直线的平行与垂直思维启迪思维升华解析【例1】已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．题型分类·深度剖析∴k1k2＝－1，即ab(1－a)＝－1.①又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.②由①②联立，解得a＝2，b＝2.(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在，k1＝k2，即ab＝1－a.③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，题型一两条直线的平行与垂直思维启迪思维升华解析【例1】已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．题型分类·深度剖析∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即4b＝b，④联立③④，解得a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2.∴a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2.题型一两条直线的平行与垂直思维启迪思维升华解析【例1】已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件．题型分类·深度剖析题型一两条直线的平行与垂直思维启迪思维升华解析跟踪训练1已知两直线l1：x＋ysinα－1＝0和l2：2x·sinα＋y＋1＝0，求α的值，使得：(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.解(1)方法一当sinα＝0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.题型分类·深度剖析当sinα≠0时，k1＝－1sinα，k2＝－2sinα.要使l1∥l2，需－1sinα＝－2sinα，即sinα＝±22.所以α＝kπ±π4，k∈Z，此时两直线的斜率相等．故当α＝kπ±π4，k∈Z时，l1∥l2.跟踪训练1已知两直线l1：x＋ysinα－1＝0和l2：2x·sinα＋y＋1＝0，求α的值，使得：(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.方法二由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，题型分类·深度剖析所以sinα＝±22.又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sinα≠0，即sinα≠－1.所以α＝kπ±π4，k∈Z.故当α＝kπ±π4，k∈Z时，l1∥l2.(2)因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，所以2sinα＋sinα＝0，即sinα＝0，所以α＝kπ，k∈Z.故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.【例2】过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程．题型二两直线的交点思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析【例2】过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程．求直线的方程一般需要两个已知条件，本例已知直线l过一定点P(3,0)，还需要寻求另一个条件．这一条件可以是斜率k或另一个定点，因此，有两种解法．题型分类·深度剖析题型二两直线的交点思维启迪思维升华解析【例2】过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程．解方法一设直线l的方程为y＝k(x－3)，将此方程分别与l1，l2的方程联立，题型分类·深度剖析得y＝kx－3，2x－y－2＝0和y＝kx－3，x＋y＋3＝0.解之，得xA＝3k－2k－2和xB＝3k－3k＋1，∵P(3,0)是线段AB的中点，由xA＋xB＝6得3k－2k－2＋3k－3k＋1＝6，解得k＝8.题型二两直线的交点思维启迪思维升华解析【例2】过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程．题型分类·深度剖析故直线l的方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.方法二设l1上的点A的坐标为(x1，y1)，∵P(3,0)是线段AB的中点，则l2上的点B的坐标为(6－x1，－y1)，∴2x1－y1－2＝0，6－x1＋－y1＋3＝0.题型二两直线的交点思维启迪思维升华解析【例2】过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程．题型分类·深度剖析解这个方程组，得x1＝113，y1＝163.∴点A的坐标为(113，163)，由两点式可得l的方程为8x－y－24＝0.题型二两直线的交点思维启迪思维升华解析【例2】过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程．(1)两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．题型分类·深度剖析(2)常见的三大直线系方程①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．题型二两直线的交点思维启迪思维升华解析【例2】过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程．②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．③过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.题型分类·深度剖析题型二两直线的交点思维启迪思维升华解析跟踪训练2如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．解与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0.题型分类·深度剖析设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过点(－1,1)，∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0.解得λ＝－13.∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.题型三距离公式的应用【例3】正方形的中心在C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析【例3】正方形的中心在C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．借助平行直线系和垂直直线系设出其他三边所在直线的方程，利用正方形的中心到各边距离相等列出方程求直线系中的参数．题型分类·深度剖析题型三距离公式的应用思维启迪思维升华解析【例3】正方形的中心在C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．解点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，题型分类·深度剖析则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离d＝|－1＋m|1＋9＝3105，解得m＝－5(舍去)或m＝7，所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0.题型三距离公式的应用思维启迪思维升华解析【例3】正方形的中心在C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．题型分类·深度剖析设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，则点C到直线3x－y＋n＝0的距离d＝|－3＋n|1＋9＝3105，解得n＝－3或n＝9，所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.题型三距离公式的应用思维启迪思维升华解析【例3】正方形的中心在C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．正方形的四条边两两平行和垂直，设平行直线系和垂直直线系可以较方便地解决，解题时要结合图形进行有效取舍．本题的解法可以推广到求平行四边形和矩形各边所在直线的方程．运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线的距离公式时，需先把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式．题型分类·深度剖析题型三距离公式的应用思维启迪思维升华解析跟踪训练3已知点P(2，－1)．(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，并求出最大距离．(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．题型分类·深度剖析解(1)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，－1)，可见，过P(2，－