直线和椭圆的位置关系(高三复习)

直线与椭圆的位置关系主讲人：高三数学组回忆：直线与圆的位置关系1.位置关系：相交、相切、相离2.判别方法(代数法)联立直线与圆的方程消元得到二元一次方程组(1)△0直线与圆相交有两个公共点；(2)△=0直线与圆相切有且只有一个公共点；(3)△0直线与圆相离无公共点．通法直线与椭圆的位置关系种类:相离(没有交点)相切(一个交点)相交(二个交点)相离(没有交点)相切(一个交点)相交(二个交点)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的参数方程为x＝acosθy＝bsinθ(θ是参数)．点P(x0，y0)和椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的关系：(1)P(x0，y0)在椭圆内x02a2＋y02b21．(2)P(x0，y0)在椭圆上x02a2＋y02b2＝1．(3)P(x0，y0)在椭圆外x02a2＋y02b21．直线与椭圆位置关系判断联立y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1，得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0该一元二次方程的判别式为Δ.Δ0有两个交点相交；Δ＝0一个交点相切；Δ0无交点相离．例1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?例2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线交点情况满足()A.没有公共点B.一个公共点C.两个公共点D.有公共点22194xyD1直线与椭圆的位置关系6k366kk-3366-k33当=时有一个交点当或时有两个交点当时没有交点题型一直线与椭圆的位置关系例1已知对k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆x25＋y2m＝1恒有公共点，求实数m的取值范围．【思路】该题有两种解题思路，一是根据直线和圆锥曲线位置关系的讨论方法，由直线方程和椭圆方程联立组成的方程组必有解，通过消元，进一步转化为方程恒有解的问题，利用判别式Δ≥0求解参数的取值范围；二是由直线系方程得到直线所过的定点，由直线和椭圆恒有公共点可得，定点在椭圆上或在椭圆内，这样便可得到关于参数m的不等式，解之即可．【解析】方法一：由椭圆的方程，可知m0，且m≠5.将直线与椭圆的方程联立方程组，得y－kx－1＝0，①x25＋y2m＝1，②由①，得y＝kx＋1.代入②，得x25＋（kx＋1）2m＝1.整理，得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.因为直线与椭圆恒有公共点，故Δ＝(10k)2－4×(5k2＋m)×5(1－m)＝20(5k2m－m＋m2)≥0.因为m0，所以不等式等价于5k2－1＋m≥0，即k2≥1－m5，由题意，可知不等式恒成立，则1－m5≤0，解得m≥1.综上m的取值范围为m≥1且m≠5.方法二：因为直线y－kx－1＝0过定点P(0，1)，要使直线和椭圆恒有公共点，则该点在椭圆上或椭圆内，即025＋12m≤1，整理，得1m≤1，解得m≥1.又方程x25＋y2m＝1表示椭圆，所以m0且m≠5.综上m的取值范围为m≥1且m≠5.【答案】m≥1且m≠5探究1直线与椭圆位置关系的判断有两种方法，一是联立方程，借助一元二次方程的判别式Δ来判断；二是借助几何性质来判断．如本例中的方法二则更为简捷，根据直线系方程抓住直线恒过定点的特征，将问题转化为点和椭圆的位置关系，这也是解决该题的难点所在，破解此类问题的关键是熟练掌握直线系方程，另外抓住题中“k∈R”这个条件结合图形，也是很容易想到直线必过定点．思考题1已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：x24＋y22＝1，试问：当m取何值时，直线l与椭圆C，(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点？【解析】由y＝2x＋m，x24＋y22＝1，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.其Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)由Δ0，得－32m32，此时直线与椭圆C有两个不同的公共点；(2)由Δ＝0，得m＝±32，此时直线与椭圆C有且只有一个公共点；(3)由Δ0，得m－32或m32，此时直线与椭圆C没有公共点．综上所述，当－32m32时，直线l与椭圆C有两个不重合的公共点；当m＝±32时，直线l与椭圆C有且只有一个公共点；当m－32或m32时，直线l与椭圆C没有公共点．【答案】(1)m∈(－32，32)(2)m＝±32(3)m∈(－∞，－32)∪(32，＋∞)例2、已知椭圆和直线l：4x－5y＋40＝0，试推断椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？221259xy+=OxyFlM154141方法一：切线法方法二：三角换元法mm设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．弦长公式：221||1||1||ABABABkxxyyk2弦长公式如果直线的斜率不存在如何求弦长呢?１２ABｙ－ｙ方法小结题型二弦长问题例2椭圆两顶点A(－1，0)，B(1，0)过焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于CD两点．当|CD|＝322时．求l的方程．【解析】由题意b＝1，c＝1.∴a2＝b2＋c2＝1＋1＝2.∴椭圆方程为y22＋x2＝1.若直线l斜率不存在时，|CD|＝22，不合题意．若l斜率存在时，设l方程y＝kx＋1，联立y＝kx＋1，y2＋2x2＝2，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.Δ＝8(k2＋1)0恒成立．设C(x1，y1)，D(x2，y2)．∴x1＋x2＝－2kk2＋2，x1x2＝－1k2＋2.∴|CD|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2＝22（k2＋1）k2＋2.即22（k2＋1）k2＋2＝322，解得k2＝2.∴k＝±2.∴直线l方程为2x－y＋1＝0或2x＋y－1＝0.【答案】2x－y＋1＝0或2x＋y－1＝0探究2(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立，解决相关问题，涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝（1＋1k2）[（y1＋y2）2－4y1y2](k为直线斜率)．提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．思考题2已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝55，直线l交椭圆于M，N两点．(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦MN的长；(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．【解析】(1)由已知得b＝4，且ca＝55，即c2a2＝15.∴a2－b2a2＝15，解得a2＝20.∴椭圆方程为x220＋y216＝1.则4x2＋5y2＝80与y＝x－4联立．消去y，得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝409.∴所求弦长|MN|＝1＋12|x2－x1|＝4029.(2)椭圆右焦点F的坐标为(2，0)，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，由三角形重心的性质知BF→＝2FQ→.又B(0，4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)．故得x0＝3，y0＝－2，即得Q的坐标为(3，－2)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，且x1220＋y1216＝1，x2220＋y2216＝1.以上两式相减，得（x1＋x2）（x1－x2）20＋（y1＋y2）（y1－y2）16＝0.∴kMN＝y1－y2x1－x2＝－45·x1＋x2y1＋y2＝－45×6－4＝65.故直线MN的方程为y＋2＝65(x－3)，即6x－5y－28＝0.【答案】(1)4029(2)6x－5y－28＝0已知点，椭圆：（）的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点。（1）求的方程；（2）设过点的直线与相交于，两点，当的面积最大时，求的方程。2014陕西已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为，。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线与椭圆交于、两点，与以为直径的圆交于、两点，且满足，求直线的方程。例4：已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.解：韦达定理→斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造弦中点问题例4：已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．点作差弦中点问题探究3本类型题目常见问题有：①过定点被定点平分的弦所在直线的方程；②平行弦中点轨迹；③过定点的弦的中点的轨迹．解决有关弦及弦中点问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”．这两种方法的前提都必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点．思考题3(1)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点为M(1，－1)，则E的方程为()A.x245＋y236＝1B.x236＋y227＝1C.x227＋y218＝1D.x218＋y29＝1【解析】kAB＝0＋13－1＝12，kOM＝－1，由kAB·kOM＝－b2a2，得b2a2＝12，∴a2＝2b2.∵c＝3，∴a2＝18，b2＝9，椭圆E的方程为x218＋y29＝1.【答案】D(2)(2016·南昌二模)已知椭圆：y29＋x2＝1，过点P(12，12)的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为()A．9x－y－4＝0B．9x＋y－5＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋y－5＝0【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆y29＋x2＝1上，所以y129＋x12＝1，y229＋x22＝1，两式相减得y12－y229＋x12－x22＝0，得（y1－y2）（y1＋y2）9＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又弦AB被点P(12，12)平分，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，将其代入上式得y1－y29＋x1－x2＝0，得y1－y2x1－x2＝－9，即直线AB的斜率为－9，所以直线AB的方程为y－12＝－9(x－12)，即9x＋y－5＝0.【答案】B2014江西（抄）练习：自助餐1lxyABABABM22,:10,||22,,.例6椭圆的对称轴是坐标轴若椭圆与直线交于两点，中点与椭圆中心连线斜率为求椭圆方程yxxmnnnmnmxmnmnmmnnmnxmyAxyBxyABxynxmynmxmxmxyxyABxxxxnnmmnm0120222112200222200OM2221212()222::1(m0,n0)(,),(,),M(,).1:()210,10:,,k==.||()42222:30,解设椭圆设点中点由得则则因则且nm21233,:.得