直线的交点坐标与距离公式

第二节直线的交点坐标与距离公式1.两条直线的交点唯一解无解有无数组解2.三种距离点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离_________________点P0(x0，y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离_______________两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=_________222121(xx)(yy)0022|AxByC|ABd1222|CC|AB12|PP|判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交.()(2)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为()(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()(4)若点A，B关于直线l:y=kx+b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于且线段AB的中点在直线l上.()02|kxb|.1k1k，【解析】(1)错误，当方程组有唯一解时两条直线相交，若方程组有无穷多个解，则两条直线重合.(2)错误，应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式，即本问题的距离为(3)正确，因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长，即点到直线的距离.(4)正确，因为线段AB被直线l垂直平分.答案:(1)×(2)×(3)√(4)√002|kxyb|.1k1.已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x-y+3=0的距离为1，则a等于()(A)(B)(C)(D)【解析】选C.由且a＞0，得2222121|a23|12a21.2.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点，则点(m,n)可能是()(A)(1，-3)(B)(3，-1)(C)(-3，1)(D)(-1，3)【解析】选A.由∴m+2n+5=0，∴点(m,n)可能是(1，-3).y2x,x1,xy3,y2,得3.点(a,b)关于直线x+y+1=0的对称点是()(A)(-a-1,-b-1)(B)(-b-1,-a-1)(C)(-a,-b)(D)(-b,-a)【解析】选B.设对称点为(x′,y′)，则解得：x′=-b-1，y′=-a-1.yb(1)1,xaxayb1022，4.已知A(a,-5)，B(0,10)，|AB|=17，则a=_______.【解析】依题设及两点间的距离公式得：解得a=±8.答案:±822(a0)(510)17,5.平行线l1：3x-2y-5=0与l2:之间的距离为_______.【解析】直线l2可化为：3x-2y+=0，由平行线间的距离公式得：答案:33yx2432223|5|132d.23(2)132考向1直线的交点【典例1】求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点，且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.【思路点拨】可先求出两条直线的交点坐标，再用点斜式求解；也可用与直线垂直的直线系方程或过两条直线交点的直线系方程求解.【规范解答】方法一：先解方程组得l1，l2的交点坐标为(-1，2)，再由l3的斜率求出l的斜率为于是由直线的点斜式方程求出l：即5x+3y-1=0.3x2y105x2y10，，3553，5y2(x1)3，方法二：由于l⊥l3，故l是直线系5x+3y+C=0中的一条，而l过l1，l2的交点(-1，2)，故5×(-1)+3×2+C=0，由此求出C=-1，故l的方程为5x+3y-1=0.方法三：由于l过l1，l2的交点，故l是直线系3x+2y-1+λ(5x+2y+1)=0中的一条，将其整理，得(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0.其斜率解得代入直线系方程即得l的方程为5x+3y-1=0.355223，15，【拓展提升】1.两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点.2.常见的三大直线系方程(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C).(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R).(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)，但不包括l2.【变式训练】(1)已知直线方程为(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0，求证：无论a为何实数值，直线必过定点，并求出该定点的坐标.【解析】原方程可化为x-2y+5+a(2x+3y-18)=0，它表示过直线x-2y+5=0与直线2x+3y-18=0交点的直线系方程，无论a取何值它都过两直线的交点，由所以直线过定点(3，4).x2y50,x3,2x3y180,y4.解得(2)当m为何值时，三条直线l1：4x+y-3=0与l2：x+y=0,l3：2x-3my-4=0能围成一个三角形?【解析】三条直线能围成三角形即三条直线两两相交且不共点.当m≠0时，有24123mmm.26313m，解得：且，又因为l1：4x+y-3=0与l2：x+y=0的交点为(1,-1)，所以2+3m-4≠0，解得当m=0时，l3:2x-4=0,l1:4x+y-3=0,l2:x+y=0,l1与l3的交点为(2,-5)，l1与l2的交点为(1,-1),l2与l3的交点为(2,-2)，能构成三角形，符合题意.综上可知：2m.3122m,mm.633且且考向2三种距离公式的应用【典例2】(1)(2012·北京模拟)在△OAB中，O为坐标原点，A(1，cosθ)，B(sinθ，1)，则△OAB的面积的取值范围是()13A(01B[]221313C[]D[]4244，］，，，(2)圆C：x2+y2=4上的点到直线l:3x+4y-20=0距离的最大值为________.(3)已知直线l1:mx+8y+n=0与l2:2x+my-1=0互相平行，且l1,l2之间的距离为求直线l1的方程.5，【思路点拨】(1)利用两点间距离公式求出|OA|，再利用点到直线的距离公式求出点B到直线OA的距离d.然后将S△OAB表示成θ的函数再求范围.(2)利用几何性质，只需先求圆心到直线l的距离，再加上半径即得.(3)先由l1∥l2,求出m的值，再根据l1,l2之间的距离为求出n的值，即得l1的方程.5，【规范解答】(1)选D.由两点间距离公式得又直线OA的斜率∴直线OA的方程为y=xcosθ，即xcosθ-y=0，∴点B(sinθ，1)到直线OA的距离2|OA|cos1，OAcos0kcos10，2|sincos1|dcos1211sin221cos，2OAB2OAB11sin2112S|OA|dcos1221cos11sin2,R2413S.44又，(2)圆C：x2+y2=4的圆心(0，0)到直线l:3x+4y-20=0的距离∴直线l与圆C相离,∴最大值为4+2=6.答案:622304020d4234＞，(3)∵l1∥l2，①当m=4时，直线l1的方程为4x+8y+n=0，把l2的方程写成4x+8y-2=0，解得n=-22或n=18.所以，所求直线的方程为2x+4y-11=0或2x+4y+9=0.m8n2m1，m4,m4,n2n2.或|n2|51664，②当m=-4时，直线l1的方程为4x-8y-n=0，l2的方程为4x-8y-2=0，解得n=-18或n=22.所以，所求直线的方程为2x-4y+9=0或2x-4y-11=0.|n2|5,1664【互动探究】本例题(2)中圆C变为椭圆C′：则最大值如何？【解析】设与l:3x+4y-20=0平行且与椭圆相切的直线l′的方程为：3x+4y+c=0(c≠-20)，由消去y得关于x的一元二次方程为18x2+6cx+c2-144=0,∴Δ=(6c)2-4×18×(c2-144)=0，解得22xy1169，223x4yc0xy1169，c122.数形结合得最大距离为l:3x+4y-20=0与3x+4y+=0间的距离，12222|122(20)|1242.534【拓展提升】1.三种距离的求法(1)两点间的距离设点A(xA,yA),B(xB,yB)，特例：AB⊥x轴时，|AB|=|yA-yB|；AB⊥y轴时，|AB|=|xA-xB|.22ABAB|AB|(xx)(yy).(2)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式.(3)两平行直线间的距离①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式.【提醒】应用两平行线间的距离公式求距离时,要注意两平行直线方程中x，y的系数必须相等.2.解析几何中最值问题的两大求解思想(1)函数思想：选变量构建目标函数，转化为求函数的最值.(2)数形结合思想：利用待求量(式)的几何意义，数形结合求解.【变式备选】已知点A(2，-1)，(1)求过点A且与原点距离为2的直线l的方程.(2)求过点A且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点A且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.【解析】(1)当斜率不存在时，直线l的方程为x=2，此时，原点到直线l的距离为2，符合题意；当斜率存在时，设直线l的方程为y+1=k(x-2)，即kx-y-2k-1=0，由已知得解得此时直线l的方程为3x-4y-10=0,综上可知：直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.2|2k1|2,k13k4，(2)过点A且与原点O距离最大的直线是过点A与AO垂直的直线，由l⊥AO，得klkOA=-1，所以由直线的点斜式得y+1=2(x-2)，即2x-y-5=0，即直线2x-y-5=0是过点A且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是OA1k2k，l|5|5.5(3)由(2)可知，过点A不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过点A且与原点距离为6的直线.5考向3对称问题【典例3】已知直线l：2x-3y+1=0，点A(-1,-2).求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标.(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程.(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程.【思路点拨】(1)设出对称点A′的坐标，利用线段AA′被直线l垂直平分，构建方程组求解.(2)可设法找到m′上两个点的坐标，再由两点式求出方程.(3)可设法找到两个点的坐标，即可求出直线l′的方程；或利用对称性得l∥l′，利用待定系数法求直线l′的方程；也可在l′上任取一点，利用该点关于点A的对称点在直线l上得出方程.【规范解答】(1)设对称点A′的坐标为(m,n)，由已知可得33n22m133413m13A(,).4m1n21313n23101322，，解得即，，(2)在直线m上取一点，如B(2，0)，则B关于l的对称点必在m′上.设对称点为B′(a,b),则由得a2b0231022b021a23，，630B(,).1313设m与l的交点为N，由得N(4，3).又m′过N点，由两点式得直线m′的方程为即9x-46y+102=0.2x3y10,3x2y60,y3x4306341313，(3)方法一：在l：2x-3y+1=0上任取两点，如M(1，1)，N(4，3).则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上.易知M′(-3，-5)，N′(-6，-7)，由两点式