高考数学一轮单元复习：第63讲 复数的基本概念与运算

│复数的基本概念与运算│知识梳理知识梳理1．复数的有关概念形如的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足，a叫做，b叫做，复数集记作．2．复数的分类复数a＋bi(a，b∈R)是实数的充要条件是；是纯虚数的充要条件是；是虚数的充要条件是.3．复数相等两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，则z1＝z2。C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R}i2＝－1实部虚部a＋bi(a，b∈R)b＝0a＝0且b≠0b≠0a＝c且b＝d│知识梳理4．复数的几何意义(1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内，x轴叫做，y轴叫做，x轴的单位是1，y轴的单位是i.显然，实轴上的点都表示；除原点以外，虚轴上的点都表示。(2)复数z＝a＋bi一一对应有序实数对(a，b)一一对应点Z(a，b)．(3)设OZ→＝a＋bi，则向量OZ→的长度叫做复数a＋bi的(或)，记作|a＋bi|，且|a＋bi|＝.(4)复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义．实轴虚轴实数纯虚数长度模a2＋b2│知识梳理5．共轭复数如果两个复数实部，而虚部，则这两个复数互为，即复数z＝a＋bi的共轭复数为z＝.6．复数的代数运算对于i有i4n＝，i4n＋1＝，i4n＋2＝，i4n＋3＝(n∈Z)．已知两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，则z1±z2＝，z1·z2＝，z1z2＝a＋bic＋di＝．特别地，若z＝a＋bi，则z·z＝a2＋b2.相等互为相反数共轭复数a－bi1i－1－i(ac－bd)＋(ad＋bc)i(a±c)＋(b±d)i(ac＋bd)＋(bc－ad)ic2＋d2(z2≠0)│要点探究要点探究►探究点1复数的有关概念例1已知复数z＝a2－7a＋6a2－1＋(a2－5a－6)i(a∈R)．求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．│要点探究【思路】根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分别求出相应的a的值．【解答】(1)当z为实数时，则a2－5a－6＝0，a2－1≠0，∴a＝－1或a＝6，a≠±1.故当a＝6时，z为实数．(2)当z为虚数时，则有a2－5a－6≠0，a2－1≠0，│要点探究∴a≠－1且a≠6，a≠±1，∴a≠±1且a≠6.∴当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．(3)当z为纯虚数时，则有a2－5a－6≠0，a2－7a＋6a2－1＝0.∴a≠－1且a≠6，a＝6且a≠±1.∴不存在实数a使z为纯虚数．│要点探究【点评】由于a∈R，所以复数z的实部与虚部分别为：a2－7a＋6a2－1与a2－5a－6.①求解第(1)、(2)小题时，仅注重虚部等于零或不等于零是不够的，还需要考虑它的实部是否有意义，否则这两个小题将出现增根；②求解第(3)小题时，既要考虑实部为0(当然也要考虑分母不为0)，还需考虑虚部不为0，两者缺一不可．│要点探究变式题若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为()A．－1B．0C．1D．－1或1【思路】从复数的概念入手解题．【解答】A由x2－1＝0，x－1≠0x＝－1.│要点探究►探究点2复数的运算例2计算：(1)2－i31－2i；(2)－23＋i1＋23i＋21－i2011.【思路】利用复数的四则运算法则和i的性质进行运算．│要点探究【解答】(1)2－i31－2i＝2＋i1－2i＝(2＋i)(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝2i＋i1＋2＝i.(2)－23＋i1＋23i＋21－i2011＝i(1＋23i)1＋23i＋21－i21005·21－i＝i＋2－2i1005·21－i│要点探究＝i＋i1005·21－i＝i＋i·21－i＝－22＋22＋1i.│要点探究【点评】复数的代数形式运算，要严格遵循复数的运算法则，同时还要记住一些常用的结论，如：i的周期性、(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i，－b＋ai＝i(a＋bi)，以有效地简化运算，提高计算速度．复数的相等是复数运算中常用的一种考查形式，如下变式题．│要点探究变式题[2009·安徽卷]i是虚数单位，若1＋7i2－i＝a＋bi(a，b∈R)，则乘积ab的值是()A．－15B．－3C．3D．15【解答】B1＋7i2－i＝(1＋7i)(2＋i)5＝－1＋3i，∴a＝－1，b＝3，ab＝－3.│要点探究例3设z的共轭复数是z，且满足|z|－z＝101－2i，则z＝________.【思路】设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，利用复数相等解得．【答案】3+4i►探究点3共轭复数及与模有关的问题│要点探究【解析】设z＝a＋bi(a、b∈R)，则a2＋b2－a＋bi＝2＋4i，∴a2＋b2－a＝2，b＝4，∴a＝3，b＝4.∴z＝3＋4i.【点评】本题考查共轭复数和复数的模的概念，掌握这两个概念的有关性质，可以简化解题过程．共轭复数的性质有：①z＝z；②z·z＝|z|2＝|z|2；③z∈Rz＝z.设z＝a＋bi，|z|＝a2＋b2，运算性质有：①|z|＝|z|；②|z1·z2|＝|z1||z2|；③|z|＝1z·z＝1；④|z|2＝|z|2＝|z2|＝|z2|＝z·z等等．如下面的变式题．│要点探究变式题[2009·上海卷]若复数z满足z(1＋i)＝1－i(i是虚数单位)，则其共轭复数z＝________.【思路】利用复数的运算解得复数z，再求其共轭复数．【答案】i│要点探究【解析】设z＝a＋bi，则(a＋bi)(1＋i)＝1－i，即a－b＋(a＋b)i＝1－i，由a－b＝1，a＋b＝－1，解得a＝0，b＝－1，所以z＝－i，z＝i.│要点探究►探究点4复数的几何意义例4已知OABC的三个顶点O、A、C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i.试求：(1)表示的复数；(2)表示的复数；(3)B点对应的复数．【思路】本题给出了一些点对应的复数，求另一些点或向量对应的复数，根据复数的几何意义进行求解．AOCA│要点探究【解答】D(1)，∴表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i.(2)，∴表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)，∴表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i.AOCAAOOACAOAOCOBOAABOAOCOB【点评】解决此类问题是利用复数z＝a＋bi(a、b∈R)与复平面内以原点为起点的向量之间一一对应的关系，相等的向量表示同一复数，然后借助于向量运算的平行四边形法则和三角形法则进行求解．利用复数的几何意义解题会收到事半功倍的效果，比如下列变式题．│要点探究│要点探究变式题若z∈C，且|z|＝1，求|z－i|的最大值．【思路】由复数的几何意义求解．【解答】由复数的几何意义知，复数z对应的点在单位圆上，|z－i|的几何意义是复数z对应的点到点(0,1)间的距离，所以当单位圆上取点(0，－1)时，距离最大为2.即|z－i|的最大值为2.│规律总结规律总结1．熟练掌握并能灵活运用以下结论：(1)复数相等的充要条件a＋bi＝c＋dia＝c且b＝d(a、b、c、d∈R)；(2)复数是实数的充要条件①z＝a＋bi∈Rb＝0(a、b∈R)；②z∈Rz＝z；③z∈Rz2≥0；(3)复数是纯虚数的充要条件①z＝a＋bi是纯虚数a＝0且b≠0(a、b∈R)；②z是纯虚数z＋z＝0(z≠0)．│规律总结2．复数的运算规律与技巧：复数的代数形式运算类似多项式的运算，加法类似合并同类项，乘法类似多项式乘多项式，除法类似分母有理化(实数化)；但复数运算有它独特的技巧，如以下结论要熟练掌握并能灵活运用：(1)in的周期性；(2)1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i；(3)(1±i)2＝±2i；(4)ω的性质；(5)z·z＝|z|2，可有效地简化运算，提高计算速度．3．复数的几何表示：复数z＝a＋bi(a、b∈R)与复平面内的点P(a、b)及向量是一一对应的．在对概念的理解时要善于利用数形结合的思想，如纯虚数与虚轴上的点OP│规律总结对应，实数与实轴上的点对应，复数的模表示复数对应的点到原点的距离，共轭复数对应的点关于实轴对称等．4．强调数学思想方法的运用(1)转化思想：要求全面理解掌握复数知识的同时，善于将复数向实数转化，将复数向几何意义转化．(2)数形结合思想：借助复数的几何意义处理有关复数问题是高考考查的热点之一，应引起注意．(3)整体思想：利用复数z本身的性质(如z·z＝|z|2)等把握问题的整体结构和特征，以简化解题过程．│规律总结(4)方程思想：如已知1－z1＋z＝i，求复数z，没必要设z＝a＋bi(a，b∈R)，通过分母实数化、复数相等求解，可直接把已知看成关于z的方程，求得z＝1－i1＋i＝－i.