高考数学一轮复习 空间向量与立体几何问题导学案

空间向量与立体几何问题知识梳理教学重、难点作业完成情况典题探究例1.如图，在四面体S­ABC中，若SA⊥BC，SB⊥AC，试证SC⊥AB.例2.如图，四棱锥SABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成的角的正弦值．例3.如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)证明：PA⊥BD；(2)若PD＝AD，求二面角A­PB­C的余弦值．例4.如图所示，在棱长为1的正方体OABC­O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤1，以O为原点建立空间直角坐标系O­xyz.(1)求证A1F⊥C1E；(2)若A1，E，F，C1四点共面求证：A1F→＝12A1C1→＋A1E→.演练方阵A档（巩固专练）1.下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面．其中不正确命题的个数是()．A．1B．2C．3D．42．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，那么，这条斜线与平面所成的角是()．A．90°B．30°C．45°D．60°3.平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，向量AB→、AD→、AA1→两两的夹角均为60°，且|AB→|＝1，|AD→|＝2，|AA1→|＝3，则|AC1→|等于()．A．5B．6C．4D．84．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是()．A．平行B．相交C．垂直D．不确定5．已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量是n＝(6，－3,6)，则下列点P中在平面α内的是()．A．P(2,3,3)B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0)D．P(3，－3,4)6．已知点A，B，C∈平面α，点P∉α，则AP→·AB→＝0，且AP→·AC→＝0是AP→·BC→＝0的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中G为△A1BD的重心，设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，试用a，b，c表示AC1→，AG→.8如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.9如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．求证：PB∥平面EFG.10.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.B档（提升精练）1.a＝λb(λ是实数)是a与b共线的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是()．A．a∥c，b∥cB．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥bD．以上都不对3．已知AB→＝(2,2,1)，AC→＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________．4．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为()．A．45°B．135°C．45°或135°D．90°5．在正方体A1B1C1D1­ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为()．A．－1010B．－120C.120D.10106.如右图，已知平行六面体ABCD­A′B′C′D′，E、F、G、H分别是棱A′D′、D′C′、C′C和AB的中点，求证E、F、G、H四点共面．7.在三棱锥SABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝23，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示，求点B到平面CMN的距离．8.已知ABCD­A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1＝2，求(1)异面直线BD与AB1所成角的余弦值；(2)四面体AB1D1C的体积．9.已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．10.如图所示，已知点P在正方体ABCD­A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．C档（跨越导练）1.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则l与α所成的角为()．A．30°B．60°C．120°D．150°2．如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________．3．在四面体O­ABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE→＝________(用a，b，c表示)．4．已知向量a∥平面β，向量a所在直线为a，则()．A．a∥βB．a⊂βC．a交β于一点D．a∥β或a⊂β5.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点.（Ⅰ）求证：DA1⊥ED1；（Ⅱ）若直线DA1与平面CED1成角为45o，求AEAB的值；6.如图在三棱柱ABC­A1B1C1中，D为BC边上的中点，试证A1B∥平面AC1D.7.如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝23.(1)求点A到平面MBC的距离；(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．C1D1B1CA1ABDE8.如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD.四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝2，∠CDA＝45°.(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；(2)设AB＝AP.(ⅰ)若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长；(ⅱ)在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等？说明理由．9.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．(1)证明：PC⊥平面BEF；(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小．10如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝12PD.(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；(2)求二面角Q­BP­C的余弦值．成长足迹课后检测学习（课程）顾问签字：负责人签字：教学主管签字：主管签字时间：空间向量与立体几何答案四、典题探究例1.证明取＝a，＝b，＝c，由已知SA⊥BC，SB⊥AC，即a·c－b＝0①b·c－a＝0②②－①得c·(b－a)＝0，则SC⊥AB.例2．解答：以C为坐标原点，射线CD为x正半轴，建立如空间直角坐标系Cxyz.设D(1,0,0)，则A(2,2,0)、B(0,2,0)．又设S(x，y，z)，则x＞0，y＞0，z＞0.(1)证明A＝(x－2，y－2，z)，＝(x，y－2，z)，＝(x－1，y，z)，由||＝||得x－22＋y－22＋z2＝x2＋y－22＋z2，故x＝1.由||＝1得y2＋z2＝1，又由||＝2得x2＋(y－2)2＋z2＝4，即y2＋z2－4y＋1＝0，故y＝12，z＝32.于是S1，12，32，＝－1，－32，32，＝1，－32，32，＝0，12，32，·＝0，·＝0，故DS⊥AS，DS⊥BS，又AS∩BS＝S，所以SD⊥平面SAB.(6分)(2)解设平面SBC的法向量a＝(m，n，p)，则a⊥，a⊥，∴a·＝0，a·＝0.又＝1，－32，32，＝(0,2,0)，故m－32n＋32p＝0，2n＝0.取p＝2得a＝(－3，0,2)．又＝(－2,0,0)，cos〈，a〉＝＝217.故AB与平面SBC所成角的正弦值为217.例3.(1)证明因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝3AD.从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.又AD∩PD＝D.所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.(2)解：如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B(0，3，0)，C(－1，3，0)，P(0,0,1)．＝(－1，3，0)，＝(0，3，－1)，＝(－1,0,0)．设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则即－x＋3y＝0，3y－z＝0.因此可取n＝(3，1，3)．设平面PBC的法向量为m，则可取m＝(0，－1，－3)，则cos〈m，n〉＝－427＝－277.故二面角APBC的余弦值为－277.例4.证明(1)由已知条件A1(1,0,1)，F(1－x,1,0)，C1(0,1,1)，E(1，x,0)，＝(－x,1，－1)，＝(1，x－1，－1)，则·＝－x＋(x－1)＋1＝0，∴⊥，即A1F⊥C1E.(2)＝(－x,1，－1)，＝(－1,1,0)，＝(0，x，－1)，设＝λ＋μ，－x＝－λ，1＝λ＋μx，－1＝－μ，解得λ＝12，μ＝1.∴＝12＋.五、演练方阵A档（巩固专练）1.答案C解析①中四点恰好围成一封闭图形，正确；②中当a、b同向时，应有|a|＋|b|＝|a＋b|；③中a、b所在直线可能重合；④中需满足x＋y＋z＝1，才有P、A、B、C四点共面．2．答案D解析∵cos〈a，b〉＝12·2＝12，又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝60°.3.答案A解析：设＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c，2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝25，因此||＝5.4．答案A解析∵v2＝－2v1，∴v1∥v2.5．答案A解析∵n＝(6，－3,6)是平面α的法向量，∴n⊥，在选项A中，＝(1,4,1)，∴n·＝0.6．答案A解析：由，得·(－)＝0，即·＝0，亦即·＝0，反之，若·＝0，则·(－)＝0⇒·＝·，未必等于0.7.解＝＋＋＝＋＋＝a＋b＋c.＝＋＝＋13(＋)＝＋13(－)＋13(－)＝13＋13＋13＝13a＋13b＋13c.8.证明：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M0，1，12，N12，1，1，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是＝12，0，12，设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．则n·＝0，且n·＝0，得x＋z＝0，x＋y＝0.取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．又·n＝12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n，又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.9证明∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形，∴AB、AP、AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)．∴＝(2,0，－2)，＝(0，－1,0)，＝(1,1，－1)，设＝s＋t，即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，∴t＝2，t－s＝0