高考数学一轮复习-三角函数和平面向量的综合应用02课件

例3向量m＝3sinx4，1，n＝cosx4，cos2x4.(1)若m·n＝1，求cos2π3－x的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．平面向量与三角函数(1)由向量数量积的运算转化成三角函数式，化简求值．(2)在△ABC中，求出∠A的范围，再求f(A)的取值范围．解(1)m·n＝3sinx4·cosx4＋cos2x4＝32sinx2＋1＋cosx22＝sinx2＋π6＋12，∵m·n＝1，∴sinx2＋π6＝12.cosx＋π3＝1－2sin2x2＋π6＝12，cos2π3－x＝－cosx＋π3＝－12.(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC.∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA≠0.∴cosB＝12，∵0Bπ，∴B＝π3.∴0A2π3.∴π6A2＋π6π2，sinA2＋π6∈12，1.又∵f(x)＝sinx2＋π6＋12.∴f(A)＝sinA2＋π6＋12.故函数f(A)的取值范围是1，32.向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．探究提高已知A、B、C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，α∈π2，3π2.(1)若|AC→|＝|BC→|，求角α的值；(2)若AC→·BC→＝－1，求2sin2α＋sin2α1＋tanα的值．变式训练3解(1)∵AC→＝(cosα－3，sinα)，BC→＝(cosα，sinα－3)，∴AC→2＝(cosα－3)2＋sin2α＝10－6cosα，BC→2＝cos2α＋(sinα－3)2＝10－6sinα，由|AC→|＝|BC→|，可得AC→2＝BC→2，即10－6cosα＝10－6sinα，得sinα＝cosα.又α∈π2，3π2，∴α＝5π4.(2)由AC→·BC→＝－1，得(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝－1，∴sinα＋cosα＝23.①又2sin2α＋sin2α1＋tanα＝2sin2α＋2sinαcosα1＋sinαcosα＝2sinαcosα.由①式两边分别平方，得1＋2sinαcosα＝49，∴2sinαcosα＝－59.∴2sin2α＋sin2α1＋tanα＝－59.(14分)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.平面向量与三角函数的结合问题答题模板(1)利用向量的垂直关系，将向量间的关系转化成三角函数式，化简求值．(2)根据向量模的定义，将求模问题转化为求三角函数最值的问题．(3)转化成证明与向量平行等价的三角函数式．审题视角规范解答(1)解由a与b－2c垂直，得a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2.[4分](2)解|b＋c|2＝(b＋c)2＝b2＋c2＋2b·c＝sin2β＋16cos2β＋cos2β＋16sin2β＋2(sinβcosβ－16sinβcosβ)＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β，最大值为32，所以|b＋c|的最大值为42.[9分](3)证明由tanαtanβ＝16，得sinαsinβ＝16cosαcosβ，即4cosα·4cosβ－sinαsinβ＝0，故a∥b.[14分]答题模板第一步：将向量间的关系转化成三角函数式．第二步：化简三角函数式．第三步：求三角函数式的值或分析三角函数式的性质．第四步：明确结论．第五步：反思回顾．查看关键点，易错点和规范解答．批阅笔记(1)本题是典型的向量与三角函数的综合，题目难度中档，属高考的重点题型．(2)本题体现了转化与化归的思想方法．根据向量关系，转化为三角函数式的问题，利用三角函数解决．(3)易错分析．在将向量关系转化为三角函数式时易出错．在第(3)问中，学生不知道要推出怎样的三角关系式才能说明a∥b.事实上是学生忽略了a∥b的条件．1．研究三角函数的图象与性质的主要思想方法是数形结合思想，这主要体现在运用三角函数的图象研究三角函数的图象变换、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等知识；运用三角函数的图象解决取值范围、交点个数、定义域等内容．2．三角函数与向量的交汇综合是近几年高考的热点题型，主要从以下两个方面进行考查．(1)利用平面向量的知识(如向量的模、数量积、向量的夹角)，通过向量的有关运算，将向量条件转化为三角关系，然后通过三角变换及三角函数的图象与性质等解决问题．方法与技巧(2)从三角与向量的关联点(角与距离)处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查．3．加强数学思想方法的考查，转化思想主要体现在把向量问题转化为三角问题．方法与技巧1．对于三角函数的化简求值问题，一要熟练应用公式化简，二要注意角的范围．2．平面向量与三角函数问题，一般是通过向量运算，将其转化为三角函数式，要注意转化的准确性和灵活性．失误与防范知识网络设O为△ABC所在平面上一点，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，则△222(1);为的外心OABCOAOBOC△(2)0;为的重心OABCOAOBOC△(3);为的垂心OABCOAOBOBOCOAOC△(4)0.为的内心=OABCaOAbOBcOC☞三角形四心的向量形式忆一忆知识要点要点梳理1.在△ABC中:若则是的外心222(1),;OAOBOCOABC△若则是的重心(2)0,;OAOBOCOABC△若则是的垂心(3),;OAOBOBOCOAOCOABC△一定过的重心(4).ABACABC△一定过的内心(5)()(R).||||ACABABCABAC△若=,则是的内心(6)0.aOAbOBcOCOABC△☞向量与常见几何图形的联系忆一忆知识要点要点梳理2.在△ABC中:设若是正三角形(1),,,,;BCaCAbABcabbcacABC△若|,则是正三角形.(3)0,|||||OAOBOCOAOBOCABC△若则是正三角形.(2),,,,OAOBOBOCOCOAABC△3.在平行四边形ABCD中:若则(1)||||,()()0;ABADABADABAD若则(2),||||.ABADABADABAD忆一忆知识要点要点梳理