高考数学一轮复习第四章第讲正弦定理和余弦定理配套课件理新人教A版

揭秘3年高考第7讲正弦定理和余弦定理揭秘3年高考考点梳理1．正弦定理：asinA＝_______＝_______＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2RsinA，b＝_________，c＝__________；(3)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．bsinBcsinC2RsinB2RsinC揭秘3年高考2．余弦定理：a2＝_________________，b2＝___________________，c2＝__________________．余弦定理可以变形为：cosA＝____________，cosB＝_____________，cosC＝___________.3．S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosCb2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab揭秘3年高考4．已知两边和其中一边的对角解三角形时，注意解的情况．如：已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解揭秘3年高考一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.一个命题规律本讲是高考必考内容，重点为正弦、余弦定理及三角形面积公式．客观题以考查正、余弦定理解三角形为主，难度不大；解答题主要与函数结合考查，实现边角互化．【助学·微博】揭秘3年高考考点自测1．(2012·镇江统考)设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且acosA＝csinC，那么A＝________.解析由acosA＝csinC，asinA＝csinC，得asinA＝acosA，即sinA＝cosA，所以A＝π4.答案π4揭秘3年高考2．(2012·济南外国语检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为________．解析由2sinB＋π4＝2，得B＝π4，由正弦定理，得sinA＝asinBb＝2sinπ42＝12，又A＜B＝π4，所以A＝π6.答案π6揭秘3年高考3．(2012·南京市学情调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC，则角C＝________.解析由csinA＝acosC和正弦定理，得sinCsinA＝sinAcosC，即tanC＝1.又C∈(0，π)，所以C＝π4.答案π4揭秘3年高考4．(2012·苏北四市检测)在△ABC中，已知BC＝1，B＝π3，△ABC的面积为3，则AC的长为________．解析由于△ABC的面积S＝12·AB·BC·sinB＝12×AB×1×32＝3，所以AB＝4.由余弦定理得AC2＝1＋16－2×1×4×cosπ3＝13，所以AC＝13，即AC的长为13.答案13揭秘3年高考5．(2012·南京模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,1＋tanAtanB＝2cb，则角A的大小为________．解析1＋sinAcosBsinBcosA＝2sinCsinB，sin(A＋B)＝2sinCcosA因为sinC≠0，所以cosA＝12，A＝π3.答案π3揭秘3年高考(1)求角B；(2)若a，b，c成等比数列，判断△ABC的形状．考向一利用正弦定理求解三角形【例1】(2012·镇江市期末考试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足bcosC＋12c＝a.揭秘3年高考解(1)由正弦定理得sinBcosC＋12sinC＝sinA.而sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，故cosBsinC＝12sinC.在△ABC中，sinC≠0，故cosB＝12.因为0Bπ，所以B＝π3.揭秘3年高考(2)由b2＝ac及正弦定理，得sinAsinC＝sin2B＝sin2π3＝34，又A＋C＝π－A＝2π3，所以sinAsin2π3－A＝32sinAcosA＋12sin2A＝34sin2A＋1－cos2A4＝34，所以3sin2A－cos2A＝2，即sin2A－π6＝1.又0A2π3，所以2A－π6＝π2，A＝π3，从而C＝π3.故△ABC是等边三角形．揭秘3年高考[方法总结](1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．(3)综合性问题，可以选用正弦定理，也可能用余弦定理．本小题中的两小题都可以选用余弦定理，且第(2)小题选用余弦定理更为方便．揭秘3年高考【训练1】(2012·扬州调研一)已知f(x)＝3sinx＋π3－cosx.(1)求f(x)在[0，π]上的最小值；(2)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，b＝53，cosA＝35，且f(B)＝1，求边a的长．解(1)f(x)＝3sinx2＋32cosx－cosx＝32sinx＋12cosx＝sinx＋π6，∵π6≤x＋π6≤7π6，∴当x＝π时，f(x)min＝－12.(2)∵x＋π6＝2kπ＋π2，k∈Z时f(x)＝1，B是三角形内角，∴B＝π3，∵cosA＝35，∴sinA＝45，由正弦定理有asinA＝bsinB，∴a＝8.揭秘3年高考考向二利用余弦定理求解三角形【例2】在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．揭秘3年高考解(1)由余弦定理知：cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.将上式代入cosBcosC＝－b2a＋c得：a2＋c2－b22ac·2aba2＋b2－c2＝－b2a＋c，整理得：a2＋c2－b2＝－ac.∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝－ac2ac＝－12.∵B为三角形的内角，∴B＝23π.揭秘3年高考(2)将b＝13，a＋c＝4，B＝23π代入b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB，∴13＝16－2ac1－12，∴ac＝3.∴S△ABC＝12acsinB＝334.[方法总结](1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．揭秘3年高考【训练2】(2012·扬州中学调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2＝a2＋b2－ab.(1)若tanA－tanB＝33(1＋tanA·tanB)，求角B；(2)设m＝(sinA,1)，n＝(3，cos2A)，试求m·n的最大值．解c2＝a2＋b2－ab，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝12(0Cπ)，故C＝π3.(1)由tanA－tanB＝33(1＋tanA·tanB)得tan(A－B)＝33.因为－2π3A－B2π3，所以A－B＝π6.又因A＋B＝2π3，所以B＝π4.揭秘3年高考(2)m·n＝3sinA＋cos2A＝－2sinA－342＋178.因为A∈0，2π3，所以sinA∈(0,1]．故m·n的最大值为178.揭秘3年高考【例3】(2010·辽宁)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．考向三正、余弦定理的综合应用解(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，又∵0°＜A＜180°，∴A＝120°.揭秘3年高考(2)由①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.∴34＝(sinB＋sinC)2－sinBsinC，又sinB＋sinC＝1，②∴sinBsinC＝14，③解②③联立的方程组，得sinB＝sinC＝12.因为0°＜B＜60°，0°＜C＜60°，故B＝C.所以△ABC是等腰的钝角三角形．揭秘3年高考[方法总结]在已知关系式中，若既含有边又含有角，通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角．揭秘3年高考【训练3】在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c＝2，C＝π3，且△ABC的面积为3，求a，b的值；(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．解(1)∵c＝2，C＝π3，∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得a2＋b2－ab＝4.又∵△ABC的面积为3，∴12absinC＝3，ab＝4.联立方程组a2＋b2－ab＝4，ab＝4，解得a＝2，b＝2.揭秘3年高考(2)由sinC＋sin(B－A)＝sin2A，得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sinAcosA，即2sinBcosA＝2sinAcosA，∴cosA·(sinA－sinB)＝0，∴cosA＝0或sinA－sinB＝0，当cosA＝0时，∵0＜A＜π，当sinA－sinB＝0时，得sinB＝sinA，由正弦定理得a＝b，即△ABC为等腰三角形．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．∴A＝π2，△ABC为直角三角形；揭秘3年高考考向四三角函数与解三角形的综合应用【例4】(2012·南京五校联考)已知向量m＝(sinx，3sinx)，n＝(sinx，－cosx)，设函数f(x)＝m·n，若函数g(x)的图象与f(x)的图象关于坐标原点对称．(1)求函数g(x)在区间－π4，π6上的最大值，并求出此时x的值；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A为锐角，若f(A)－g(A)＝32，b＋c＝7，△ABC的面积为23，求边a的长．揭秘3年高考解(1)由题意得：f(x)＝sin2x－3sinxcosx＝1－cos2x2－32sin2x＝12－sin2x＋π6，所以g(x)＝－12－sin2x－π6.因为x∈－π4，π6，所以2x－π6∈－2π3，π6.所以当2x－π6＝－π2即x＝－π6时，函数g(x)在区间－π4，π6上的最大值为12.揭秘3年高考(2)由f(A)－g(A)＝32得：1－sin2A＋π6＋sin2A－π6＝32，化简得：cos2A＝－12，又因为0Aπ2，所以A＝π3，由题意知：S△ABC＝12bcsinA＝23，解得bc＝8，又b＋c＝7，所以a2＝b2＋c2－2bc(1＋cosA)＝(b＋c)2－2bccosA＝49－2×8×1＋12＝25.故所求边a的长为5.揭秘3年高考[方法总结]解三角形问题是历年高考的热点，常与三角恒等变换、三角函数的性质相结合考查正弦、余弦定理的应用，解题的实质是将三角形中的问题转化为代数问题或方程问题，在此过程中也常利用三角恒等变换知识进行有关的转化．揭秘3年高考【训练4】(2012·泰兴市期中调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3b2＋3c2－3a2＝42bc.(1)求sinA的值；(2)求2sinA＋π4sinB＋C＋π41－cos2A的值．解(1)由余弦定理得