高考数学一轮总复习 第24讲 正弦定理与余弦定理课件 文 新课标

能熟练利用正弦定理、余弦定理将三角形的边角转化；掌握三角形形状的判断，三角形内三角函数的求值及三角恒等式的证明．1．判断三角形的形状特征必须从研究三角形的边与边的关系，或角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行转化，即化边为角或化角为边，边角统一．三角形形状的判断依据：(1)等腰三角形：a＝b或A＝B；(2)直角三角形：b2＋c2＝a2或A＝90°；(3)钝角三角形：a2b2＋c2，A90°；(4)锐角三角形：若a为最大边，且满足a2b2＋c2或A为最大角，且A90°.2．在△ABC中常用的一些基本关系式(1)A＋B＋C＝①________；(2)sin(B＋C)＝②________，cos(B＋C)＝③________，tan(B＋C)＝④________；(3)sinB＋C2＝⑤________；(4)cosB＋C2＝⑥________；(5)tanA＋tanB＋tanC＝⑦____________.【要点指南】①π；②sinA；③－cosA；④－tanA；⑤cosA2；⑥sinA2；⑦tanAtanBtanC1.(2011·北京卷)在△ABC中．若b＝5，∠B＝π4，sinA＝13，则a＝523.【解析】由正弦定理得asinA＝bsinB⇒a＝5sinπ4×13＝523.2.(2011·福建卷)若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于2.【解析】由S△ABC＝12BC·AC·sinC＝12×2×AC×32＝3⇒AC＝2，所以△ABC为等边三角形，则AB＝2.3.在△ABC中，若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB＝()A.24B.23C.14D.34【解析】因为a、b、c成等比数列，所以b2＝ac.又c＝2a，所以b2＝2a2，所以cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a24a2＝34.4.在△ABC中，A、B的对边分别是a、b，且A＝30°，a＝22，b＝4，那么满足条件的△ABC()A．有一个解B．有两个解C．无解D．不确定【解析】由asinA＝bsinB得sinB＝bsinAa＝4sin30°22＝22，因为ba，所以BA，故有两解，故选B.易错点：易以为只有一解，忘记考虑BA.5.若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则cosC＝()A.23110B．－23110C.73130D．－73130【解析】由正弦定理和已知得，a∶b∶c＝5∶11∶13，设a＝5k，b＝11k，c＝13k，k0，根据余弦定理cosC＝a2＋b2－c22ab＝25k2＋121k2－169k22×5×11k2＝－23110，故选B.一用正、余弦定理判定三角形形状【例1】在△ABC中，A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且满足(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，试判断△ABC的形状．【解析】方法1：化成角的关系求解．由条件可得，a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝－b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]．利用和差角公式展开，得a2cosAsinB＝b2sinAcosB，由正弦定理，上式化为sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB.因为sinAsinB≠0，所以sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，因为A、B为三角形的内角，所以A＝B，或A＋B＝π2，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．方法2：化为边的关系求解．由条件(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，可得(a2＋b2)(acosB－bcosA)＝(a2－b2)c⇔(a2＋b2)(a2＋c2－b22c－b2＋c2－a22c)＝(a2－b2)c⇔(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2－b2)c2⇔a2＋b2＝c2或a＝b.故△ABC的形状为直角三角形或等腰三角形．【点评】依据已知条件中的边角关系判断三角形形状时，主要有如下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，若ab＝cosBcosA，试确定△ABC的形状．素材1【解析】由ab＝cosBcosA，得acosA＝bcosB，所以a·b2＋c2－a22bc＝b·a2＋c2－b22ac，所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，所以c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．二用正、余弦定理解斜三角形【例2】在△ABC中，(1)若b＝2，c＝1，B＝45°，求a及C的值；(2)若A＝60°，a＝7，b＝5，求边c.【分析】(1)可直接使用正弦定理求解，注意解的个数的判断，也可利用余弦定理求解．(2)题目条件是已知两边及一边的对角，这种情况一般用正弦定理解，但本题不求B，并且求出sinB后发现B非特殊角，故用正弦定理不是最佳选择，而应直接用余弦定理列出关于c的方程求解．【解析】(1)由正弦定理知bsinB＝csinC，所以2sin45°＝1sinC，所以sinC＝12.由于bc，所以BC，而B＝45°，所以C＝30°.从而A＝180°－B－C＝105°，再由正弦定理可得asin105°＝2sin45°，所以a＝2sin105°＝2sin(60°＋45°)＝6＋22.(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，所以49＝25＋c2－2×5×c×cos60°，即c2－5c－24＝0，解得c＝8(c＝－3舍去)．【点评】(1)三角形有三角三边六元素，只要知道三元素(至少有一边)就可求出其余元素．(2)已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断．(3)应熟练掌握余弦定理及其推论，解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝π3.(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．素材2【解析】(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4.又因为△ABC的面积等于3，所以12absinC＝3，得ab＝4.联立方程组a2＋b2－ab＝4ab＝4，解得a＝2，b＝2.(2)由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA.当cosA＝0时，A＝π2，B＝π6，a＝433，b＝233.当cosA≠0时，得sinB＝2sinA.由正弦定理得b＝2a，联立方程组a2＋b2－ab＝4b＝2a，解得a＝233，b＝433.所以△ABC的面积S＝12absinC＝233.三用正、余弦定理求解综合问题【例3】(2011·安徽卷)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．【分析】如下图欲求h⇐在Rt△ACD求出sinC⇐在斜△ABC求出sinB⇐正弦定理需知sinA⇐化简已知【解析】由1＋2cos(B＋C)＝0和B＋C＝π－A，得1－2cosA＝0，cosA＝12，sinA＝32.再由正弦定理，得sinB＝bsinAa＝22.由ba知BA，所以B不是最大角，Bπ2，从而cosB＝1－sin2B＝22.由上述结果知sinC＝sin(A＋B)＝22(32＋12)．设边BC上的高为h，则有h＝bsinC＝3＋12.【点评】(1)正、余弦定理往往在一道题中交叉使用，以达到“知三求三”的目的；(2)正、余弦定理关键是实现边角互化，注意因题而异，巧妙选择，简化运算；(3)在平面几何中应画出草图，理清思路，重点研究直角三角形，条件较集中的三角形，寻找突破口．在△ABC中，AC＝2，BC＝1，cosC＝34.(1)求AB的值；(2)求sin(2A＋C)的值．素材3【解析】(1)由余弦定理，知AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝4＋1－2×2×1×34＝2，所以AB＝2.(2)由cosC＝34且0Cπ，得sinC＝1－cos2C＝74.由正弦定理，知ABsinC＝BCsinA，解得sinA＝BCsinCAB＝148，所以cosA＝528，由倍角公式，知sin2A＝2sinA·cosA＝5716，且cos2A＝1－2sin2A＝916，故sin(2A＋C)＝sin2AcosC＋cos2AsinC＝378.备选例题如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的重心G.设∠MGA＝α(π3≤α≤2π3)．(1)试将△AGM、△AGN的面积(分别记为S1与S2)表示为α的函数；(2)求y＝1S21＋1S22的最大值与最小值．【解析】(1)因为G是边长为1的正三角形ABC的重心，所以AG＝23×32＝33，∠MAG＝π6，由正弦定理GMsinπ6＝GAsinπ－α－π6，得GM＝36sinα＋π6.则S1＝12GM·GA·sinα＝sinα12sinα＋π6.又GNsinπ6＝GAsinα－π6，得GN＝36sinα－π6，则S2＝12GN·GA·sin(π－α)＝sinα12sinα－π6.(2)y＝1S21＋1S22＝144sin2α·[sin2(α＋π6)＋sin2(α－π6)]＝72(3＋1tan2α)．因为π3≤α≤2π3，所以，当α＝π3或α＝2π3时，y取得最大值ymax＝240；当α＝π2时，y取得最小值ymin＝216.【点评】本题第(1)问主要考查解三角形，涉及正弦定理的应用；第(2)问考查三角恒等变形以及三角函数在给定区间上的最值问题，化简为y＝72(3＋1tan2α)加以解决．1．解斜三角形问题往往用到正弦定理与余弦定理以及三角变换，解题时角度的选取是关键．并关注角的取值范围．如已知两边及其中一边的对角解三角形，要注意解的情况．2．利用正、余弦定理可以进行边角互化，有利于判断三角形的形状．3．解决三角形中的问题，要从统一着手，或统一成角的关系，或统一成边的关系，要视情况灵活处理．在解三角形时，要注意解题的完整性，谨防失根．