社交网站(校内网)的行为影响及分析

第1页共26页社交网站的行为影响及分析北京理工大学吴帆周振寰吴少聪摘要：问题一：模型一循序渐进，将求“一天浏览该日志的人数变化”的问题转化为求解：人数f(t)—时间t函数。然后将f(t)-t的求解细分为四个主要函数的求解：1)日志在好友列表中排位—时间函数的求解；2)好友查看该日志的概率—排位函数的求解；3)单个好友看该日志的总概率—时间函数的求解；4)对上述函数求和，对所有好友查看该日志的总概率——时间函数的求解；最终，得到人数f(t)—时间t函数;问题二:基于模型一得到的结果，问题二通过对留言与日志本身的等价性分析，利用好友在任意时刻浏览并留言的概率函数，求出在留言系统下“浏览日志人数”关于时间的新的变上限积分关系，微分简化目标函数。得出结果。问题三:基于问题三和问题二的相似性，分析不同点，将单一分享系统分为“被分享用户”系统和“分享用户”系统。其中，“被分享用户”系统下的模型求解，和问题二是几乎一致的。最后，我们通过类比分析“分享系统”下人数变化函数，求出优化模型。问题四:不同被点次数对应不同参与概率，用不同的量表示，问题的所求是和这些量每次的变化有关系的，我们用递推关系公式来求解被点名人数的变化情况。并通过对每个人被点名概率相同与否的分析，以及对一个人被点多次的问题的解决，实现对模型的优化。关键字：变上限积分、等价类比、递推运用、程序求解问题一：浏览日志人数随时间变化模型：1.问题重述：以某大学内社交网站用户群体为研究对象，该群体的用户每天在8:00-23:00间随机的上一次社交网站，查看新鲜事列表中的新鲜事，并在网站上执行一些基本操作，该群体中的麦兜同学的好友列表里有264名好友，已知每名好友的好友数量和一天内产生的新鲜事数条数，他在9：00发表了一篇日志，求这一天浏览该日志的人数变化情况。第2页共26页2、问题分析：根据我们的理解：问题中“浏览该日志”是指查看日志，即该操作包含在所产生的新鲜事中。而题干中的“浏览最近发生的30件事”中的浏览是指：只看标题而不查看；一天内产生的新鲜事数条数，就是这个人在新鲜事列表浏览查看新鲜事的数量。下面我们对模型的建立与求解都是建立在这一理解基础上的。将8：00—23：00以小时为单位分为15段，分别记为：时段1、时段2------、时间段15，根据问题条件以及实际情况，可用以下流程图来反映问题的求解方向：所以实际问题转化为了：求解某时段t浏览过该日志的人数，即：人数f(t)—时间T函数。此函数为下面要求的目标函数。9:00发表日志264位好友的新鲜事列表出现该事，并排在最前随着时间段T的变化，该日志的排位N发生变化，N与t满足函数关系N=g（t）排位N的变化，好友观看该日志的概率就会发生变化，即：N与满足函数关系：)N(G，当到达某一时间段时，n=31，此时=0.264位好友的好友也产生新鲜事，每产生一个，该日志的排位下降1位，当下降30位后，好友新鲜事列表中无该日志时段2到t内264位好友各自看该日志的总概率，则2641N=t时段时浏览该日志的总人数得到浏览日志人数变化情况第3页共26页3、符号说明：t：时间（段）；Tmax：该日志排位为30时的时段，也称临界时段；vn：单位时间（小时）内，第n个好友新鲜事列表中新增的新鲜事数；Nn：该日志在第n个好友新鲜事列表中的排位；u(i)：排位为i时，好友查看该新鲜事的概率；p(n,x):第n位好友在x时间查看该日志的概率；(n,t):时区(1,t]内第n位好友查看该日志的总概率；f(t):时区(1,t]内麦兜所有好友查看该日志的总概率之和，也称:时区(1,t]内浏览过该日志的人数；m：麦兜的某个好友a的好友数；nk:麦兜的第n位好友发新鲜事条数；4、基本假设：1.基于问题一的特定条件，假设好友的操作全部用于查看新鲜事上；2.好友上线与查看完新鲜事处于同一时段；3.某一时间段是一个左开右闭区域，例如：第一时段为：（8:00-9:00]；4.由于好友上线情况不受其他因素影响，假设好友的上线按时间段平均分布，即时间段T好友上线人数=264/15；5.新鲜事的热门程度与排位（或时效）有关且仅与排位（或时效）有关，即新鲜事被查看的概率是排位（或时效）的单值函数；5、问题的求解：根据问题的分析，由于随着时间段t的变化，该日志在好友新鲜事列表中的排位Nn不同，排位不同则该日志的被查看概率(i)不同，被查看概率不同对查看人数变化f(t)有影响。解决这个问题，我们按以下步骤进行：step1：该日志在第n个好友新鲜事列表中的排位Nn与时间段x之间函数关系的求解：对第n个好友，时间段2刚开始，该日志排位为1，根据：排位变化值=变化速度*时间，得：（Nn-1）=vn*(x-2),即：Nn=vi*（x-2）+1-----------【1】对第n个好友(不妨记为a)，一小时内新增新鲜事数vn等于a的好友数m乘以a的每位好友平均每天发新鲜事条数再除以15，题目中没有给出好友a的好友发新鲜事的情况，我们用麦兜264位好友发新鲜事的情况近似代替，得到：vn=m*((2641knk)/264)/15-----【2】将式【2】代入式【1】，得到该日志在第n位好友新鲜事列表中的排位Nn与时间第4页共26页段x之间函数：Nn=0.056*m*(x-2)+1--------【3】式【3】中m为定值，n[1,264]，Nn[1,30]；当x到达某值时，Nn=30,我们将Nn=30代入式【3】求出时段x的临界值为：Tmax=（30-1）/（0.056*m）+2=(517.86/m)+2，所以T（2,(517.86/m)+2]；step2:好友查看该日志的概率(i)与该日志在新鲜事列表排位Nn之间函数关系的求解：新鲜事排位越靠前，此事越新，好友查看该日志的概率越大，此原理与新闻的价值随时间变化原理类似，所以，我们将新闻价值M—时间t函数（函数形式为：价值M=k*t-n,其中k为比例常数，n为常数）等效地应用于概率(i)—排位Nn函数的求解过程中。假设，概率(i)与排位Nn函数关系为：(i)=K1*Nn^(-K2)---------【4】（K1、K2待定）由于在实际中概率(i)是时间点的函数,所以，我们将(i)连续化,对式【4】等号两边同时乘以dNn得：(i)*dNn=K1*Nn^(-K2)*dNn-----【5】；对式【5】在n=1：30上积分得：301(i)*dNn=301dNn*(-K2)Nn^*K1----【6】根据实际意义，式【6】的等号左边积分为1，则式【6】等号的右边=[(K1/(-K2+1))*Nn^(-K2+1)]130=(K1/(-K2+1))*(30^(-K2+1)-1)=1----【7】式【7】为K1与K2的关系式。由式【4】可知，K1的实际意义为：当日志排位n=1时，好友查看该日志的概率。所以若知道n=1时好友查看该日志的概率(1)，再根据K1=(1)以及式【7】，目标函数便可确定。为了确定K1，K2的值，我们在交友网站“校内”发起了一次以“看新鲜事你更愿意从第几个（共30个）看起”为题投票活动，共有382个人参加，经过统计，得到结果列表如下：第5页共26页根据上表可确定：K1=(1)=0.1117，将K1的值代入式【7】解得：K2=0.5011=1/1.99621/2，将K1、K2值代入式【4】，得概率n—排位n函数确定为：(i)=K1*Nn^(-K2)=0.1117*Nn^(-1/2)-------【8】为了用实际数据检验式【8】的正确性，我们用MATLAB将上表所确定的图像与式【8】确定的图像作于同一坐标轴上（具体代码见附录A）：由上图可以发现，式【8】图像与实际情况图像有较好的吻合度，所以式【8】完全可以用来反映好友查看该日志的概率n与该日志在新鲜事列表排位n之间函数关系。step3：整合step1与step2所得出的结论，以得到第n个好友a在x时间段（点）查看该日志的概率，即：概率—时间函数：排位—时间函数（由式【3】得到）：Nn=0.056*m*(x-2)+1（x（2,(517.86/m)+2]，m为定值，n[1,264]，Nn[1,30]）；概率—排位函数（由式【8】得到）：新鲜事排位12345678910概率0.11170.07720.06520.05680.04820.04320.04240.03870.03760.0348新鲜事排位11121314151617181920概率0.03570.03460.03010.02540.02820.02090.02510.02580.02970.0248新鲜事排位21222324252627282930概率0.02740.02360.02150.02090.02360.01960.02180.02080.02280.0239第6页共26页(i)=0.1117*Nn^(-1/2)；整合以上两式可得第n个好友a查看该日志的概率—时间函数为：p(n,x)=0.1117*(0.056*m*(x-2)+1)^(-1/2)--------【9】（x（2,(517.86/m)+2]，m为定值，n[1,264]）考虑到x的取值范围，将全域中概率—时间函数表示如下：p(n,x)=]2+(517.86/m)2,（x(-1/2))^1+1)-(x*m*0.056(*0.1117152517.86/m]2,1[x0，---------------------------------------------------【10】step4：时区(1,t]内第n位好友查看该日志的总概率(n,t)随时间t变化函数关系的求解：总概率(n,t)=时区(1,t]中各时段概率之和，实际问题中，概率是时间的连续函数，所以，(n,t)等于时间1到时间T概率对时间的积分。同时，根据式【10】，当152517.86/m]2,1[x，时，p(n,x)=0，所以积分区域只考虑]2+(517.86/m),2（x的情况。其他情况，总概率保持不变。根据以上分析，(n,t)等于如下区域中的变上限函数(不同好友发新鲜事条数kn相当于积分的权重)：(n,t)=t1n(-1/2)dx)^11)-(x*m*0.056(*0.1117*k------【11】（]2+(517.86/m)2,（x，m为常数）由式【11】解得：(n,t)=kn*(0.2234/a)*[(a*(t-1)+1)1/2-1]-----------【12】(a=0.056*m=vi；]2+(517.86/m)2,（t)step5：时区(1,T]内麦兜的全部264位好友查看该日志的总概率(n,t)之和f(t)随时间t变化函数关系的求解：式【12】表示时区(1,t]内某一好友查看该日志的总概率(n,t)，它的意义是：在这段时区内第n个好友分配1*(n,t)部分来查看该日志。所以，f(t)的意义就是：时区(1,t]内查看该日志的人数。第7页共26页对任取某一时间：t，则，在t时刻总概率之和：f(t)=2641i)t(n,=2641ikn*(0.2234/a)*[1)2)-(t*(a-1]=2641ikn*[-(0.2234/a)+(0.2234/a0.5)*a12-t](相对于t,a1很小)2641ikn*[-(0.2234/a)+(0.2234/a0.5)*2-t]-------------【1-13】(a=0.056*m；]2+(517.86/m)2,(t，m为n有关的常数)式【13】即为所需求的目标函数。step6：目标函数p(t)—t简化形式的确定：分析式【1-13】中对t的约束发现：t的取值范围随着n的不同而不同。所以，当t取某一的定值时，式【1-13】中n的取值达不到264个，此时:P(T)=N1ikn*[-(0.2234/a)+(0.2234/a0.5)*2-t]+264Nikn*[-(0.2234