基于小波变换的图像去噪中阈值选取的研究

自适应图像分析与识别课程论文题目基于小波变换的图像去噪中的阈值研究学院电子工程学院专业电路与系统摘要：图像去噪是对图像进行高级处理的重要基础，已经成为当今数字图像处理的热门领域之一。基于小波多尺度分解的阈值方法是一种有效的信号去噪方法．本文详细介绍了阈值的选取方法，并列举了几种常用的阈值函数，并对它们进行了比较，以期给小波图像处理研究者一些参考。关键字：图像去噪；阈值；阈值函数；小波变换Abstract：Imagedenoisingisanimportantfoundationforadvancedimageprocessing，andisthehotresearchareaindigitalimageprocessing．Thethresholdingdenoisingbasedonthemulti-scaleswaveletisaneffectiveway.Thistextintuoducedthewayhowtochoosethethreshold,listedsomecommonthresholdingfunctionandcomparedthem,inthehopeofgivingsomereferencesfortheresearcherinimageprocessingwithwavelet.Keywords：imagedenoising，thresholding,thresholdingfunction,wavelettransform-1-引言目前，小波去噪的基本方法有小波变换模极大去噪、基于各尺度下小波系数相关性去噪、采用非线性小波阈值法、平移不变量小波去噪、多小波去噪等。小波去噪是一个在不断更新中的研究课题，新的方法在不断提出。这里主要讨论在小波阈值法去噪中的阈值选取问题。1.小波阈值去噪方法小波去噪方法最先研究的是小波阈值去噪方法，它是一种实现简单、效果不错的去噪方法，最先的阈值去噪方法是Donoho和Johstone于1922年提出的小波阈值萎缩方法。阈值去噪的思想很简单，小波变换特别是正交小波变换具有很强的去数据相关性，它能够使图像信号的能量在小波域集中在一些大的小波系数中，而噪声的能量却分布于整个小波域内。可以认为图像的小波系数是服从广义高斯分布，且绝对幅值较大的小波系数主要是由信号变换后得到的，而绝对幅值较小的小波系数则主要是由噪声变换后得到的。对小波分解后，在小波域内除了最低频以外的各层系数模对大于和小于某阈值的系数分别处理，然后对处理完的小波系数再反变换重构出一幅经去噪后的图像。这样就可以通过设定阈值将较小的噪声系数清除来达到去噪的目的。可见去噪效果主要依赖于阈值的选取，估阈值的选取是小波阈值去噪的核心问题。根据阈值的应用范围可以分成全局阈值和局部阈值两类，全局阈值对各层小波系数或同一层内的小波系数都是统一的，而局部适应阈值是根据当前系数周围的局部情况来确定阈值。2.阈值估计小波阈值去噪方法的一个关键因素是对阈值的具体估计。如果阈值太小，去噪后的信号仍然有噪声的存在；相反，阈值太大，重要图像特征又将被虑掉，引起偏差。从直观上讲，对于给定的小波系数，噪声越大，阈值就越大，以下介绍几种经典的阈值估计方法：(1)最早的小波阈值去噪方法是Donoh提出的WaveShrink方法(或称统一阈值去噪方法)[1]。它是针对多维独立正态变量联合分布，在维数趋向无穷时得出的结论，是基于最小最大估计得出的最优阈值。阈值T的计算公式是2log()TN；-2-在图像去噪中，如果阈值给出的值太大，使过多的小波系数被置0，这样就会破坏太多的图像细节，因此往往不采用因子2log(N)，而代之以常数c，即T=c*σ。在实际应用中，c的值常选取3～4之间。这个阈值是考虑零均值正态分布变量在[-3σ,3σ]之外的概率非常少，所以绝对值大于3σ的系数一般都被认为主要是由信号系数构成。(2)GCV阈值方法，它是在GCV准则下推出的，不需要估计噪声的方差，也是基于软阈值函数的去噪方法。(3)BayesShrink阈值估计方法[2]，它是Chang在2000年提出的，是基于无噪图像小波系数服从广义高斯分布的模型假设得到的。(4)SUREShrink阈值估计方法[3]，它是在SURE(Stein'sUnbiasedRiskEstimation)准则下得到的阈值，该准则是均方差准则的无偏估计，它是专门针对软阈值函数得出的结论，且SURE阈值趋近于理想阈值。(5)L-Curve准则和H-Curve准则，L-Curve准则是GCV方法更普遍更能有效计算的替代，而H-Curve准则又是L-Curve准则的一种新近的演变，对比GCV方法要求噪声类型的假设是白噪声，H-Curve准则则对不同类型的噪声如：图像中含有带状高斯白噪声和局部珠光体化等一些特殊噪声，都能产生一个合理的萎缩阈值。一般，我们采用方法一的阈值选取方法，即令全局统一阈值2log()TN，其中σ是噪声图像的标准差(度量噪声的强弱)，N是图像信号的长度(小波变换系数个数)。在阈值萎缩中，阈值函数体现了对几种系数的不同处理策略，以及不同的估计方法。阈值函数主要可以分为如下3种，一为硬阈值函数；二为软阈值函数；三为半软阈值函数。小波阈值去噪算法如下。假设已经获得观测公式*iiiyxni=1,2,…，N。式中，in为零均值的白色高斯噪声，σ为其标准差，ix为期望信号，iy为观测值。滤除噪声in的问题，可以认为是如何将x从观测值y中恢复出来。(1)计算含噪图像的正交小波变换。选择一个正交小波并确定一个小波分解的层次N，然后对信号x(n)进行N层小波分解,对获得低分辨率下的尺度系数及各分辨率下的小波系数Y=Wy。-3-(2)对小波系数进行非线性阈值处理。为保持信图像的整体形状不变，保留所有的低频系数。取阈值2log()TN，从第一层到第N层对每个小波系数，采用阈值函数法进行量化处理。即，将含噪图像的小波系数与所选定的阈值进行比较，小于或等于阈值的系数变为0，大于阈值的系数保持不变。即，把含噪图像的小波系数与所选定的阈值进行比较，小于或等于阈值的系数变为0，大于阈值的系数变为与阈值的差。半软阈值就是通过加入一些变量，使阈值尽量达到自适应的效果，其改造方法有很多，将在后面详细讨论。(3)进行逆小波变换。由所有低频系数和经阈值处理后的第一层到第N层的高频小波系数做逆小波变换进行重构，得到恢复的原始图像的估计值。根据阈值算法公式，可以看出，软阈值法得到的小波系数整体连续性好，从而使估计信号不会产生附加振荡，但总存在恒定的偏差，直接影响着重构信号与真实信号的逼近程度；硬阈值法在均方误差意义上优于软阈值法，但是因为处理函数在元处不连续，所以得到的估计信号会产生附加振荡。Bruce和Gao在高斯噪声条件下，得出了软阈值和硬阈值萎缩方法的偏差、方差以及L2风险公式，通过对这些公式的分析，得出了如下结论[4]：1.给定阈值T，软阈值总比硬阈值萎缩造成的方差小；2.当系数充分大时，软阈值比硬阈值方法造成的偏差大：3.当系数真值在T附近时，硬阈值方法有最大的方差、偏差以及L2风险，而软阈值方法则在系数真值较大时才有较大的方差、L2风险及偏差；两种方法在系数真值较小时，L2风险都很小。Y=X|X|T0|X|≤TY=sgn()(||)XXT|X|T0|X|≤T软阈值：硬阈值：-4-3.其他改进的阈值选取方法总的来说，硬阈值方法可以很好保留图像边缘等局部特征，但图像会出现振铃、伪吉布斯效应等视觉失真，而软阈值方法处理结果则相对平滑得多，但是软阈值方法可能会造成边缘模糊等失真现象。为此人们对以上的两种方法做了近一步的改进，提出了一些折中方案，还有一些学者也对上述阈值函数进行了一定的休整目前小波收缩函数仍在研究之中，仍有新的收缩阈值和收缩函数在不断地提出[5]。Bruce和Gao提出了一种半软阈值函数2112221(||)sgn()(||)(||)TxTYXITXTXIXTTT[6]。该方法通过选择合适的阈值1T和2T，可以在软阈值方法和硬阈值方法之间达到很好的折中。另外，Zhang等人为了对SURE误差准则函数进行基于梯度的优化搜索，提出了另外一种阈值函数[7]，这种阈值函数同上边三种阈值函数所不同的是，它拥有更高的导数阶，故其重建图像更为平滑。有一种思想是根据阈值函数的特点对图像的小波分解系数中不同部分采取不同的处理方法[8]。如低频部分在边缘处已经平滑，可用软阈值处理而不会有模糊的问题；高频部分中HH子带是高频信息较为集中的部分且取值较小，可以用硬阈值处理，即能很好保留原图像的边缘等局部特征，而且不会使图像出现失真；高频部分中HL和LH子带介于低频部分与最高频部分之间，因此可用介于软阈值与硬阈值之间的处理方法即半软阈值方法来处理。在各种强度的噪声下找到最大峰值信噪比(PSNR)下各参数的取值，再经过线性回归后可以得到比较好的取值函数，得到小波阈值去噪参数设置。此种算法的运算复杂度比较高。还有一种思想是基于遗传算法得出多小波自适应阈值去噪算法[9]。经典阈值是基于一种普遍统计特征而得到的，是小波收缩最佳阈值的上限，但它并不是最佳收缩阈值。它只考虑了图像的噪声特性，而没考虑图像本身的特性。对于不同的图像经过小波与多小波变换后，它们的信息分布都是不同的。对于纹理和边缘较少的图像，在小波域中其绝大部分信息在低频子带，高频子带中噪声占主要成分，这时选取较大的收缩阈值有利于消除图像噪声。而对于纹理和边缘较丰富的图像，随着纹理和边缘增加，表示图像奇异特性的信息将在小波域高频子带增多，此时应该恰当降低收缩阈值以便更多保留图像这部分信息。-5-Xu于1994年提出了空域相关滤波的算法[10]，该算法中提到信号的突变点在不同尺度的同一位置都有较大的峰值出现，噪声能量却随着尺度的增大而减小，即噪声经过小波变换后其强度呈现一种随小波分解尺度j的增大而降低的特性，自然地我们在确定阈值时就需考虑层间系数的相关特性，不能为所有分解层选取相同阈值，故根据图像小波系数的尺度性，得出改进后的公式1*2log()/2jTcN。该阈值不仅考虑了图像本身的特质，而且考虑了经多小波变换后层问系数的特性。一般，根据图像小波系数与全局统一阈值2log()TN的比较而采取软阈值或硬阈值的处理方法，但此类方法容易使得图像失去一些特征信息，所以添加一矫正参数，得到自适应阈值法，可以根据自己的需要调节参数大小，得到自己所需要的图像信息。还有一些其他改进方法，比如：(O≤≤1)为一矫正参数，显然当分别为0和1时，即为硬阈值和软阈值方法。在实验中对于不同的噪声干扰下，参数的取值要根据实验结果去定。选取最优的值，但经过大量的实验表明这个值的最优取值一般在0.7至0.9之间。由统一阈值公式2log()TN计算阈值T，同时设定阈值T1。在实验中，不断调整T1的值，使去噪效果最好[11]。此外多小波滤波不仅仅是单一小波滤波的简单推广，它有着更为明显的优势，因为多小波是矢量小波，可同时具有对称性、正交性、有限支撑性等特点，它由多个尺度函数和多个小波函数组成，具有更大的自由度，容易按照所需性质构造，从而具有广阔的应用前景。在小波分解过程中，可以设置多个不同的阈值，0|X|T1X|X|≥T2212sgn()(||)TXXTTTY=T1≤|X|T2Y=sgn()(||)XXT|X|T0|X|≤T-6-从而得到更为清晰的图像，最后的实例显示，多小波去噪比单一小波去噪图像质量更佳。总结硬阈值函数可以很好地保留图像边缘等局部特征，但图像会出现振铃、伪吉布斯效应等视觉失真。而软阈值函数处理相对平滑，但可能会造成边缘模糊等失真现象。相对于以上两种阈值函数，半软阈值函数能表现出很好的去噪效果，只不过半软阈值大都对图像有针对性，没有在各个方面都优秀的阈值函数，并且随着优化程度的提高，算法复杂度也越来越高，实现起来比较困难。但相对而言改善后的阈值函数都会从某种程度上提高信噪比以及保真度。所以实际应用中最常用的阈值函数是软阈值函数