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2019年中考数学压轴题专项训练：圆的综合1．（2019•泉州模拟）如图，矩形ABCD中，AD＝10，CD＝15，E是边CD上一点，且DE＝5，P是射线AD上一动点，过A，P，E三点的⊙O交直线AB于点F，连结PE，EF，PF．（1）当AP＝6时，求AF的长；（2）tan∠PFE的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的变化范围．（3）在点P的整个运动过程中．当矩形ABCD恰好有2个顶点落在⊙O上时，求AP的长．解：（1）过点F作FG⊥CD于点G，则四边形AFGD是矩形，则DG＝AF，FG＝AD＝10，∵∠EDP＝∠EGF＝90°，∵PF是直径，∴∠PEF＝90°，∴∠DEP+∠GEF＝90°，∵∠GEF+∠EFG＝90°，∴∠DEP＝∠EFG，∴△DEP∽△GFE，∴，∴，∴EG＝8，∴DG＝DE+EG＝5+8，∴AF＝13．（2）tan∠PFE的值不变．如图1中，连接AE，理由：如图1中，∵，∴∠PFE＝∠DAE，在Rt△ADE中，tan∠DAF＝∴tan∠PFE＝tan∠DAF＝．（3）如图2中，当⊙O经过A、D时，点P与D重合，此时AP＝10，如图3中，当⊙O经过A、B时，在Rt△BCE中，BE＝，∵tan∠PFE＝，∴PE＝，∴PD＝，∴PA＝5，如图4中当⊙O经过AC时，作FM⊥DC交DC的延长线于M．根据对称性可知，DE＝CM＝BF＝5，在Rt△EFM中，EF＝，∴PE＝EF＝，∴PD＝，∴AP＝AD﹣PD＝，综上所述，AP的值为10或5或时，矩形ABCD恰好有2个顶点落在⊙O上，2．（2019•罗湖区一模）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于G，射线DO与直线CE相交于点E，直线DB与CE交于点H，且∠BDC＝∠BCH．（1）求证：直线CE是圆O的切线．（2）如图1，若OG＝BG，BH＝1，直接写出圆O的半径；（3）如图2，在（2）的条件下，将射线DO绕D点逆时针旋转，得射线DM，DM与AB交于点M，与圆O及切线CF分别相交于点N，F，当GM＝GD时，求切线CF的长．解：（1）如图1，∵CD⊥AB，∠4＝2∠2，∴∠1＝∠2，∴∠4＝2∠1，∵∠1＝∠BCH，∴∠DCH＝2∠1，∴∠4＝∠DCH，∵∠3+∠4＝90°，∴∠3+∠DCH＝90°，即∠OCH＝90°，∴直线CE是圆O的切线；（2）∵OG＝BG，且OB⊥CG，∴OC＝BC，又∵OC＝OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠BCH＝30°，∠4＝60°，∴∠H＝90°，∵BH＝1，∴OC＝BC＝2BH＝2，即圆O的半径为2；（3）如图2，过点F作FE⊥DC．交DC延长线于点E，∴∠CFE+∠FCE＝90°，∵OC⊥FC，∴∠OCG+∠FCE＝90°，∴∠CFE＝∠OCG，∴tan∠CFE＝tan∠OCG，即，设CE＝x，则EF＝x，∵GM＝GD，MG⊥CD，∴∠MDG＝45°，∵FE⊥ED，∴∠DFE＝90°﹣∠MDG＝45°＝∠MDG，∴EF＝ED＝EC+CD，又∵CD＝2CG＝2×＝2，∴x＝x+2，解得x＝3+，∴FC＝2EC＝6+2．3．（2019•昆明一模）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求Rt△CED的内切圆半径的取值范围．（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，∴点B与点E关于PQ对称，∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，又∵EF∥AB，∴∠BPF＝∠EFP，∴∠EPF＝∠EFP，∴EP＝EF，∴BP＝BF＝EF＝EP，∴四边形BFEP为菱形；（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，∵点B与点E关于PQ对称，∴CE＝BC＝5cm，在Rt△CDE中，DE＝＝4cm，∴AE＝AD﹣DE＝5cm﹣4cm＝1cm；在Rt△APE中，AE＝1，AP＝3﹣PB＝3﹣PE，∴EP2＝12+（3﹣EP）2，解得：EP＝cm，∴菱形BFEP的边长为cm；②当点Q与点C重合时，如图①，点E离点D最远，此时Rt△CED的内切圆半径最大；由①知，在Rt△CED中，ED＝4cm，CE＝5cm，CD＝3cm，易得四边形OMDG是正方形，设边长为rcm，则EG＝EH＝4﹣r，CM＝CH＝3﹣r，∴4﹣r+3﹣r＝5，解得r＝1；当点P与点A重合时，如图②，点E离点D最近，此时Rt△CED的内切圆半径最小；可知，在Rt△CED中，ED＝2cm，CD＝3cm，则CE＝＝cm，同理易得四边形OMDG是正方形，设边长为rcm，则EG＝EH＝2﹣r，CM＝CH＝3﹣r，∴2﹣r+3﹣r＝，解得r＝；∴Rt△CED的内切圆半径r的取值范围为≤r≤1．4．（2019•西湖区一模）如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C为切点，连结CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连结BE，AO．（1）求证：AO∥BE；（2）若tan∠BEO＝，DE＝2，求CO的长．解：（1）证明：连结BC，∵AB，AC是⊙O的两条切线，B，C为切点，∴AB＝AC，OA平分∠BAC，∴OA⊥BC，∵CE是⊙O的直径，∴∠CBE＝90°，∴BE⊥BC，∴OA∥BE；（2）∵OA∥BE，∴∠BEO＝∠AOC，∵tan∠BEO＝，∴tan∠AOC＝，在Rt△AOC中，设OC＝r，则AC＝r，OA＝r，∴在Rt△CEB中，EB＝r，∵BE∥OA，∴△DBE∽△DAO，∴，∴，∴DO＝3，∴OC＝OE＝DO﹣DE＝3﹣2＝1．5．（2019•毕节市模拟）如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE＝DB．（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若CD＝15，BE＝10，tanA＝，求⊙O的直径．解：（1）BD是⊙O的切线．理由如下：连接OB，∵OB＝OA，DE＝DB，∴∠A＝∠OBA，∠DEB＝∠ABD，又∵CD⊥OA，∴∠A+∠AEC＝∠A+∠DEB＝90°，∴∠OBA+∠ABD＝90°，∴OB⊥BD，∴BD是⊙O的切线．（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G，∵DE＝DB，∴EG＝BE＝5，∵∠ACE＝∠DGE＝90°，∠AEC＝∠GED，∴∠GDE＝∠A，∴△ACE∽△DGE，∴tan∠EDG＝tanA＝，即DG＝12，在Rt△EDG中，∵DG＝＝12，∴DE＝13，∵CD＝15，∴CE＝2，∵△ACE∽△DGE，∴，∴AC＝•DG＝，∴⊙O的直径为2OA＝4AC＝．6．（2019•徐州一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）如果AB＝6，AE＝3，求⊙O的半径．（1）证明：连接OA，∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∵DA平分∠BDE，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴OA∥DE．∴∠OAE＝∠ADE，∵AE⊥CD，∴∠ADE＝90°．∴∠OAE＝90°，即OA⊥AE．又∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线．（2）解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°．∵∠5＝90°，∴∠BAD＝∠5．又∵∠2＝∠3，∴△BAD∽△AED．∴＝，∵BA＝6，AE＝3，∴BD＝2AD．在Rt△BAD中，根据勾股定理，得BD＝4．∴⊙O半径为2．7．（2019•香洲区模拟）如图，△ABC内接于半径为的⊙O，AC为直径，AB＝，弦BD与AC交于点E，点P为BD延长线上一点，且∠PAD＝∠ABD，过点A作AF⊥BD于点F，连接OF．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）求证：∠AOF＝∠PAD；（3）若tan∠PAD＝，求OF的长．（1）证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，即∠ABD+∠CBD＝90°，∵＝，∴∠CAD＝∠CBD，∵∠PAD＝∠ABD，∴∠PAD+∠CAD＝∠ABD+∠CBD＝90°，即PA⊥AC，∵AC是⊙O的直径，∴AP是⊙O的切线；（2）解：∵在Rt△ABC中，AB＝，AC＝，∴sinC＝＝，∴∠C＝45°，∵＝，∴∠ADB＝∠C＝45°，∵AF⊥BD，∴∠FAD＝∠ADB＝45°，∴FA＝FD，连接OD，∵OA＝OD，OF＝OF，FA＝FD，∴△AOF≌△DOF（SSS），∴∠AOF＝∠DOF，∴∠AOD＝2∠AOF，∵＝，∴∠AOD＝2∠ABD，∴∠AOF＝∠ABD，∵∠ABD＝∠PAD，∴∠AOF＝∠PAD；（3）解：延长OF交AD于点G，∵OA＝OD，∠AOG＝∠DOG，∴OG⊥AD，∵tan∠PAD＝，∠AOF＝∠PAD，∴tan∠AOF＝＝，在Rt△AOG中，AO＝，设AG＝x，∴AG2+OG2＝AO2，x2+（3x）2＝（）2，解得：x＝，∴AG＝，OG＝，∵∠FAD＝45°，OG⊥AD，∴∠AFG＝∠FAD＝45°，∴FG＝AG＝，∴OF＝OG﹣FG＝．8．（2019•河北一模）如图1，已知点A、O在直线l上，且AO＝6，OD⊥l于O点，且OD＝6，以OD为直径在OD的左侧作半圆E，AB⊥AC于A，且∠CAO＝60°．（1）若半圆E上有一点F，则AF的最大值为6；（2）向右沿直线l平移∠BAC得到∠B'A'C'；①如图2，若A'C'截半圆E的的长为π，求∠A'GO的度数；②当半圆E与∠B'A'C'的边相切时，求平移距离．解：（1）∵OD⊥l，∴∠AOD＝90°，若半圆E上有一点F，当F与D重合时，AF的值最大，如图1所示：最大值＝＝＝6；故答案为：6；（2）①连接EH、EG、DH，如图2所示：则半圆E的半径ED＝EO＝OD＝3，设∠GEH＝n°，∵A'C'截半圆E的的长为π，∴＝π，解得：n＝60，∴∠GEH＝60°，∵EH＝EG，∴△EGH是等边三角形，∴∠EGH＝60°＝∠C'A'O＝60°．∴EG∥l，∵OD⊥l，∴EG⊥OD，∴∠DEH＝90°﹣60°＝30°，∵ED＝EH，∴∠D＝（180°﹣30°）＝75°，由圆内接四边形的性质得：∠A'GO＝∠D＝75°；②分两种情况：当半圆E与A'C'相切时，如图3所示：∵OA'⊥OD，OD⊥l，∴l是半圆E的切线，∴OA'＝PA'，∠OA'E＝∠C'A'O＝30°，∴OA'＝OE＝3，∴平移距离AA'＝AO﹣OA'＝6﹣3；当半圆E与A'B'相切时，如图4所示：则∠PA'A＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵OA'＝PA'，∴∠POA'＝15°，∴∠OEA'＝∠PA'A＝15°，∵tan15°＝2﹣∴＝2﹣，∴OA'＝3（2﹣）＝6﹣3，∴平移距离AA'＝AO﹣OA'＝3；综上所述，当半圆E与∠B'A'C'的边相切时，平移距离为6﹣3或3．9．（2019•宁波一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的⊙O与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于A，B两点，直线l：y＝kx+2（k＜0）与x轴和y轴分别交于P，M两点．（1）当直线与⊙O相切时，求出点M的坐标和点P的坐标；（2）如图2，当点P在线段OA上时，直线1与⊙O交于E，F两点（点E在点F的上方）过点F作FC∥x轴，与⊙O交于另一点C，连结EC交y轴于点D．①如图3，若点P与点A重合时，求OD的长并写出解答过程；②如图2，若点P与点A不重合时，OD的长是否发生变化，若不发生变化，请求出OD的长并写出解答过程；若发生变化，请说明理由．（3）如图4，在（2）的基础上，连结BF，将线段BF绕点B逆时针旋转90°到BQ，若点Q在CE的延长线时，请用等式直接表示线段FC，FQ之间的数量关系．解：（1）∵半径为1的⊙O与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于A，B两点∴A（1，0），B（0，1），OA＝OB＝1直线l：y＝kx+2（k＜0）中，当x＝0时，y＝2∴点M坐标为（0，2），OM＝2当kx+2＝0时，解得：x＝∴点P坐标为（，0），OP＝设直