华侨大学《信号与系统》证明题题库(A)答案

试卷答案第1页（共33页）华侨大学信息科学与工程学院2010-2011学年二学期课程考试试卷答案(A卷)课程名称：信号与系统考试时间：120分钟年级：xxx级专业：xxx题目部分，（卷面共有50题，100分，各大题标有题量和总分）一、证明（50小题，共100分）1．证明（1）设12112()nniiniccccHppppp则1()()()intiiHptceut又12112()nniiniccccHppppp()11()()()()[()()]innkttittiiiiHptceuteceutHpte（2）设122()()rrcccHpppp则112()()()()rkrHptcctcteut而1221()12()()()()()()()[()()]rrrtrtcccHppppHptcctcteuteHpt综合（1）（2）故[()()]()()tHpteHpat得证2．证明[()()]()ftttdt试卷答案第2页（共33页）()()[()]()()()()[()()]()[()()()()]()()[()]()()[()]()()()()[()()]()()()()[(fttdtfttttfttdttfttfttdtfttdtfttdtfttttfttdtfttttf)()]()[()()()()]()[()()()()]ttdttfttfttdttfttfttdt()[()()2()()()()](0)(0)2(0)(0)(0)(0)tfttfttfttdtfff[(0)()]()[2(0)()]()[(0)()]()fttdtfttdtfttdt()()(0)()2(0)()(0)()fttftftft在这里利用了以下公式：()()()()(0)()()(0)()()(1)(0)kkkttdtttdtttdt3．证明2()()tttdt222()[()]()()()[()]ttdtttttttdt2()2()()()tttdttttdt22{2()()()[2()]}{()()()[()]}ttttttdtttttttdt2()[2()]()2()()2()()()ttdttttdttttdttttdt2(0)[2()]()ttdt2()2()ttt32()[()][2()]ttttttt=0试卷答案第3页（共33页）证明()()(1)!()nnnttnt用归纳法00()()(1)0!()tttt()()()[()]()()()[()]tttdtttdtttttttdt()()()()()()tttdtttdtttdt22()()(1)1!()()2()(1)2!()tttttttt又33()()()[()]tttdtttdt33()()()[()]ttttttdt2()[3()()]tttttdt233()()()()tttdttttdt(3)2()()ttdt3()(32)()(1)3!()tttt由归纳法可得()()(1)!()nnnttt4．证明：()()(3)tkrteuttk其波形如下图所示。在区间0,3内，试卷答案第4页（共33页）0(3)36333()(3)1lim()111tktttkNttNrteutkeeeeeeeeee即证明了(),03trtAet同时得到311Ae5．证明：设系统有n个自然频率1、2、…n，则12()()()()()()()nNpNpHpDpppp12112nniiniKKKKpppp故11()()()()()tinniiiiiKhtHpttKeUtp方程左边()11[()()]()()()tiinnttttiiiiHptehteKeUteKeUt(a)再看方程右边11()()()nniippiiiiKKHpHppp故()11()()()()()inntiiiiiKHpttKeUtp(b)可见式(a)、式(b)完全相等，若自然频率中有重根，也可用类似方法证明之，此处不再赘述。6．证明由于()()()()()()()()2()()()()fttfttfttfttfttftt且()()(0)()fttft()()(0)()(0)()fttftft试卷答案第5页（共33页）因而()()(0)()2(0)()2(0)()()()fttftftftftt2(0)()(0)()()()ftftftt①又()()(0)()(0)()fttftft②由式①=式②可得()()(0)()2(0)()(0)()fttftftft命题得证。7．解(3)(3)(3)33()()(3)[()(3)](3)(3)()(3)[(3)()(3)]tttkkkkttttrteuttkeuttkeutkeuteuteuteeututeut这是个等比数列求和问题当03t时，组数收敛3363()[(3)()](1)1ttterteeututeeee即()trtAe，其中311Ae8．证明21()0()()NjnkNnXkxne110022()cos[]()sin[]NNnnxnnkjxnnkNN()xn为纯虚序列，令()()xnjan()an为实序列则110022()()sin[]()cosNNnnXkannkjannkNN102()()sinNrnXkannkN102()()cos[]NinXkannkN试卷答案第6页（共33页）()rXk是k的奇函数，()iXk是k的偶函数其奇偶特性都应以/2N为对称中心。9．解10()[()]()NnkNnXkDFTxnWNk()()NxnRn为实序列()()nxxn120()NnxnN11220011()()NNkkXkNkNNN10．证明(1)()xn实偶函数，()Xk实偶函数()()xnxNn110022()()sin()sinNNinnnnXkxnkxNnkNN1102()2()sin[]()sinNnNnNnnkxnkxnNN()0iXk102()()cosNnXkxnnkN为实偶函数。(2)()xn为实奇函数，()Xk为虚奇函数()()xnxNn102()()cosNrnXkxnnkN102()cosNnxNnnkN试卷答案第7页（共33页）1102()2()cos()cosNnNnNnnkxnkxnNN()0rXk102()()sinNnnkXkjxnN为虚奇函数。(3)()xn虚偶函数，()Xk虚偶函数()()xnxNn()()xnjan110022()()()sin()sinNNrnnNnXkannkaNnkNN11022()sin()sinNnNnknknananNN()0rXk102()()cosNnXkjannkN为虚偶函数(4)()xn虚奇函数，()Xk实奇函数()()xnxNn()()xnjan110022()()cos()cosNNinnXkannkaNnnkNN12()cos()nNanNnkN102()cosNnnkanN()0iXk试卷答案第8页（共33页）102()()sinNnXkannkN为实奇函数。11．证明0000101010010010001000110000101000000000000246101012310103691111即问题得证00001010100(0)(2)(0)(2)100(1)(3)(1)001(0)(2)(3)001(1)(3)WxWxXXWxWxXWxWxXWxWx00110000100(0)100(0)(1)001(1)001(0)(0)(0)(0)(0)(0)(1)(1)(1)(3)(1)(1)WGWHGWHWGWHXGWHXXGWHXGWH12．证明：（1）0()()()eftftft000()[()()][cos()sin()]()cos()()sin()()cos()()sineeeFftfttjtdtfttdtjfttdtfttdtjfttdt试卷答案第9页（共33页）0()cos()()sineftatdtjfttdt[()][()],eeftRF0[()][()],mftjIF（2）()ft是复函数，()()()riftftjft[