2015年高考数学六大核心重点之圆锥曲线押题讲义 文理(教师版)

11.圆锥曲线小题考点：圆锥曲线方程题1定义：关于x的不等式xAB的解集叫A的B邻域．已知2ab的ab邻域为区间2,8，其中a、b分别为椭圆22221xyab的长半轴和短半轴．若此椭圆的一焦点与抛物线245yx的焦点重合，则椭圆的方程为（）A.22183xyB.22194xyC.22198xyD.221169xy题2已知AB、为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N.若2MNANNB,其中为常数,则动点M的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线2考点：圆锥曲线的离心率题3已知抛物线22(0)ypxp的焦点F恰为双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点,且两曲线交点的连线过点F,则双曲线的离心率为（）A．22B．12C．2D．23题4若双曲线222210xyabab的左、右焦点分别为F1,F2，线段F1F2被抛物线22ybx的焦点分成5：3两段，则此双曲线的离心率为______.[来源:学|科|网]题5设12,FF是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两个焦点，P是C上一点，若aPFPF6||||21，且12PFF的最小内角为30，则C的离心率为（）A．2B．23C．3D．26【答案】C【解析】试题分析：不妨设P是双曲线右支上的一点，根据定义可得aPFPF221，又题64已知F是双曲线2221xab2y－＝（a＞0，b＞0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）[来源:学.科.网][来源:学科网ZXXK]A．（1，＋∞）B．（1，2）C．（1，1＋2）D．（2，1＋2）【解析】如图，因为2||||bAFBFa，||FEac，要使△ABE是锐角三角形，则只需AEB为锐角，考点：圆锥曲线中面积问题题7已知双曲线222210,0xyabab的两条渐近线与抛物线220ypxp的准线分别交于,AB两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2,AOB的面积为3,则p.5题8过椭圆2214xy的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于,,,ABCD四点，则四边形ABCD面积的最大值与最小值之差为（）（A）1725(B)1825(C)1925(D)456考点：圆锥曲线中的最值题9若实数,xy满足2244xy，则22xyxy的最大值为（）A.122B.12C.122D.12题10抛物线22ypx（p＞0）的焦点为F，已知点A、B为抛物线上的两个动点，且满足120AFB.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则||||MNAB的最大值为()A.33B.1C.233D.22.圆锥曲线大题7考点：圆锥曲线中的定点题1已知左焦点为(1,0)F的椭圆过点23(1,)3E．过点(1,1)P分别作斜率为12,kk的椭圆的动弦,ABCD，设,MN分别为线段,ABCD的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为线段AB的中点，求1k；（3）若121kk，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．【答案】（1）12322yx；（2）123k；（3）证明过程详见解析，2(0,)3.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、直线的斜率、中点坐标等基础知识，考查数形结合思想，考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问，先利用左焦点F坐标得右焦点'F坐标，80636)32(2221221kxkkxk2122121322,323kkykkkxMM同2212221322,323kkykkkxNN当021kk时，直线MN的斜率21219610kkkkxxyykNMNM直线MN的方程为)323(961032221212121212kkkxkkkkkky又121kk化简得3296102121xkkkky此时直线过定点（0，32）当021kk时，直线MN即为y轴，也过点（0，32）综上，直线过定点2(0,)3.题2已知椭圆C：12222byax（0ba）的右焦点F，右顶点A,右准线4x且91||AF．(1)求椭圆C的标准方程；（2）动直线l：mkxy与椭圆C有且只有一个交点P，且与右准线相交于点Q，试探究在平面直角坐标系内是否存在点M，使得以PQ为直径的圆恒过定点M？若存在，求出点M坐标；若不存在，说明由．试题解析：（1）由题意，42ca，1ca，2a，1c，由222cba得3b.椭圆C的标准方程为13422yx.…………5分10考点：圆锥曲线中的定值题3已知椭圆2222:10xyCabab的两个焦点12,FF和上下两个顶点12,BB是一个边长为2且∠F1B1F2为60的菱形的四个顶点.（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点F2，斜率为k（0k）的直线l与椭圆C相交于,EF两点，A为椭圆的右顶点，直线AE、AF分别交直线3x于点M、N，线段MN的中点为P，记直线2PF的斜率为k.求证:kk为定值.11试题解析：(1)由条件知2,3ab，…………2分故所求椭圆方程为22143xy.…………4分12直线2PF的斜率为121212121()02221()31422yyxxyykxx.21211212122()142()4yxxyyyxxxx1212121223()4142()4kxxkxxkxxxx.…………11分将221212228412,4343kkxxxxkk代入上式得：222222224128234134343412844244343kkkkkkkkkkkkk.所以kk为定值34.…………14分题4已知直线:1lxmy过椭圆2222:1(0)xyCabab的右焦点F，抛物线243xy的焦点为椭圆C的上顶点,且直线l交椭圆C于,AB两点.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l交y轴于点M,且12,MAAFMBBF,当m变化时,12的值是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明由.13试题解析：（1）C：22143xy………………3分（2）易知0m,1(0,)Mm,设A(x1,y1),B(x2,y2)由22221(34)690,143xmymymyxy222(6)36(34)144(1)0mmm12122269,3434myyyymm………………6分又由12,MAAFMBBF得：1111my，2211my1212121823yymyy………………8分考点：圆锥曲线中的向量问题题5已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为33，过右焦点F的直线l与C相交于A、B14两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为22．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有→OP＝→OA＋→OB成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．化简整理，得4t4＋4t2－3＝0，即(2t2＋3)(2t2－1)＝0，解得t2＝12．当t＝22时，P(32，－22)，l的方程为2x－y－2＝0；15当t＝－22时，P(32，22)，l的方程为2x＋y－2＝0．故C上存在点P(32，±22)，使→OP＝→OA＋→OB成立，此时l的方程为2x±y－2＝0．13分考点：椭圆的基本概念，点到直线的距离，根与系数关系，设而不求的思想.题6已知椭圆长轴的左右端点分别为A，B，短轴的上端点为M，O为椭圆的中心，F为椭圆的右焦点，且AFuuur·FBuur＝1，｜OFuuur｜＝1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（2）若直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使得点F恰为△PQM的垂心?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．试题解析：（Ⅰ）设椭圆方程为22221(0)xyabab，(,0)Fc，所以1c=，又因为()()221AFFBacacac=+-=-=，所以222,1ab==，则椭圆方程为2212xy；（Ⅱ）假设存在直线l符合题意。由题意可设直线l方程为：yxn=+，代入2212xy得：2234220xnxn++-=，2221624(1)03nnn=--?，设()()1122,,,PxyQxy，则16考点：圆锥曲线中取值范围的问题题7已知抛物线24yx的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1,F2为焦点的椭圆C过点21,2.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点T)0,2(，过点F2作直线l与椭圆C交于A,B两点，且22FAFB，若2,1,TATB求的取值范围.17（Ⅱ）方法一：容易验证直线l的斜率不为0，设直线l的方程为1xky将直线l的方程代入2212xy中得：22(2)210kyky.…………………6分设112212(,),(,),00AxyBxyyy且，则由根与系数的关系，可得：12222kyyk⑤12212yyk⑥…………………7分因为BFAF22，所以12yy，且0.18方法二：1）当直线l的斜率不存在时，即1时，)22,1(A，)22,1(B，又T)0,2(，所以22(1,)(1,)222TATB…………6分2）当直线l的斜率存在时，即1,2时，设直线l的方程为)1(xky1920所以8213,2TBTA……………………12分综上所述：132||[2,]8TATB.……………………13分题8在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22221(1)xyabab＞≥的离心率32e，且椭圆C上一点N到点Q03（，）的距离最大值为4，过点3,0M（）的直线交椭圆C于点.AB、（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P为椭圆上一点，且满足OAOBtOP（O为坐标原点），当3AB＜时，求实数t的取值范围.试题解析：（Ⅰ）∵2222223,4cabeaa∴224,ab（1分）21又由21213,ABkxx＜即221212(1)()43,kxxxx＜将12xx，12xx代入得2422222244(364)(1)3,(14)14kkkkk＜化简，得22(81)(1613)0,kk＞则221810,8kk＞＞,∴21185k＜＜②（10分）22由①，得22223699,1414ktkk联立②，解得234,t＜＜∴23t＜＜或32.t＜＜（12分）考点：圆锥曲线面积最值问题题9已知椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，离心率32e，点2(2)2Q在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k(0)k的直线n交椭圆C与A、B两点，且OAk、k、OBk成等差数列，点M（1,1），求ABMS的最大值.23[来源:学,科,网Z,X,X,K]因为直线,,OAABOB的斜率依次成等差数列，[来源:Zxxk.Com]所以，kxyxy22211，即2112212xkxyxyx，又mkxy，所以0)(21xxm，即0m．……………………(9分)联立kxyyx1422易得弦AB的长为224141kk又点M到kxy的距离112kkd所以22211412141kSkkk24112kk平方再化简求导易得41k时S取最大值5……………………(13分)24题10设点A（3，0），B（3，0），直线AM、BM相交于点M