2015年高考数学理科试题(四川卷,解析版)

2015四川高考数学理科卷详细解答By:KingsleeQQ:97407923第1页绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。满分l50分。考试时间l20分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。第Ⅰ卷共10小题。一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合{|(1)(2)0}Axxx，集合{|13}Bxx，则AB（A）1|3xx（B）|11xx（C）|12xx（D）|23xx【答案】A【解析】∵{|12}Axx，{|13}Bxx，{|13}ABxx，选A.2.设i是虚数单位，则复数32ii(A)i(B)3i(C)i(D)3i【答案】C【解析】32222iiiiiiii，选C.3.执行如图所示的程序框图，输出S的值是(A)32-(B)32(C)-12(D)12【答案】D【解析】易得当k=1,2,3,4时执行的是否，当k=5时就执行是的步骤，所以51sin62S，选D.2015四川高考数学理科卷详细解答By:KingsleeQQ:97407923第2页4.下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是(A)cos(2)2yx(B)sin(2)2yx(C)sin2cos2yxx(D)sincosyxx【答案】A【解析】显然对于A选项，cos(2)sin22yxx，为关于原点对称，且最小正周期是π，符合题意,选A.5.过双曲线2213yx的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则AB（A）433（B）23（C）6（D）43【答案】D【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为3yx，且右焦点(2,0)，则直线2x与两条渐近线的交点分别为A(2,23)，B(2,23)，∴||43AB,选D.6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（A）144个（B）120个（C）96个（D）72个【答案】B【解析】这里大于40000的数可以分两类：①当5在万位时，个位可以排0、2、4三个数中的一个，十位百位和千位没有限制∴有133472CA种。②当4在万位时，个位可以排0、2两个数中的一个，十位百位和千位没有限制，∴有132448CA种，综上所述：总共有72+48=120种,选B。7.设四边形ABCD为平行四边形，6AB，4AD.若点M，N满足3BMMC，2DNNC，则AMNM（A）20（B）15（C）9（D）6【答案】C【解析】这里可以采用最快速的方法，把平行四边形矩形化，因此，过B建立直角坐标系，可得到0,6A，3,0M，4,2N，∴3,6AM，1,2NM，∴3129AMNM，选C8.设a，b都是不等于1的正数，则“331ab”是“log3log3ab”的(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件2015四川高考数学理科卷详细解答By:KingsleeQQ:97407923第3页【答案】B【解析】由已知条件333ab可得1ab。当1ab时，33loglog0ab。∴3311loglogab，即log3log3ab。∴，“333ab”是“log3log3ab”的充分条件。然而取1133ab则log30log3ab，满足log3log3ab，却不满足1ab。∴“333ab”是“log3log3ab”的不必要条件。综上“333ab”是“log3log3ab”的充分不必要条件，选B.9.如果函数212810,02fxmxnxmn在区间1,22单调递减，则mn的最大值为（A）16（B）18（C）25（D）812【答案】B【解析】'28fxmxn，由于fx单调递减得：∴0fx，∴280mxn在1,22上恒成立。设28gxmxn，则一次函数gx在122，上为非正数。∴只须在两个端点处102f和20f即可。即128022280mnmn①②，由②得：1122mn。∴211121218222nnmnnn。mn当且仅当3,6mn时取到最大值18。经验证，3,6mn满足条件①和②,选B.10.设直线l与抛物线24yx相交于A，B两点，与圆22250xyrr相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（A）13，（B）14，（C）23，（D）24，【答案】D【解析】设11,Axy，22,Bxy，5cos,sinMrr，则21122244yxyx两式相减，得：1212124yyyyxx，当直线l的斜率不存在时，显然符合条件的直线l有两条。xyBOMCA2015四川高考数学理科卷详细解答By:KingsleeQQ:97407923第4页当直线l的斜率存在时，可得：1212121222sin4sinAByyryyxxkxxr，又∵sin0sin5cos5cosMCrkr，∴1cossinABMCkk，∴2cos22sinsincosrr由于M在抛物线的内部，∴2sin45cos204cos204212rrr，∴sin23r，∴2224sin423164rrrrrrr，因此，24r，选D.第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目说只是的区域内作答。作图可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试卷、草稿纸上无效。二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11.在521x的展开式中，含2x的项的系数是________（用数字填写答案）【答案】-40【解析】由题意可知2x的系数为：22352(1)40C12.°°sin15sin75的值是________【答案】62【解析】36sin15sin75sin15cos152sin15452sin6022213.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：°C）满足函数关系kxbye（e=2.718为自然对数的底数，k，b为常数）。若该食品在°0C的保鲜时间是192小时，在23°C的保鲜时间是48小时，则该食品在33°C的保鲜时间是________小时。【答案】24【解析】0+192kbe①，2248kbe②，∴221142kkee②①，∴当33x时，33kbex③，∴3331248192kkxeex③①14.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面相互垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC中点，设异面直线EM与AF所成的角为，则cos的最大值为________FEABCDPQM2015四川高考数学理科卷详细解答By:KingsleeQQ:97407923第5页【答案】25【解析】以AB为x轴，AD为y轴，AQ为z轴建立空间直角坐标系，并设正方形边长为2，则0,0,0A，2,1,0F，1,0,0E，0,,2Mm，∴2,1,0AF，1,,2EMm∴22cos,55AFEMmAFEMm令22()(0,2)525mfmmm222(2)105252525()525mmmmfmm，0,2m，()0fmmax2()(0)5fmf，从而max2cos515.已知函数2xfx，2gxxax(其中aR)。对于不相等的实数1x，2x，设1212fxfxmxx，1212gxgxnxx，现有如下命题：(1)对于任意不相等的实数1x，2x，都有0m；(2)对于任意a的及任意不相等的实数1x，2x，都有0n；(3)对于任意的a，存在不相等的实数1x，2x，使得nm；(4)对于任意的a，存在不相等的实数1x，2x，使得nm。其中的真命题有_________________(写出所有真命题的序号）。【答案】(1)(4)【解析】(1)设1x，2x,∵函数2xy是增函数，∴1222xx，120xx，则2121)()(xxxfxfm=21x2122xxx0,所以正确；(2)设12xx，则120xx，∴22121122121212gxgxxaxxaxnxxaxxxx不妨我们设121,2,3xxa，则60n，矛盾，所以(2)错。(3)∵nm，由(1)(2)可得：12121212fxfxgxgxmnxxxx，化简得到，2015四川高考数学理科卷详细解答By:KingsleeQQ:97407923第6页1212fxfxgxgx，也即1122fxgxfxgx，令22xhxfxgxxax，即对于任意的a函数hx在定义域范围内存在有两个不相等的实数根1x，2x。则'2ln22xhxxaaxnxx22l2)(h，显然当a时，'0hx恒成立，即hx单调递增，最多与x轴有一个交点，不满足题意，所以错误。(4)同理可得1122fxgxgxfx，设22xhxfxgxxax，即对于任意的a函数hx在定义域范围内存在有两个不相等的实数根1x，2x，从而hx不是恒为单调函数。'2ln22xhxxa，2''2ln220xhx恒成立，∴'hx单调递增，又∵x时，'0h，x时，'0h。所以hx为先减后增的函数，满足要求，所以正确。三、简答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）设数列{}na的前n项和12nnSaa，且1a，21a，3a成等差数列。（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）记数列1{}na的前n项和nT，求得使1|1|1000nT成立的n的最小值。【解答】：（Ⅰ）当2n时有，11112(2)nnnnnaSSaaaa则12nnaa(2)n，12nnaa-=（2n³），∴数列na是以1a为首项，2为公比的等比数列。又由题意得21322aaa，1112224aaa，∴12a，∴2nna*()nN（Ⅱ）由题意得112nna，∴111[1()]11221()12212nnnniiT则2111-=()22nnT（），又1091111,210242512，即11110241000512111000nT成立时，n的最小值为10n。17.（本小题满分12分）某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名2015四川高考数