弯曲切应力

弯曲应力第四章•对称弯曲的概念及计算简图•梁的剪力和弯矩•剪力图和弯矩图•梁横截面上的正应力•梁的正应力强度条件•梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件•平面刚架和曲杆的内力图•梁的合理设计图示一矩形截面梁受任意横向荷载作用。§4-5梁横截面上的切应力•切应力强度条件F2F1q(x)一、梁横截面上的切应力1.矩形截面梁mmnn（1）推导公式的思路MM+dMFsFs1假想地用横截面m—m,n—n从梁中截取dx一段。剪力产生切应力。两横截面上均有剪力和弯矩。弯矩产生正应力，F2F1q(x)mmnnxdx两横截面上的弯矩不等。所以两截面上到中性轴距离相等的点（用y表示）其正应力也不等。IyMz正应力（）分布图mmnnymmnnMM+dMFsFsmnnm'm'mohbdxxyz2假想地从梁段上截出体积元素mB1yABA1B1y体积元素mB1在两端面mA1,nB1上两个法向内力不等。3*2N*1NFFmnnm'm'mohbdxxyzyABA1B1xzyBmnAB1A1mndx*1NFFN*24在纵截面AB1上必有沿x方向的切向内力dFs。此面上也就有切应力’yxzyBmnAB1A1mndxdFsmnnm'm'mohbdxxyzyABA1B1*1NFFN*2yxzyBmnB1A1mn因为微元段dx的长度很小，所以假设切应力在AB1面上均匀分布。AdFsmnnm'm'mohbdxxyzyABA1B1dx*1NFFN*2yxzyBmnB1A1mnAdFsmnnm'm'mohbdxxyzyABA1B1dxAB1面的AA1线各点处有切应力。且各点的切应力相等。*1NFFN*2yxzyBmnB1A1mnAmnnm'm'mohbdxxyzyABA1B1dx根椐切应力互等定理，在横截面的横线AA1上也应有切应力。且横截面的横线AA1上各点的切应力相等。dFs*1NFFN*2由静力平衡方程，求出dFs。推导公式的步骤1*1NF*2NF和分别求出横截面mA1和nB1上正应力的合力234dFs除以AB1面的面积得纵截面上的切应力。由此得到横截面上距中性轴为任意y的点上的切应力。yxzyBmnB1A1mnAdxbdFs*1NFFN*2（2）公式推导yxzBmnAB1A1mn1求F*N1和F*N2假设m—m,n—n上的弯矩为M和M+dM。两截面上距中性轴y1处的正应力为1和2。y1dA1dAdFs*1NFFN*2AAFd*1*1NAMAzyMA*zAyIIdd1*1*zzSIM用A*记作mA1的面积yxzBmnAB1A1mny1dA1dAdFs*1NFFN*2SIM*ZZSz*是面积A*对中性轴z的静矩。同理SZzIdMMAAF*2*2Nd*A*为横截面距中性轴为y的横线以外部分mA1的面积。yxzBmnAB1A1mny1dA1dAdFs*1NFFN*2AAFd*1*1NSI*ZZMF*1NSZzIMMF**2NdyxzBmnAB1A1mny1dA1dAdFs*1NFFN*22由静力平衡方程求dFs0ds*N1*N2FFF**1N*2NsddzzSIMFFFyxzBmnAB1A1mn*1NF*2NF3求纵截面AB1上的切应力’IbSFzzs*dxbdFsSzzsxMbIxbF*dd1dd**1N*2NsddzzSIMFFFBmnAB1A1mn4横截面上距中性轴为任意y的点，其切应力的计算公式。IbSFzzs*yxz*1NF*2NFdxbdFsIbSFzzs*上式为矩形截面梁对称弯曲时横截面上任一点处的切应力计算公式。IbSFzzs*ZbyA*Iz—整个横截面对中性轴的惯性矩b—矩型截面的宽度Sz*—过求切应力的点做与中性轴平行的直线，该线任一边的横截面面积对中性轴的静矩—其方向与剪力Fs的方向一致yIbSFzzs*A*3.切应力沿截面高度的变化规律nBmAm1A1B1xyzOy沿截面高度的变化由静矩Sz*与y之间的关系确定。IbSFzzs*nBmAxyzOyAA*yS*zd1211dhyyby)4(222yhbbh/2A1B1m1y1dy1ybAd1d可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化。)4(222yhIFτzsbFISzzs*)4(222*yhbSZ2hy处，（即在横截面上距中性轴最远处)，切应力等于零0τy=0处，(即在中性轴上各点处），切应力达到最大值AFbhFbhhFIhFzss32s2smax23231288)4(222yhIFτzs式中，A=bh,为矩形截面的面积。AFs23max矩形截面切应力沿截面高度的变化如图所示。maxz截面静矩的计算方法ACzyAAySdAA为截面面积yC为截面的形心坐标yC例题1：一矩形截面简支梁。已知l=3m，h=160mm，b=100mm，h1=40mm，F=3kN，求m—m上K点的切应力。l/6ABFFmml/3l/3l/3bhzKh1解：因为两端的支座反力均为F=3kN所以m—m截面的剪力为Fs=3kNIbSFzzs*l/6ABFFmml/3l/3l/3bhzKh1A*y0myASz330**1024.006.004.01.0mbhIz44310341.012MPa21.0*bISFzzsIbSFzzs*2.工字形截面梁横截面腹板上的切应力假设求应力的点到中性轴的距离为y。toyhbxdzyFsIbSFzzs*Sz*——距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积对中性轴的静矩。A*d——腹板的厚度ozydxyA*IbSFzzs*o(c)zyτmax（2）最大切应力也在中性轴上。这也是整个横截面上的最大切应力。（1）腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化。τmaxτminoτmaxzyτmaxτmindFISzzs*maxmaxτ式中Sz*max——中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩。r0δzy3.薄壁环形截面梁图式为薄壁环形梁横截面截面。环壁厚度为，环的平均半径为r0。（«r0）r0δzy（1）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化。（2）切应力的方向与圆周相切。假设：r0δzyAFs2τmaxA=2r0为环形截面的面积横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为τmaxτmax4.圆截面梁在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切。yzodyzod假设：（1）沿宽度kk´上各点处的切应力均汇交于o´点。（2）各点处切应力沿y方向的分量沿宽度相等。k´kyo´yzodk´kyo´4π2dA为圆截面的面积AFbIFszzsS34*maxτ最大切应力发生在中性轴上τmax5.等直梁横截面上最大切应力的一般公式对于等直梁，其最大切应力max一定在最大剪力Fs,max所在的横截面上，而且一般说是位于该截面的中性轴上。全梁各横截面中最大切应力可统一表达为bIFzzS*maxmaxsmaxb——横截面在中性轴处的宽度maxsF——全梁的最大剪力Iz——整个横截面对中性轴的惯性矩Sz*max——中性轴一侧的横截面面积对中性轴的静矩bIFzzS*maxmaxsmax例题2：图示简支梁由56号a工字钢制成。求梁的最大切应力max和同一截面腹板部分a点处的切应力a，并分析切应力沿腹板高度的变化规律。a1665602112.5zABF5m10m解：作剪力图kN75max,sF75kN75kNa1665602112.5zABF5m10mBFAF查型钢表cmSIzz73.47*max=,将max,sFSIzz*max代入公式d=12.5mm,和MPa6.12)(*maxmax,s*maxmax,smaxτdFdIFSISzzzzdISFzz*max,max,smaxa1665602112.5zmm)-(S*za3310940221256021166MPa68max,s.dIFz*zaaSτcmIz465586a点以外的截面面积对中性轴的静矩为a1665602112.5zdISFzz*max,max,smaxdthh1htbz切应力的变化规律应与Sz*的变化规律相同。dyddA1ydy1y122h'tbS*z)yh(dbth'SSSzzz221*2*1*42212)4(2221121111*yhddydydAyShyA*zτmaxτa此式说明沿腹板高度按二次抛物线规律变化。)yh(dbth'dIFτz221s422二、梁的切应力强度条件梁除满足正应力强度外，还需满足切应力强度。对于横力弯曲下的等直梁，其横截面上一般既有弯矩又有剪力。梁上最大正应力发生在弯矩最大的横截面上距中性轴最远的各点处。而梁上最大的切应力发生在剪力最大的横截面上中性轴的各点处。等直梁的最大切应力一般在最大剪力所在横截面的中性轴上各点处，这些点的正应力=0，略去纵截面上的挤压力后，最大切应力所在的各点均可看作是处于纯剪切应力状态。讨论全梁承受均布荷载的矩形截面简支梁C,D,E,F,G,H各点的应力状态。2qlFs图EGHCDFmq2llm在最大弯矩截面上，距中性轴最远的C和D点处于单轴应力状态；在最大剪力截面上，中性轴上的E,F点处于纯剪切应力状态;而G,H点处于一般应力状态。M图82qlC,D为单轴应力状态CDmaxcmaxt2qlFs图EGHCDFmq2llmM图82qlFEE,F为纯剪切应力状态τmax2qlFs图EGHCDFmq2llmM图82qlG,H为一般应力状态GστHστ2qlFs图EGHCDFmq2llmM图82ql仿照纯剪切应力状态下的强度条件公式，即max梁的切应力强度条件为][*maxmax,sbIzzSF式中：[]为材料在横力弯曲时的许用切应力。Sz*max为中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩][*maxmax,sbIzzSF在选择梁的截面时，通常先按正应力选出截面，再按切应力进行强度校核。例题3：简支梁受均布荷载作用，其荷载集度梁的跨长l=3m,横截面为mmhb2180120,许用弯曲正应MPa7,许用切应力MPa9.0,校核梁的强度。力ABqmkN6.3q(1)梁的正应力强度校核最大弯矩发生在跨中截面上，其值为kN.m05.482maxqlMABq梁横截面的的抗弯截面系数为mmbhWz326480006横截面上的最大正应力MPa25.6maxmaxσWMz(2)梁的切应力强度校核矩形截面的面积为mbhA25106.21梁横截面上的最大切应力MPa375.023smaxAFkN4.52max,sqlF梁最大的剪力为所以此木梁是安全的。F例题4：一简易起重设备如图a所示。起重量（包含电葫芦自重）F=30KN。跨长l=5m。吊车大梁AB由20a工字钢制成。其许用弯曲正应力[]=170MPa，许用弯曲切应力[]=100MPa，试校核梁的强度。5mAB解：此吊车梁可简化为简支梁F2.5mFC37.5kN.m+力F在梁中间位置时有最大弯矩。mkN5.37maxM由型钢表查得20a工字钢的cmWz3237所以梁的最大正应力为MPa158maxmaxWMz(1)正应力强度校核(2)切应力强度校核在计算最大切应力时，应取荷载F在紧靠任一支座。例如支座A处所示，因为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应力也就最大。5mABFkN30Amax,sFFF查型钢表中，20a号工字钢，有cmSIzz2.17*maxd=7mmFAFB+Fs,maxMPa9.24)(*max,max,s*max,max,smaxddISIFSFzz