函数零点习题课

函数的零点习题课涡阳一中王晓东【知识回顾】1.函数的零点(1)概念:函数y=f(x)的零点是函数y=f(x)的图像与横轴的交点的_______.(2)意义:f(x)的零点就是方程____________.横坐标f(x)=0的解函数零点的求法(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根,若存在实数根,则函数存在零点,否则函数不存在零点.(2)几何法:与函数y=f(x)的图像联系起来,图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.2.零点存在定理(1)函数y=f(x)在(a,b)内至少有一个零点的条件:①若y=f(x)的图像在[a,b]上是_________;②___________0.(2)结论:函数y=f(x)在区间(a,b)内至少_______零点,即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少_______实数解.连续曲线f(a)·f(b)有一个有一个对定理的四点说明(1)存在性:“若f(a)·f(b)0,则在区间(a,b)内方程f(x)=0至少有一个实数解”指出了方程f(x)=0的实数解的存在性,并不能判断具体有多少个解.(2)唯一性:若f(a)·f(b)0,且y=f(x)在(a,b)内是单调的,那么,方程f(x)=0在(a,b)内有唯一实数解.(3)成立条件的严密性:缺少条件“在[a,b]上是连续曲线”则不成立,(4)不可逆性:对函数零点的判断方式反过来不成立.1.函数f(x)=x2+3x的零点是________.【解析】令x2+3x=0,解得x=0或x=-3,所以函数f(x)=x2+3x的零点是0和-3.答案:0和-3类型一函数零点的概念及求法2.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为()A.{1,3}B.{-3,-1,1,3}C.{2-,1,3}D.{-2-,1,3}77【解析】当x0时,f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-(-3x)]=-x2-3x,易求得g(x)的解析式g(x)=当x2-4x+3=0时,可求得x1=1,x2=3,当-x2-4x+3=0时,可求得x3=-2-,x4=-2+(舍),故g(x)的零点为1,3,-2-,构成集合{-2-,1,3}.22x4x3,x0,x4x3,x0,7777类型二判断函数零点所在的区间1.函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的大致区间是()A.(3,4)B.(2,e)C.(1,2)D.(0,1)2x【解析】1.选C.f(x)在区间(1,2)内图像连续不断,因为f(1)=ln2-20,f(2)=ln3-10,所以f(1)·f(2)0,所以函数f(x)的零点在区间(1,2)内.【变式】根据表格中的数据,可以判定函数f(x)=ex-x-2的一个零点所在的区间是()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)x-10123ex0.3712.727.3920.09x+212345【解题指南】根据表中的数据作差(ex-(x+2))判断f(x)的符号.【解析】选C.由题表可知f(1)=2.72-30,f(2)=7.39-40,所以f(1)·f(2)0,所以f(x)在区间(1,2)上存在零点.1.f(x)=,则它的零点有个.【解析】设在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图像,如图所示,12logxx1122ylogxyx.，类型三函数零点个数的判断则函数y1=和y2=的图像仅有一个交点,所以函数f(x)=有一个零点.12logxx12logxx【变式】函数f(x)=+x-4的零点有个.12logx【解析】设y1=,y2=4-x,则f(x)的零点个数为y1=与y2=4-x的图像的交点个数,作出两函数大致图像,如图:12logx12logx类型四由函数零点的个数求参数的取值范围1.已知函数f(x)=|x2-2x|-a.(1)当a=0时,画出函数f(x)的简图.(2)若函数f(x)有4个零点,求a的取值范围.【解题探究】本例中,函数y=|x2-2x|的图像与函数y=x2-2x的图像有什么关系?函数f(x)有4个零点,可转化成哪两个函数图像公共点个数问题?提示:函数y=x2-2x的图像x轴下方的部分翻折到x轴上方可得函数y=|x2-2x|的图像,函数f(x)有4个零点,可转化为y=|x2-2x|的图像与直线y=a有4个公共点.【解析】(1)当a=0时,函数f(x)=|x2-2x|=|x(x-2)|的图像如图所示:(2)若函数f(x)有4个零点,则方程|x2-2x|=a有4个不等实根,即函数y=|x2-2x|的图像和直线y=a有4个交点,结合(1)中函数的图像可得0a1.【延伸探究】将本例条件“4个零点”改为“2个零点”,其他条件不变,求a的取值范围.【解析】若函数f(x)有2个零点,则方程|x2-2x|=a有2个不等实根,即函数y=|x2-2x|的图像与直线y=a有2个交点,结合原例(1)图像知a=0或a1.解决函数零点问题的三种常用方法(1)直接法:直接解出相应方程，或直接画出函数图像，得到函数的零点.(2)利用零点存在定理:利用f(a)f(b)0并结合函数的单调性,可判定y=f(x)在(a,b)上零点的个数.【课堂小结】(3)转化法:由f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一坐标系下作出y1=g(x)和y2=h(x)的图像,利用图像交点的个数判定方程根的个数，即函数零点的个数.特别提醒:求函数f(x)=g(x)-h(x)的零点个数时,要注意观察函数f(x),g(x),h(x)的图像哪个易于画出,正确选择解题方法.已知函数f(x)=函数g(x)=f(x)-k恰有两个零点,则实数k的取值范围是()x213(),x2,24logx,0x2,333A.(,1)B.[,1)C.[,1]D.(0,1)444【作业】【解析】选A.函数g(x)=f(x)-k恰有两个零点,等价于方程f(x)=k恰有两个实根,等价于函数f(x)的图像与直线y=k恰有两个公共点,结合图像可知k∈3(,1).4