函数项级数敛散性的判别方法及其应用毕业论文

函数项级数敛散性的判别方法及其应用DiscriminationMethodsofConvergenceandDivergenceofSeriesofFunctionsandItsApplication专业:数学与应用数学作者:指导老师:二○一五年五月I摘要本文介绍了函数项级数敛散性判别法，如柯西判别法、阿贝尔判别法、达朗贝尔判别法和它们的极限形式，以及多种特殊函数项级数敛散性的判别方法.然后介绍了这些判别法在实际解题中的应用.本文探究和总结了一些判别函数项级数敛散性的方法,为今后处理函数项级数敛散性的判别提供理论基础.关键词:函数项级数;一致收敛;判别法;IIAbstractThispaperintroducesdiscriminationmethodsofconvergenceanddivergenceofseriesoffunctions,suchasCauchycriterion,Abeldiscriminationmethod,DarrenBelldiscrimina-tionmethodandtheirrespectiveforms,andseriesofdiscriminationmethodsofconvergenceanddivergenceofavarietyofspecialfunctions.Thenthepaperintroducesthesedisctimina-tionmethodsintheapplicationofthepracticalproblems.Thispaperdiscussesandsummari-zesdiscriminationmethodsofconvergenceanddivergenceofseriesoffunctions,whichpro-videtheoryforpracticalproblems.Keywords:seriesoffunctions,uniformconvergence,discriminationmethod目录0引言.......................................................................................................................11预备知识...................................................................................................................12函数项级数敛散性的判别方法...............................................................................23判别法的一些应用……………………………………….…………………………………………….…......6致谢.............................................................................................................................11参考文献.....................................................................................................................12第1页共16页0引言函数项级数在现代工程技术方面有着普遍的应用,它在数学分析中也具有重要地位,是学习数学分析的重难点所在,不易被掌握和应用.而我们要理解和掌握函数项级数,就必须要先研究它的敛散性,而这项工作往往是比较困难的.书本上介绍了一些判别函数项级数敛散性的基本方法,但是这些方法往往只能解决一些比较常规的问题.因此对于不同类型的函数项级数,往往需要寻求不同的方法来判别其敛散性.目前已经有许多学者们在判别函数项级数敛散性方面做出了很多贡献,但很多都具有其本身的局限性.本文从三个层面展开论述:首先论述函数列、函数项级数的定义及其敛散性的概念.然后分别列出函数项级数敛散性的一些常见判别法以及在这些判别法上推出的一些定理.最后用一些实际例题来验证这些判别法.1预备知识设12,,,,nfff为一列定义在同一数集D上的函数,称为定义在D上的函数列.该函数也可简单地写作()nfx或nf,1,2,...n.定义[1]1设函数列{}nf与函数f定义在同一数集D上,若对任给的正数,总存在某一正整数N,使得当nN时,对一切xD,都有nfxfx,那么称函数列{}nf在D上一致收敛于f,记作()()nfxfx()n,xD.设{()}nux为定义在数集D上的一个函数列,则Dxxuxuxun,)()()(21称为定义在D上的函数项级数,简记为()nux,并称第2页共16页1()(),,1,2,...nnkksxuxxEn为函数项级数的部分和函数列.定义[1]2若函数项级数)(1xunn的部分和函数列)(xSn在数集D上一致收敛于)(xS,则称函数项级数)(1xunn在D上一致收敛于)(xS或称)(1xunn在D上一致收敛.2函数项级数敛散性的判别方法定理]1[1（柯西一致收敛准则）函数项级数)(xun在数集D上一致收敛的充要条件：对于任意的正数,总存在个某正整数N,使得当Nn时,对一切Dx和一切正整数p都有|)()(xsxsnpn|或|)()()(21xuxuxupnnn|.柯西收敛准则和定义是数学分析中判断一致收敛的常用方法，我们还可以根据级数各项的特征去判定其敛散性.下面讨论定义在区间I上形如)()()()()()()()(2211xvxuxvxuxvxuxvxunnnn（2.1）的函数项级数敛散性的判别.推论1（柯西准则逆否命题）函数项级数xun在区间D上非一致收敛的充要条件为0o，NN,Nno,Dx，Np使得opnnkkxu1.这里最关键的是要找出ox与on及p之间的关系，然后凑出o，此类型题目也有一个简便方法，即取1p能适用于许多题型．这种做法比较实用，优先考虑．推论2函数列xun在数集D上非一致收敛于0，那么函数项级数xun在数集D上非一致收敛．第3页共16页推论39如果函数项级数xun在区间D上逐点收敛，并在区间D中存在点列nx，使0limnnnxu，有函数项级数xun在区间D上非一致收敛．定理2[1]（M判别法）设定义在数集D上的函数项级数xun,Mn为收敛的正项级数,如果对一切Dx,有,,2,1,nxMunn那么函数项级数xun在D上一致收敛.定理3[1]（阿贝尔判别法）设(1))(xun在区间I上一致收敛;(2)对于每一个)}({,xvIxn是单调的；(3))}({xvn在I上一致有界,即对任意Ix和正整数n,存在正数M,使,|)(|Mxvn那么原级数在I上一致收敛.定理4[1]（狄利克雷判别法）（1）)(xun的部分和函数列)()(1xuxUnkkn)2,1(n在I上一致有界；（2）对于每一个)(,xvIxn是单调的；（3）在I上)(0)(nxvn,则级数(2.1)在I上一致收敛.定理5（比式判别法）设()nux是定义在数集D上的函数列,且()0nux,,2,1n记)()()(1xuxuxqnnn，存在正整数N和实数Mq,使得()1nqxq,()NuxM对任意的Nn,xD成立,那么函数项级数1()nnux在D上一致收敛.第4页共16页此定理的极限形式为：设)(xun为数集D上的正函数列,)()()(1xuxuxqnnn,因为lim()()1nnqxqxq,且)(xun在D上一致有界,则函数项级数)(1xunn在D上一致收敛.定理6[5]（根式判别法）设)(xun为定义在数集D上的函数列,若存在正整数N,使1|)(|qxunn,对Nn,Dx成立，那么函数项级数1)(nnxu在D上一致收敛.该定理的极限形式为：设)(1xunn为数集D上的函数列，lim|()|()1nnnuxqxq,对Dx成立,有函数项级数在D上一致收敛定理7[5](对数判别法)设)(xun为定义在数集D上正的函数列,若存在ln()lim()lnnnuxpxn那么(1)若对xD,()1pxp，则函数项级数)(1xunn在D非一致收敛；(2)若对xD,()1pxp，则函数项级数)(1xunn在D上非一致收敛；定理8（端点判别法）设()nux在[,]ab上单调(1,2,...)n，若(),()nnuaub绝对收敛，则()nux在[,]ab绝对且一致收敛。定理9（两边夹判别法）对任给自然数n和xD,都有)()()(xwxvxunnn成立且)(),(11xwxunnnn均在点集D上一致收敛于()sx,则1()nnvx在点集D一致收敛于()sx.定理10(Dini定理，单调判别法)设级数)(1xunn的每一项在有界闭区间[,]ab上连续且非负,如果它的和函数()Sx也在[,]ab上连续,那么该级数在[,]ab上一致收敛.第5页共16页定理11[9]（导数判别法）设函数列{()nux}在闭区间[,]ab上连续可微,且存在一点0x[,]ab使得)(1xunn在点0x收敛；1'()nnux在[,]ab上一致收敛,则)(1xunn在[,]ab上一致收敛.引理1若连续函数列xfn在区间D上一致收敛于xf，则Dx0，Dxn，0limxxnn，有0limxfxfnnn定理12[7](利用一致收敛函数列的性质)连续函数项级数xun在区间D上逐点收于)(xS，且Dx0，Dxn，0limxxnn，有0limxSxSnnn，则函数项级数xun在区间D上非一致收敛于)(xS．推论设连续函数列xSn在区间D上逐点收敛，且在D中存在数列na和nb满足条件①0limlimxbannnnDx0；②AaSnnnlim，BbSnnnlim，而BA则xSn在D上非一致收敛．定理13[6](利用端点发散性)函数项级数xun定义在ba,（或,a）上．对Nn，函数xun都在ax处右连续，但级数aun发散，则函数项级数xun在ba,（或,a）上非一致收敛.（注:在a,（或ac,）内也有相应结论.）定理14[6](利用和函数的连续性)若连续函数项级数xun在区间D上逐点收敛于和函数)(xS，且Dx0，)(xS在0xx处间断，则xun在区间D上非一致收敛于和函数)(xS．定理15设对任意自然数n，函数xun在区间D上都是单调增加（或单调减少）的，如果存在数列Dxn，使得级数nnxu发散，则函数项级数xun在D上非一致收敛．总之，函数项级数敛散性的判别方法有很多，对于不同类型的级数，可运用不同种方法来判别它敛的敛散性。由此可见，熟练掌握函数项级数敛散性的判别方法，对于研究函数项级数的性质起着重要作用．第6页共16页3判别方法的一些应用例1讨论1nnx在rr,）10(r和)1,1(上的敛散性．解易知1nnx在)1,1(内收敛于xx1．对任给0，当Nn且rxr时，恒有xxxxxnnkk1111只需当Nn时,