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人教A版·必修1第一章集合与函数概念1．1集合1．1.1集合的含义与表示第2课时集合的表示[问题提出]1.集合有几种表示方法？它们的表示形式是怎样的？2.集合的表示方法各有什么优缺点？3.如何灵活运用集合的表示方法表示集合？01课前自主学习[基础自学]1．列举法表示集合把集合的元素出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法表示集合用集合所含元素的表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的及取值(或变化)范围，再画，在竖线后写出这个集合中元素所具有的一般形式：{x|p(x)}，其中x是集合元素的一般符号，p(x)是集合元素的共同特征．一一列举共同特征一般符号一条竖线共同特征．[自我小测]1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．()(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.()(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．()2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)用列举法表示方程x2－1＝0的解集为________．(2)集合{x∈N|x5}中的元素为___________．(3)用描述法表示大于1且小于3的实数的集合为____________．××√{1，－1}0,1,2,3,4{x∈R|1x3}02课堂合作探究知识点一用列举法表示集合[核心解读]1．适用范围：通常适用于有限集，且元素个数不太多的情况，有时也可以表示有特殊规律的无限集．2．优点：能明确表示出集合中的具体元素及元素的个数．3．缺点：不能反映出集合中元素所满足的特征．4．元素之间用“，”隔开，而非“；”或“、”．5．元素之间没有顺序，但不能重复，也不能遗漏．思考1列举法是如何定义的？什么类型的集合适合用列举法表示？思考2book中的字母的集合能否表示为：{b，o，o，k}?提示：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．当集合中的元素较少时，用列举法表示方便．例：x2－3x＋2＝0的解集可表示为{1,2}．提示：不能，由集合元素的互异性知，可表示为{b，o，k}．[典例示法]例1用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数集；(2)大于10的偶数集；(3)方程2x－1＋|y＋1|＝0的解集B.题目(1)集合中元素是什么？(2)中集合是有限集？(3)集合中的元素是数还是点？提示：(1)中元素是小于等于10的非负偶数；(2)中是无限集；(3)中元素是点．[解](1){0,2,4,6,8,10}．(2){12,14,16，…}．(3)只有当2x－1＝0且y＋1＝0同时成立时，等式才成立，∴x＝12，y＝－1为方程的解，即B＝{(12，－1)}．用列举法表示集合时的注意事项(1)用列举法表示集合时首先要注意元素是数、点，还是其他的对象，即先定性．(2)元素之间用“，”隔开而非“；”，若集合中的元素是点时，应将有序数对用小括号括起来表示一个元素．(3)元素不能重复且无遗漏．【跟踪训练1】用列举法表示下列集合．(1)方程x2(x＋1)＝0的解的集合．(2)方程x＋y＝5的自然数解集．(3)若a、b为非零实数，则|a|a＋|b|b的取值集合A.[解](1){－1,0}．(2){(0,5)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(5,0)}．(3)当a0且b0时，|a|a＋|b|b＝1＋1＝2.当a0且b0时，|a|a＋|b|b＝1＋(－1)＝0.当a0且b0时，|a|a＋|b|b＝(－1)＋1＝0.当a0且b0时，|a|a＋|b|b＝(－1)＋(－1)＝－2.又∵集合中元素具有互异性，∴A＝{－2,0,2}．知识点二用描述法表示集合[核心解读]1．文字描述法：将说明元素性质的一句话写在花括号内表示集合的方法，如三角形的全体组成的集合可表示为{x|x是三角形}．2．符号描述法：将集合中元素的性质用数学符号表示出来，一般格式是：{x|p(x)}，其中x是所有元素的代表，p(x)表示共同特征．3．适用范围：通常适用于元素个数较多而元素的排列又不呈现明显规律的集合，或者根本就不能一一列举的集合．4．关键：找到集合中的元素及所具有的共同特征．5．特点：能抓住集合的本质，清楚所要表示集合的属性．思考1用列举法能表示不等式x－73的解集吗？为什么？思考2不等式x－73的解集我们可以用集合所含元素的共同特征来表示，那么不等式x－73的解集中所含元素的共同特征是什么？提示：不能．由不等式x－73，得x10，由于比10小的数有无数个，用列举法是列举不完的，所以不能用列举法．提示：元素的共同特征为x∈R，且x－73，即x10.[典例示法]例2用描述法表示下列集合：(1)所有正偶数组成的集合；(2)在平面直角坐标系中，第一、三象限点的集合；(3)被3除余1的整数组成的集合．题目中各集合里元素的共同特征是什么？提示：(1)中元素的共同特征是正偶数．(2)中元素的共同特征是点的横纵坐标同号．(3)中元素的共同特征是除以3余1.[解](1)正偶数都能被2整除，所以正偶数可以表示为x＝2n(n∈N*)的形式，于是这个集合可以表示为{x|x＝2n，n∈N*}．(2)第一、三象限中点(x，y)满足xy0，于是这个集合可以表示为：{(x，y)|xy0}．(3)被3除余1的整数可写成3k＋1(k∈Z)的形式，∴所求的集合为：{x|x＝3k＋1，k∈Z}．用描述法表示集合时的模式(1)用描述法表示集合，常用模式是{x|p(x)}，其中x是集合的代表元素，p(x)为集合中元素所具有的共同特征．要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确．(2)在描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．【跟踪训练2】下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们各自的含义是什么？(2)它们是不是相同的集合？[解](1)集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，满足条件y＝x2＋1中的x∈R，所以实质上{x|y＝x2＋1}＝R；集合②的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以实质上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足y＝x2＋1的数对(x，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y＝x2＋1，所以{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．(2)由(1)中三个集合各自的含义知，它们是不同的集合．知识点三列举法和描述法的综合运用[核心解读]1．择优原则：列举法与描述法各有优点，应根据具体问题确定采用哪种表示法，一般遵循最简的原则，另外当集合中元素较多或有无限个时，不宜采用列举法．2．互化策略(1)列举法转化为描述法：明确集合中元素的公共属性，把握代表元素是什么，满足什么条件，即可用描述法的形式表示．(2)描述法转化为列举法：对于元素个数有限或元素呈一定规律的，可以用列举法表示．思考1列举法和描述法给出集合，怎样快速把握集合特征和含义？思考2形如ax2＋bx＋c＝0的方程根的个数怎样判断？提示：(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．(2)若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键．提示：(1)a＝0时，原方程可化为bx＋c＝0的形式，再根据b的取值讨论方程解的个数：①若b≠0，则方程有一个实数根为x＝－cb；②若b＝0，c＝0，则任意一个实数均为方程的实根；③若b＝0，c≠0，则方程无实数根．(2)a≠0，则需根据Δ的范围确定方程解的个数；①若Δ＝b2－4ac0，则方程有两个不等实数根；②若Δ＝b2－4ac＝0，则方程有两个相等实数根；③若Δ＝b2－4ac0，则方程没有实数根．[典例示法]例3集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.集合A中元素的含义是什么？A中元素的个数怎样限定？需要对k进行讨论吗？提示：A中元素是方程的根．个数由k限定，k＝0时一次方程至多有1个根，k≠0时，二次方程由Δ决定根的个数，需对k进行讨论．[解](1)当k＝0时，原方程为16－8x＝0.∴x＝2，此时A＝{2}．(2)当k≠0时，由集合A中只有一个元素，∴方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根．即Δ＝64－64k＝0，即k＝1.从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}．综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时A＝{4}．[互动探究]把本例条件“有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k取值范围的集合．[解]由题意可知方程kx2－8x＋16＝0有两个不等的实根．∴k≠0Δ＝64－64k＞0解得k＜1且k≠0.所以k的取值范围集合为{k|k＜1且k≠0}．分类讨论思想在集合中的应用(1)①本题在求解过程中，常因忽略讨论k是否为0而漏解．②由kx2－8x＋16＝0是否为一元二次方程而分k＝0和k≠0展开讨论，从而做到不重不漏．(2)解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点．【跟踪训练3】设集合B＝x∈N62＋x∈N(1)试判断元素1,2与集合B的关系；(2)用列举法表示集合B.[解](1)当x＝1时，62＋1＝2∈N.当x＝2时，62＋2＝32∉N.所以1∈B,2∉B.(2)∵62＋x∈N，x∈N，∴2＋x只能取2,3,6，∴x只能取0,1,4.∴B＝{0,1,4}．[名师点评]1.研究一个集合时，首先应看集合元素的表示形式，再看此集合元素的公共属性．2.集合表示方法的变换过程：列举法通过对元素规律的观察概括出特征性质根据特征性质找出具体元素描述法