高中数学 3-2第2课时一元二次不等式及其解法精品课件同步导学 新人教A版必修5

第三章不等式第二节一元二次不等式及其解法第二课时一元二次不等式及其解法习题课•1.掌握一元二次不等式的解法．•2.会解与一元二次不等式有关的恒成立问题和实际应用问题．•1.一元二次不等式的应用是本课的热点．•2.多以解答题形式考查，属中低档题目．•若关于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，求实数a的取值范围．•题目给出的不等式疑似一元二次不等式，需讨论a＝0和a≠0两种情况．当a≠0时，由二次函数的图象可知，要使不等式在R上恒成立，只需a＞0且Δ＜0.[解题过程]当a＝0时，原不等式可化为2x＋2＞0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；当a≠0时，要使原不等式的解集为R，只需a＞0Δ＝22－4×2a＜0，解得a＞12.综上，所求实数a的取值范围为12，＋∞.[题后感悟]此类问题的解决方法可总结如下：(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立⇔a＞0Δ＜0；(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立⇔a＜0Δ＜0.•1.本例中若把不等式改为：“(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0在R上恒成立”，求a的取值范围．解析：(1)当a2－1＝0，即a＝±1时，若a＝1，则原不等式为－10，恒成立．若a＝－1，则原不等式为2x－10，即x12，不符合题目要求，舍去．(2)当a2－1≠0，即a≠±1时，原不等式的解集为R的条件是a2－10Δ＝a－12＋4a2－10，解得－35a1.综上所述，当－35a≤1时，原不等式的解为全体实数．若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是x－13≤x≤2，求不等式cx2＋bx＋a0的解集．•由题目可获取以下主要信息：•①不等式中含有参数；•②不等式解集已知．•解答本题可先判断二次项系数的符号，然后根据三个二次之间的关系求字母的取值，再进一步求解．[解题过程]方法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为x－13≤x≤2知a0，又－13×2＝ca0，则c0.又－13，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根．∴－ba＝53，∴ba＝－53，又ca＝－23，∴b＝－53a，c＝－23a.∴不等式变为－23ax2＋－53ax＋a0，即2ax2＋5ax－3a0，又∵a0，∴2x2＋5x－30.∴所求不等式的解集为x－3x12.方法二：由已知得a0且－13＋2＝－ba，－13×2＝ca知c0.设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－bc，x1·x2＝ac，其中ac＝1－13×2，－bc＝－baca＝－13＋2－13×2＝1－13＋12.∴不等式cx2＋bx＋a0(c0)的解集为x－3x12.[题后感悟](1)给出一元二次不等式的解集，则可知二次项的符号和一元二次方程的两根，由根与系数的关系可知a，b，c之间的关系．(2)如果对一元二次不等式解的意义不理解，将不能由y＝ax2＋bx＋c(a≥0)的解集得出ax2＋bx＋c＝0的两根为－13和2，即使知道，还有同学不能通过解集的形式得出a0，又不能通过－13×2＝－ca得出c0，导致错解．2.已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为x－12＜x＜13，求2x2＋bx＋a＜0的解集．解析：∵ax2＋bx＋2＞0的解为－12＜x＜13，∴－12，13是方程ax2＋bx＋2＝0的两实根．由根与系数的关系得－12＋13＝－ba－12×13＝2a，解得a＝－12b＝－2.∴2x2＋bx＋a＜0⇔2x2－2x－12＜0⇔x2－x－6＜0⇔(x－3)(x＋2)＜0⇔－2＜x＜3.∴2x2＋bx＋a＜0的解集为{x|－2＜x＜3}．•汽车在行驶时，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速40km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：•s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.•试判断甲、乙两车有无超速现象，并根据所学数学知识给出判断的依据．•由题目可获取以下主要信息：•①限速40km/h；②刹车距离s甲＞12m，s乙＞10m；•③刹车距离s甲、s乙与车速关系确定．•解答本题可将刹车距离直接代入关系式分别得到一个关于x的一元二次不等式，解此不等式即可求出x的范围，即汽车刹车前的车速范围．•[规范作答]由题意，对于甲车，有0.1x＋0.01x2＞12，2分•即x2＋10x－1200＞0.•解得x＞30或x＜－40(舍去).4分•这表明甲车的车速超过30km/h，但根据题意刹车距离略超过12m，由此估计甲车不会超过限速40km/h.6分•对于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10，8分•即x2＋10x－2000＞0.•解得x＞40或x＜－50(舍去).10分•这表明乙车的车速超过40km/h，超过规定限速.12分•[题后感悟](1)实际应用问题是新课标下考查的重点，突出了应用能力的考查，在不等式应用题中常以函数模型出现，如一元二次不等式应用题常以二次函数为模型．解题时要弄清题意，准确找出其中不等关系再利用不等式解法求解．•(2)解不等式应用题，一般可按如下四步进行：•①阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等关系；•②引进数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)；•③解不等式(或求函数最值)；•④回扣实际问题．•3.国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策，现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元(叫做税率R%)，则每年的销售将减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元，问R应怎样确定？•解析：设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收的税金为70x·R%万元，其中x＝100－10R.由题意，得70(100－10R)R%≥112，整理，得R2－10R＋16≤0.•∵Δ＝36＞0，方程R2－10R＋16＝0的两个实数根为x1＝2，x2＝8.然后画出二次函数y＝R2－10R＋16的图象，由图象得不等式的解集为{R|2≤R≤8}．•答：当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元．•一元二次不等式的解集与二次函数和二次方程之间的关系：•(1)从函数观点看(以a0的二次函数为例)•一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的值满足y0时的自变量x组成的集合，同时也是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合，而一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标．(2)从方程观点看设一元二次不等式ax2＋bx＋c0和ax2＋bx＋c0(a0)的解集分别为{x|xx1或xx2}、{x|x1xx2}(x1x2)，则有x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ca，即不等式解集的端点值是相应方程的根．•(3)当一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解集为R时，意味着ax2＋bx＋c0恒成立．由图象可知：关于这类恒成立问题只需考虑开口方向和判别式Δ即可，而不必利用最值转化的思路求解．•[注意]解一元二次不等式时，要将二次不等式以及与其对应的二次方程、二次函数的图象联系起来，真正做到“数形结合”．•◎若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－40对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【错解】不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－40对x∈R恒成立，则只需a－20，Δ0，即a2，4a－22－4a－2－40，解得－2a2.•【错因】当a－2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式．【正解】因为a＝2时，原不等式为－40，所以a＝2时成立．当a≠2时，由题意得a－20，Δ0，即a2，4a－22－4a－2－40，解得－2a2.综上两种情况可知－2a≤2.