《高考风向标》2012年高考数学一轮复习 第九章 第1讲 数列的基本概念精品课件 文

第九章数列1．数列的概念和简单表示法(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)．(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数．2．等差数列、等比数列(1)理解等差数列、等比数列的概念．(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式．(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．(4)了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．有关数列的试题在每年的高考试题中一般是1大1小(或2)小，超过本章在教学中所占课时比例，这是因为数列知识是考查学生转化与化归、分类讨论、推理论证及探索问题能力的重要题源，容易命制背景新颖的试题，较好体现高考的选拔能力，对数列知识与思想的考查，不会减弱，只会加强，并注重等差数列与一次函数、等比数列与指数函数等结合形成压轴题进行考查．第1讲数列的基本概念1．数列的定义按照_____________________称为数列，数列中的每个数称为该数列的项．2．数列的表示方法_______、_______、_______．一定顺序排列的一列数解析法图像法列表法3．数列的分类有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列．(1)递增数列：对于任何n∈N*，均有_______.(2)递减数列：对于任何n∈N*，均有_______.(3)摆动数列：例如：－1,1，－1,1，－1，….(4)常数数列：例如：6,6,6,6，….4．通项公式如果数列{an}的第n项与_______之间可以用一个式子表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即an＝f(n).an+1anan＋1an序号n5．递推公式如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an-1)或an＝f(an-1，an-2)，那么这个式子叫做数列{an}的递推公式．如数列{an}中，a1＝1，an＝2an+1，其中an＝2an+1是数列{an}的递推公式．6．数列的前n项和与通项的公式(1)Sn＝_______________.(2)an＝___________________.a1＋a2＋…＋anS1n＝1Sn－Sn－1n≥21．已知数列的{an}的前四项分别为1,0,1,0，则下列各式可作为数列{an}的通项公式的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个C①an＝12[1＋(－1)n＋1]；②an＝sin2nπ2；③an＝12[1＋(－1)n＋1]＋(n－1)(n－2)；④an＝1－cosnπ2(n∈N*)；⑤an＝1n为正偶数0n为正奇数；⑥an＝1－－1n＋122．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．28B．32C．33D．273．已知数列{an}的前六项为1,1＋2,1＋6,1＋12,1＋20，…，则该数列的一个通项公式()A．1＋n(n＋1)C．1＋n(n－1)B．1＋2nD．以上都不是4．下列对数列的理解有四种：①数列可以看成一个定义在N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数；②数列的项数是有限的；BC③数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是唯一的．其中说法正确的是______(填序号)．5．图9－1－1是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖_______块(用含n的代数式表示)．图9－1－1①③4n＋8考点1通项公式与递推公式例1：已知数列{an}满足an+1＝2an＋1，n∈N*.(1)若a1＝－1，写出此数列的前4项，并推测数列的通项公式；(2)若a1＝1，写出此数列的前4项，并推测数列的通项公式．解析：(1)a1＝a2＝a3＝a4＝－1，可推测数列{an}的通项公式an＝－1.(2)a1＝1，a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15.可推测数列{an}的通项公式为an＝2n－1.数列的递推公式是由递推关系式(递推)和首项(基础)两个因素所确定的，即便递推关系完全一样，而首项不同就可得到两个不同的数列；适当配凑是本题进行归纳的前提，加强类比是探索某些规律的常用方法之一．【互动探究】1．(1)数列53，108，17a＋b，a－b24，…中，有序实数对(a，b)可以是___________.(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，如图9－1－2：412，－112图9－1－2他们研究过图9－1－2(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图9－1－2(2)中的1,4,9,16…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A．289B．1024C．1225D．1378考点2通项公式与前n项和公式例2：已知数列{an}的前n项和为Sn.按照下列条件求数列的通项公式．(1)若Sn＝2n2－n，求数列{an}的通项公式；(2)若Sn＝n2＋n＋1，求数列{an}的通项公式．C解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝2n2－n－2(n－1)2＋(n－1)＝4n－3.【互动探究】2．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为______；数列{nan}中数值最小的项是第__项.经检验n＝1时，a1＝1也适合an＝4n－3.数列{an}的通项公式是an＝4n－3.(2)当n＝1时，a1＝S1＝3，当n≥2时，an＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝2n.∴数列{an}的通项公式是an＝3n＝12nn≥2.2n－113错源：没有注意数列的单调性与函数单调性的区别例3：已知单调数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N*)，求k的取值范围．数，其定义域为正整数集，若数列{an}递增，则必有≤1，故误解分析：解本题易出现的错误是由an是关于n的二次函k≤2.事实上，本题解法没有注意单调数列与单调函数的区别，应根据单调数列的概念(判断an+1与an的大小)解题．k2正解：∵an＝n2－kn(n∈N*)，∴an+1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k，∵数列{an}单调递增，∴an+1－an0，即2n＋1－k0恒成立，∴k2n＋1，则k3.纠错反思：函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别,即数列所对应的函数单调,则数列一定单调,反之,若数列单调,其所对应的函数不一定单调,关键是数列是定义域为正整数集的特殊函数.所以,数列的单调性一般要通过比较an+1与an的大小来判断,若an+1an,则数列为递增数列,若an+1an,则数列为递减数列.【互动探究】3．已知数列{an}的通项公式是an＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n，试问{an}是否为单调数列，为什么？解：an＋1－an＝1n＋1＋1＋1n＋1＋2＋…＋12n＋1－1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＝1n＋2＋1n＋3＋…＋12n＋2－1n＋1＋1n＋2＋…＋12n例4：某个QQ群中有n名同学在玩一个数字哈哈镜游戏，这些同学依次编号为1,2，…，n.在哈哈镜中，每个同学看到的像用数对(p，q)(pq)表示，规则如下：若编号为k的同学看到像为(p，q)，则编号为k＋1的同学看到像为(q，r)，且q－p＝＝12n＋1＋12n＋2－1n＋1＝4n＋32n＋12n＋2－1n＋1＝4n＋3－4n＋22n＋12n＋2＝12n＋12n＋2＞0.即an＋1＞an，n∈N*，∴数列{an}为递增数列．k(p、q、r∈N*)．已知编号为1的同学看到的像为(5,6)．(1)请根据以上规律分别写出编号为2和3的同学看到的像；(2)求编号为n的同学看到的像．解析：(1)由题意规律，编号为2的同学看到的像是(6,8)；编号为3的同学看到的像是(8,11)．(2)设编号为n的同学看到的像是(bn，an)，则b1＝5，a1＝6，当n≥2时，bn＝an-1.由题意an－bn＝n，∴an－an-1＝n(n≥2)．∴an－a1＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an-1)＝2＋3＋…＋n＝n－12＋n2.an＝n－12＋n2＋6＝n2＋n＋102.bn＝an－n＝n2－n＋102.经检验n＝1时，上式也成立．∴编号为n的同学看到的像是n2－n＋102，n2＋n＋102.【互动探究】4．会变形的“KOKO岛”，前三天的形状如图9－1－3，每两条线段的交点称为“KOKO岛”的顶点，第一天的顶点数为12，第二天的顶点数为20，按照这样的变化规律，则第n(n∈N*)天的顶点数为()图9－1－3CA．n＋n2C．(n＋2)＋(n＋2)2B．(n＋1)＋(n＋1)2D．(n＋3)＋(n＋3)2解析：第一天的顶点数为3＋32，第二天的顶点数为4＋42，归纳出第n天的顶点数(n＋2)＋(n＋2)2.1．根据数列的前几项求其通项公式时，需要仔细观察分析数列的特征：(1)分数中的分子与分母的特点．(2)相邻项的变化规律．(3)各项的符号特征．(4)拆项后的变化规律．并对此进行归纳、化归、展开联想．2．由Sn求an时利用公式an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2，注意验证a1是否包含在Sn－Sn－1的结果中，若不符合要单独列出，形如f(Sn，an，n)＝0的递推关系式，一般考虑上述公式．3．求数列中最大(最小)项的方法：(1)若an最大，则an≥an＋1an≥an－1；若an最小，则an≤an＋1an≤an－1.(2)考虑数列的单调性．