宇宙双星模型

物理建模：宇宙多星模型第四章曲线运动万有引力与航天1.模型特点解题模板物理建模宇宙双星模型模型特点绕公共圆心转动的两个星体称为“双星”(1)“向心力等大反向”--向心力由它们间的万有引力提供,大小为F向＝GMm/L2,方向相反(2)“周期、角速度相同”--两星体做匀速圆周运动的周期、角速度相等,即ω1＝ω2，T1＝T2(3)“半径反比”--两星体绕同一圆心做圆周运动,圆心在两颗行星的连线上,且r1＋r2＝L，两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比．r1r2L【例4】2015年4月,科学家通过欧航局天文望远镜在一个河外星系中,发现了一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统,如图所示。这也是天文学家首次在正常星系中发现超大质量双黑洞。这对验证宇宙学与星系演化模型、广义相对论在极端条件下的适应性等都具有十分重要的意义。我国今年底也将发射全球功能最强的暗物质探测卫星。若图中双黑洞的质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动。根据所学知识，下列选项正确的是()A.双黑洞的角速度之比ω1∶ω2＝M2∶M1B.双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1C.双黑洞的线速度之比v1∶v2＝M1∶M2D.双黑洞的向心加速度之比a1∶a2＝M1∶M2根据双星模型的特点分析本题各物理量的比值转解析【拓展延伸】在【例4】中若双黑洞间的距离为L，其运动周期为T，引力常量为G，则双黑洞总质量为()A.GL34π2T2B.4π2L33GT2C.4π2L3GT2D.4π2T3GL2解析设双黑洞质量分别为M1和M2，绕连线上O点做匀速圆周运动的半径分别为r1、r2，则有r1＋r2＝L。由万有引力提供向心力得GM1M2L2＝M1(2πT)2r1＝M2(2πT)2r2，得M2＝4π2GT2r1L2，M1＝4π2GT2r2L2，总质量M1＋M2＝4π2L3GT2，选项C正确。答案C解析显隐(二)宇宙三星模型(1)如图4­5­8所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：Gm2r2＋Gm22r2＝ma两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。图4­5­8物理建模宇宙三星模型(2)如图4­5­9所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供。Gm2L2×2×cos30°＝ma其中L＝2rcos30°。三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。图4­5­95.[三星模型](2015·安徽理综，24)由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式；三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)。若A星体质量为2m、B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：图5(1)A星体所受合力大小FA；(2)B星体所受合力大小FB；(3)C星体的轨道半径RC；(4)三星体做圆周运动的周期T。解析(1)由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为FBA＝GmAmBr2＝G2m2a2＝FCA①方向如图所示则合力大小为FA＝FBAcos30°＋FCAcos30°＝23Gm2a2②(2)同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为FAB＝GmAmBr2＝G2m2a2③FCB＝GmcmBa2＝Gm2a2④方向如图所示由余弦定理得合力FB＝F2AB＋F2CB－2FABFCBcos120°＝7Gm2a2⑤(3)由于mA＝2m，mB＝mC＝m通过分析可知，圆心O在BC的中垂线AD的中点则RC＝34a2＋12a2＝74a⑥(4)三星体运动周期相同，对C星体，由FC＝FB＝7Gm2a2＝m(2πT)2RC⑦可得T＝πa36m⑧答案(1)23Gm2a2(2)7Gm2a2(3)74a(4)πa36m(三)宇宙四星模型(1)如图4­5­11所示，四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动，Gm2L2×2×cos45°＋Gm22L2＝ma，其中r＝22L。四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。图4­5­11物理建模宇宙四星模型(2)如图4­5­12所示：三颗质量相等的行星位于正三角形的三个顶点，另一颗恒星位于正三角形的中心O点，三颗行星以O点为圆心。绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动。Gm2L2×2×cos30°＋GMmr2＝ma。其中L＝2rcos30°。外围三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小均相等。图4­5­12[典例3]宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于宇宙四星系统，下列说法错误的是()A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B．四颗星的轨道半径均为a2C．四颗星表面的重力加速度均为GmR2D．四颗星的周期均为2πa2a4＋2Gm解析【备选】(2013·山东卷，20)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为()．A.n3k2TB.n3kTC.n2kTD.nkT对m恒星：GMmL2＝m2πT2·r对M恒星：GMmL2＝M2πT2(L－r)审题设疑1、此双星满足什么物理规律？2、双星质量改变后，原表达式要进行哪些修改？区分开星体间距与轨道半径的不同转解析3.规律方法双星问题的“两等”“两不等”规律方法(1)双星问题的“两等”：①它们的角速度相等．②双星受到的向心力大小总相等．(2)“两不等”：①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，它们的轨道半径之和等于它们之间的距离．②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等．【变式训练4】宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用相互绕转，称之为双星系统。在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统。设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图5所示。若AOOB，则()A．星球A的质量一定大于星球B的质量B．星球A的线速度一定大于星球B的线速度C．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大D．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大4.跟踪训练【跟踪训练】银河系的恒星中大约14是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r.已知引力常量为G，由此可求出S2的质量为()A.4π2r2（r－r1）GT2B.4πr21GT2C.4π2r2GT2D.4π2r2r1GT2解析：取S1为研究对象，S1做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得Gm1m2r2＝m12πT2r1，得m2＝4π2r2r1GT2，所以选项D正确．答案：D解析显隐【跟踪训练】宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动而不至因万有引力的作用吸引到一起．(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比；(2)设两者的质量分别为m1和m2，两者相距L，试写出它们角速度的表达式．转解析点评：在我们通常研究的卫星绕地球或行星绕太阳运行问题中，卫星到地球中心或行星到太阳中心间距与它们的轨道半径大小是相等的，但在宇宙双星问题中，行星间距与轨道半径是不同的，这点要引起重视．5.真题演练【真题】(2012·重庆卷，18)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O点运动的()．A．轨道半径约为卡戎的1/7B．角速度大小约为卡戎的1/7C．线速度大小约为卡戎的7倍D．向心力大小约为卡戎的7倍转解析双星问题提示:两星间的万有引力分别给两星提供做圆周运动的向心力，且两星的角速度相等.