(lecture_09_2)二分图及其应用

2020/2/141ACM程序设计计算机学院刘春英2020/2/142今天，请个假,下周调课(西安)2020/2/143每周一星（8）：050721202020/2/144第九讲二分图及其应用（BipartiteGraph&Applications）2020/2/145主要内容什么是二分图二分图的最大匹配匈牙利算法二分图的最小顶点覆盖DAG图的最小路径覆盖二分图的最大独立集处理技巧2020/2/146什么是二分图？如果一个图的顶点可以分为两个集合X和Y，图的所有边一定是有一个顶点属于集合X，另一个顶点属于集合Y，则称该图为“二分图”（BipartiteGraph）2020/2/147例：婚配问题男女2020/2/148二分图的最大匹配在二分图的应用中，最常见的就是最大匹配问题，很多其他的问题都可以通过转化为匹配问题来解决。2020/2/149如何求二分图的最大匹配呢？2020/2/1410经典算法：匈牙利算法2020/2/1411/*hdoj_1150匈牙利算法月下版*/#includeiostream#includestring#includevectorusingnamespacestd;boolmark1[100],mark2[100];intlist[100];intn,m,edge,num;vectorvectorintv;booldfs(intto){registerinti,point,s=list[to];for(i=0;iv[s].size();i++){point=v[s][i];if(!mark2[point])continue;mark2[point]=false;if(list[point]==-1||dfs(point)){list[point]=s;returntrue;}}returnfalse;}voidSolve(){inti,j,point;boolflog=false;memset(mark1,true,sizeof(mark1));memset(list,-1,sizeof(list));num=0;for(i=0;in;i++){for(j=0;jv[i].size();j++)if(list[v[i][j]]==-1){mark1[i]=false;list[v[i][j]]=i;num++;if(i==0)flog=true;break;}}for(i=0;in;i++){if(mark1[i]){if(!v[i].empty()){memset(mark2,true,sizeof(mark2));for(j=0;jv[i].size();j++){point=v[i][j];if(!mark2[point])continue;mark2[point]=false;if(list[point]==-1||dfs(point)){list[point]=i;num++;break;}}}mark1[i]=false;}}if(flog||list[0]!=-1)coutnum-1endl;elsecoutnumendl;}intmain(){inti,j,s,d;while(cinn){if(n==0)break;v.clear();v.resize(n);cinmedge;for(i=0;iedge;i++){cinjsd;v[s].push_back(d);}Solve();}return0;}2020/2/1412匈牙利算法(求二分图最大匹配)谈匈牙利算法自然避不开Hall定理Hall定理：对于二分图G，存在一个匹配M，使得X的所有顶点关于M饱和的充要条件是：对于X的任意一个子集A，和A邻接的点集为T(A)，恒有：|T(A)|=|A|2020/2/1413图示（1）：男1男2女1女2女3返回2020/2/1414图示（2）：男1男2女1女2女3返回X0=男2V1={男2}V2=ΦT(V1)={女1}Y=女1V1={男2，男1}V2={女1}Y=女2M←M⊕E(P)(其中，P是从x0→y的可增广道路)2020/2/1415匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，其基本步骤为：1．任给初始匹配M；2．若X已饱和则结束，否则进行第3步；3．在X中找到一个非饱和顶点x0，作V1←{x0},V2←Φ；4．若T(V1)=V2则因为无法匹配而停止，否则任选一点y∈T(V1)\V2；5．若y已饱和则转6，否则做一条从x0→y的可增广道路P，M←M⊕E(P)，转2；6．由于y已饱和，所以M中有一条边(y,z)，作V1←V1∪{z},V2←V2∪{y}，转4；2020/2/1416图示（3）：男1男2女1女2返回X0=男2V1={男2}V2=ΦT(V1)={女1}T(V1)!=V2Y=女1V1={男2，男1}V2={女1}T(V1)=V22020/2/1417NOTE:真正求二分图的最大匹配的题目很少，往往做一些简单的变化，比如——2020/2/1418变种1：二分图的最小顶点覆盖在二分图中求最少的点，让每条边都至少和其中的一个点关联，这就是“二分图的最小顶点覆盖”。2020/2/1419实例分析2020/2/1420例：严禁早恋，违者开除！男生女生2020/2/1421例：任务安排有两台机器A和B以及N个需要运行的任务。每台机器有M种不同的模式，而每个任务都恰好在一台机器上运行。如果它在机器A上运行，则机器A需要设置为模式ai,如果它在机器B上运行，则机器A需要设置为模式bi。每台机器上的任务可以按照任意顺序执行，但是每台机器每转换一次模式需要重启一次。请合理为每个任务安排一台机器并合理安排顺序，使得机器重启次数尽量少。——hdoj_1150（LRJ_p331）——ACM/ICPCBeijing20022020/2/1422图示：结论：二分图的最小顶点覆盖数=二分图的最大匹配数a0a1a2a3a4b0b1b2b3b42020/2/1423特别说明:此题需要注意的一点，具体参见：=61&keyword=%B6%FE%B7%D62020/2/1424变种2：DAG图的最小路径覆盖用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图(DAG)G的所有顶点，这就是DAG图的最小路径覆盖问题。2020/2/1425例：空袭（AirRaid）有一个城镇，它的所有街道都是单行的，并且每条街道都是和两个路口相连。同时已知街道不会形成回路。你的任务是编写程序求最小数量的伞兵，这些伞兵可以访问（visit）所有的路口。对于伞兵的起始降落点不做限制。——hdoj_11512020/2/1426Sampleinput:43341323Output:22020/2/1427“空袭”示意图12344’3’2’1’13242020/2/1428结论：DAG图的最小路径覆盖数=节点数（n）-最大匹配数（m）关键：求二分图的最大匹配数2020/2/1429变种3:二分图的最大独立集GirlsandBoys大学二年级的时候，一些同学开始研究男女同学之间的缘分。研究者试图找出没有缘分同学的最大集。程序的结果就是要输出这个集合中学生的数量。——hdoj_10682020/2/1430输入数据格式：70:(3)4561:(2)462:(0)3:(0)4:(2)015:(1)06:(2)01输出：52020/2/143100’154326’5’4’3’2’1’6“GirlsandBoys”示意图2020/2/1432结论：二分图的最大独立集数=节点数（n）—最大匹配数（m）关键：求二分图的最大匹配数2020/2/1433AnyQuestions?2020/2/1434附：二分匹配练习题：(HDOJ)1068(二分图最大独立集=n-m)1150(二分图最小顶点覆盖=m)1151(二分图最小路径覆盖=n-m)2020/2/1435别忘了，下周调课(西安)2020/2/1436课后一定要练习！2020/2/1437ACM,天天见！