二次函数实根分布

一.函数零点一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x就做函数y=f(x)的零点.由此得出以下三个结论等价：方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点实根分布问题★一元二次方程20(0)axbxca1、当x为全体实数时的根2(1)40bac当时，方程有两个不相等的实数根2(2)40bac当时，方程有两个相等的实数根2(3)40bac当时，方程没有实数根★一元二次方程在某个区间上有实根，求其中字母系数的问题称为实根分布问题。20(0)axbxca实根分布问题一般考虑四个方面，即：（1）开口方向（2）判别式（3）对称轴（4）端点值的符号。24bac2bxa()fm2、当x在某个范围内的实根分布221212()(0)0(0),()fxaxbxcaaxbxcaxxxx设一元二次方程的两根为(1)(kk方程两根都小于为常数）02()0bkafk(2)(kk方程两根都大于为常数）02()0bkafk12(3)(xkxk为常数）()0fk112212(4)(,kxxkkk为常数）121202()0()0bkkafkfk112212(5)(,xkkxkk为常数）12()0()0fkfk1212(6),xxkk，有且只有一个根在（）内1k2k1k2k1k2k1k2k12()()0fkfk1202bkka或1121()022fkkkbka或2122()022fkkkbka或12(7)(,,,mxnpxqmnpq为常数）()0()0()0()0fmfnfpfq(8)方程有两个不相等的正根可用韦达定理表达式来书写条件002(0)0baf也可()fxx1x2x01212000xxxx()fxx1x2x0(9)方程有两个不相等的负根可用韦达定理表达式来书写条件也可002(0)0baf(10)方程有一正根一负根可用韦达定理表达式来书写：ac0也可f(0)0解：寻求等价条件例1.m为何实数值时，关于x的方程（1）有实根（2）有两正根（3）一正一负2(3)0xmxm22(1)4(3)0412062.mmmmmm，得：或1212062(2)006300mmxxmmmxx或得得：12062(3)3.030mmmxxm或得得：法一：设由已知得：2()(3)fxxmxm24(3)0(1)0612mmfmm转变为函数，借助于图像，解不等式组01f(x)x1x2x法二：212121212124(3)06-2(1)(1)0()106(1)(1)020mmmmxxxxxxmxxxx或转化为韦达定理的不等式组变式题：m为何实数值时，关于x的方程有两个大于1的根.2(3)0xmxm法三：22122=4(3)04121241212mmmmmxmmmx由求根公式，转化成含根式的不等式组解不等式组，得22622641244mmmmmmmm或变式题：m为何实数值时，关于x的方程有两个大于1的根.2(3)0xmxm222232011.xkxxkk例：（1）关于的方程有两实根，一个根小于，另一个根大于，求实数的范围12232,0,(2232)0,(1)0404.kfxkxxkkkkkkkkfk2：（）令()=由题（）0即或解2(2)(2)(21)01012.mxmxmm已知二次方程的两根分别属于（，）和（，）求的取值范围212101)(87)011221748001142mmmmmffmffm(-1)(0)()()解：由题(1(4)(2)例3.就实数k的取值，讨论下列关于x的方程解的情况：223xxk24=434333.2kkkkkyxxyk：将方程视为两曲线与相交，其交点横坐标便是方程的解，由图知：时，无解；或时，有两解；时有四个解；时有三个解解34yx24.1(0,3),(3,0).yxmxABABm例若二次函数的图像与两端点为的线段有两个不同的交点，求的取值范围223(03)3(03)1(1)40[0,3].0103103.23(0)40(3)93(1)4010(3,]3ABxyxxyxyxmxxmxmmffmm解：线段的方程为由题意得：有两组实数解整理得在上有两个不同的实根故解得故的取值范围是结论：21,(2),()()0.40()002()mnmnfmfnbacafmafnbmna（）一元二次方程有且仅有一个实根属于（）的充要条件是：一元二次方程两个实根都属于（）的充要条件是：20(0)axbxca一元二次方程在区间上的实根分布问题.22(3),4,,()0()040()0240()02,afmafnbacafnbnabacafmnmnmnmmbmn一元二次方程两个实根分别在（）两侧的充要条件是：（）一元二次方程两个实根分别在（）同一侧的充要条件是：分两类：（）在（）右侧（）在（）左侧a注：前提m,n不是方程（1）的根.例3已知函数f(x)＝|x|x＋2，如果关于x的方程f(x)＝kx2有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．【分析】f(x)＝kx2→|x|x＋2＝kx2→分x＝0，x0，x0讨论方程有解的条件→整合得结果【解】∵f(x)＝|x|x＋2，∴原方程即|x|x＋2＝kx2.(*)①x＝0恒为方程(*)的一个解．②当x0且x≠－2时，若方程(*)有解，则－xx＋2＝kx2，kx2＋2kx＋1＝0.当k＝0时，方程kx2＋2kx＋1＝0无解；当k≠0时，Δ＝4k2－4k≥0，即k0或k≥1时，方程kx2＋2kx＋1＝0有解．设方程kx2＋2kx＋1＝0的两个根分别是x1、x2，则x1＋x2＝－2，x1x2＝1k.当k1时，方程kx2＋2kx＋1＝0有两个不等的负根；当k＝1时，方程kx2＋2kx＋1＝0有两个相等的负根；当k0时，方程kx2＋2kx＋1＝0有一个负根；③当x0时，若方程(*)有解，则xx＋2＝kx2，kx2＋2kx－1＝0.当k＝0时，方程kx2＋2kx－1＝0无解；当k≠0时，Δ＝4k2＋4k≥0，即k≤－1或k0时，方程kx2＋2kx－1＝0有解．设方程kx2＋2kx－1＝0的两个根分别是x3、x4，则x3＋x4＝－2，x3x4＝－1k.当k0时，方程kx2＋2kx－1＝0有一个正根；当k≤－1时，方程kx2＋2kx－1＝0没有正根．综上可得，当k∈(1，＋∞)时，方程f(x)＝kx2有四个不同的实数解．变式迁移3已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，那么在区间[－1,3]内，关于x的方程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R且k≠－1)有4个不同的根，求k的取值范围．解：在同一坐标系内分别作出函数y＝f(x)，y＝kx＋k＋1在[－1,3]上符合条件的图象．如图所示，观察得：要使f(x)＝kx＋k＋1有4个不同的根，则－13k0.选讲（2011.浙江名校4月创新）设f(x)=ax2+bx+c(a＞b＞c),f(1)=0,g(x)=ax+b新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（1）求证：函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点；（2）设f(x)与g(x)的图象交点A、B在x轴上的射影为A1、B1，求｜A1B1｜的取值范围；课时小结：紧紧以函数图像为中心，将方程的根用图像直观的画出来，或数形结合或等价转化，将函数、方程、不等式视为一个统一整体，另外，要重视参数的分类讨论对图形的影响。