二次函数求最值(动轴定区间、动区间定轴)

二次函数在闭区间上的最值问题练习：已知函数f(x)=x2–2x–3（1）若x∈[–2，0]，求函数f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函数f(x)的最值；（3）若x∈[]，求函数f(x)的最值；25,2123,21（4）若x∈[]，求函数f(x)的最值；练习：已知函数f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值；解：画出函数在定义域内的图像如图对称轴为直线x=1由图知，y=f(x)在[–2，0]上为减函数故x=-2时有最大值f(-2)=5x=0时有最小值f(0)=-310864224681015105510150-2x=1y=x22∙x3y=x22∙x3例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0]，求函数f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函数f(x)的最值；解：画出函数在定义域内的图像如图对称轴为直线x=1由图知，y=f(x)在[2，4]上为增函数故x=4时有最大值f(4)=5x=2时有最小值f(2)=-310864224681010551015x=142y=x22∙x3y=x22∙x3例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0]，求函数f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函数f(x)的最值；（3）若x∈[],求函数f(x)的最值；25,21解：画出函数在定义域内的图像如图对称轴为直线x=1,由图知，x=时有最大值x=1时有最小值f(1)=-45253()124f10864224681010551015x=15212y=x22∙x3y=x22∙x3例1、已知函数f(x)=x2–2x–3（1）若x∈[–2，0]，求函数f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函数f(x)的最值；（3）若x∈[]，求函数f(x)的最值；25,2123,21（4）若x∈[]，求函数f(x)的最值；解：画出函数在定义域内的图像如图对称轴为直线x=1,由图知，x=时有最大值x=1时有最小值f(1)=-41213()124f1086422468101510551015x=132-12y=x22∙x3y=x22∙x3例1、已知函数f(x)=x2–2x–325,2123,21（4）x∈[]（1）x∈[–2，0]（2）x∈[2，4]（3）x∈[]10864224681015105510150-2x=1y=x22∙x3y=x22∙x310864224681010551015x=142y=x22∙x3y=x22∙x310864224681010551015x=15212y=x22∙x3y=x22∙x31086422468101510551015x=132-12y=x22∙x3y=x22∙x3思考：通过以上几题，你发现二次函数在区间[m，n]上的最值通常在哪里取到？总结：求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m，n]上上的最值或值域的一般方法是：（2）当x0∈[m，n]时，f(m)、f(n)、f(x0）中的较大者是最大值,较小者是最小值；（1）检查x0=是否属于[m，n]；ab2（3）当x0[m，n]时，f(m)、f(n)中的较大者是最大值，较小者是最小值.考点二二次函数的图象与性质(高频考点)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．(1)当a＝－1时，求函数的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．[解](1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2，其对称轴为x＝1，所以f(x)min＝f(1)＝1，f(x)max＝f(－5)＝37.(2)对称轴为x＝－a，当－a≤－5或－a≥5时，f(x)在[－5,5]上单调．所以a≥5或a≤－5.故满足条件的实数a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．练习求函数y=x2+2x+3在x[-2,2]时的最值？二次函数在闭区间上的最值问题动轴定区间、动区间定轴2.(1)若f(x)＝x2－x＋a，f(－m)＜0，则f(m＋1)的值()A．正数B．负数C．非负数D．与m有关(2)已知2x2≤3x，则函数f(x)＝x2＋x＋1的最大值为________．(3)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值．(4)已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a的值．194B思考：如何求函数y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]时的最值?解析:因为函数y=x2-2x-3=(x-1)2-4的对称轴为x=1固定不变,要求函数的最值,即要看区间[k,k+2]与对称轴x=1的位置,则从以下几个方面解决如图:1086422468101510551015x=1k+2ky=x22∙x3y=x22∙x31086422468101510551015x=1k+2ky=x22∙x3y=x22∙x31086422468101510551015x=1k+2ky=x22∙x3y=x22∙x31086422468101510551015x=1k+2ky=x22∙x3y=x22∙x3例:求函数y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]时的最值当k+2≤1即k≤-1时f(x)min=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3=k2+2k-3f(x)max=f(k)=k2-2k-31086422468101510551015x=1k+2ky=x22∙x3y=x22∙x3当k＜1＜k+2时即-1＜k＜1时f(x)min=f(1)=-4当f(k)f(k+2)时，即k2-2k-3k2+2k-3即-1k0时f(x)max=f(k)=k2-2k-3当f(k)≤f(k+2)时，即k2-2k-3≤k2+2k-3即0≤k1时f(x)max=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3=k2+2k-31086422468101510551015x=1k+2ky=x22∙x3y=x22∙x31086422468101510551015x=1k+2ky=x22∙x3y=x22∙x3当k≥1时f(x)max=f(k+2)=k2+2k-3f(x)min=f(k)=k2-2k-31086422468101510551015x=1k+2ky=x22∙x3y=x22∙x3例:求函数y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]时的最值当k≤-1时当-1k0时f(x)max=f(k)=k2-2k-3当0≤k1时f(x)max=f(k+2)=k2+2k-3f(x)min=f(1)=-4f(x)min=f(1)=-4f(x)min=f(k+2)=k2+2k-3f(x)max=f(k)=k2-2k-3当k≥1时f(x)max=f(k+2)=k2+2k-3f(x)min=f(k)=k2-2k-31086422468101510551015x=1k+2ky=x22∙x3y=x22∙x31086422468101510551015x=1k+2ky=x22∙x3y=x22∙x31086422468101510551015x=1k+2ky=x22∙x3y=x22∙x31086422468101510551015x=1k+2ky=x22∙x3y=x22∙x3例:求函数y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]时的最值评注：例1属于“轴定区间动”的问题，看作动区间沿x轴移动的过程中，函数最值的变化，即动区间在定轴的左、右两侧及包含定轴的变化，要注意开口方向及端点情况。1086422468101510551015x=1k+2ky=x22∙x3y=x22∙x31086422468101510551015x=1k+2ky=x22∙x3y=x22∙x31086422468101510551015x=1k+2ky=x22∙x3y=x22∙x31086422468101510551015x=1k+2ky=x22∙x3y=x22∙x3练习：若x∈，求函数y=x2+ax+3的最小值：11xxO1xy-1练习：若x∈，求函数y=x2+ax+3的最小值：11xx-11Oxy练习：若x∈，求函数y=x2+ax+3的最小值：11xx-11Oxy练习：若x∈，求函数y=x2+ax+3的最小值：11xxOxy1-1Oxy1-1Oxy1-1当a-2时f(x)min=f(1)=4+a当-2≤a2时2min324aaff当a≥2时f(x)min=f(-1)=4-a练习：若x∈，求函数y=x2+ax+3的最小值：11xxOxy1-1Oxy1-1Oxy1-1评注：此题属于“轴动区间定”的问题，看作对称轴沿x轴移动的过程中,函数最值的变化,即对称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定区间上变化情况,要注意开口方向及端点情况。2练习:已知x2+2x+a≥4在x∈[0，2]上恒成立，求a的值。-1Oxy解:令f(x)=x2+2x+a它的对称轴为x=－1，∴f(x)在[0，2]上单调递增，∴f(x)的最小值为f(0)=a，即a≥4课堂小结1.闭区间上的二次函数的最值问题求法2.含参数的二次函数最值问题：轴动区间定轴定区间动核心：区间与对称轴的相对位置注意数形结合和分类讨论1.已知y=－x2+ax+3，x∈[－1,1]，求y的最大值练一练已知函数当时，求函数的最大值.22-)(22++=aaxxxf3,1x2、