2019版高考数学(课标版 文科)一轮 空间几何体的表面积和体积

第八章立体几何高考文数§8.2空间几何体的表面积和体积知识清单考点一空间几何体的表面积1.多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积之和,也就是展开图的面积.2.旋转体的表面积考点二空间几何体的体积1.柱体、锥体、台体、球体的体积2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 3.关于空间几何体体积的常用结论(1)相同的几何体的体积相同;(2)一个组合体的体积等于它的各部分体积之和;(3)等底面面积且等高的两个同类几何体的体积⑨相等.方法1空间几何体表面积的求解方法1.求多面体的表面积时,把各个面的面积相加即可.2.求旋转体(球除外)的表面积时,将旋转体(球除外)展成平面图形求其面积,注意弄清楚它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系.3.求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割或补形成基本的柱、锥、台体.先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差获得所求几何体的表面积.方法技巧 A.20πB.24πC.28πD.32π解题导引三视图 直观图 选用公式求其表面积例1(2016课标全国Ⅱ,7,5分)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为 (C)解析由三视图知圆锥的高为2 ,底面半径为2,则圆锥的母线长为4,所以圆锥的侧面积为 ×4π×4=8π.圆柱的底面积为4π,圆柱的侧面积为4×4π=16π,从而该几何体的表面积为8π+16π+4π=28π,故选C.312空间几何体体积的求解方法1.公式法:当所给几何体是常见的柱、锥、台等规则的几何体时,可以直接代入各自几何体的体积公式进行计算.2.割补法:求不规则几何体的体积时,可以将所给几何体分割成若干个常见几何体,分别求出这些几何体的体积,从而得出所求几何体的体积.3.等体积转化法:利用三棱锥的特性,即任意一个面都可以作为底面,从而进行换底换高计算.此种方法充分体现了数学的转化思想,在运用过程中要充分注意距离之间的等价转化.方法2A.60B.30C.20D.10例2(2017北京,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 (D)解题导引由几何体的三视图还原其直观图 观察图形选择公式进行求解 得结果解析根据三视图将三棱锥P-ABC还原到长方体中,如图所示,∴VP-ABC= × ×3×5×4=10.故选D. 1312例3(2016宁夏银川一中月考,15)已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1的中点,则四棱锥C1-B1EDF的体积为.解题导引解法一:求四棱锥C1-B1EDF的高及其底面积 利用棱锥的体积公式求出体积解法二:将四棱锥C1-B1EDF分成两个三棱锥(B1-C1EF和D-C1EF) 分别求出两个三棱锥的体积 求出四棱锥C1-B1EDF的体积解析解法一:如图所示,连接A1C1,B1D1交于点O1,连接B1D,EF,过O1作O1H⊥B1D于H. 易知EF∥A1C1,且A1C1⊄平面B1EDF,EF⊂平面B1EDF,所以A1C1∥平面B1EDF.所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离.易知平面B1D1D⊥平面B1EDF,又平面B1D1D∩平面B1EDF=B1D,所以O1H⊥平面B1EDF,所以O1H的长等于四棱锥C1-B1EDF的高.因为△B1O1H∽△B1DD1,所以O1H= = a.所以 =  ·O1H= × ·EF·B1D·O1H= × · a· a· a= a3.解法二:连接EF,B1D.设B1到平面C1EF的距离为h1,D到平面C1EF的距离为h2,则h1+h2=B1D1= a.由题意得, = + = · ·(h1+h2)= a3.1111BODDBD6611CBEDFV131BEDFS四边形13121312236616211CBEDFV11BCEFV1DCEFV131CEFS16答案 a316与球有关的切、接问题的求解方法与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的各个顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径;球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面解题;球与多面体的组合,通常过多面体的一条侧棱和球心、“切点”或“接点”作出截面图进行解题.例4(2016课标全国Ⅲ,11,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是 (B)A.4πB. 92方法3C.6πD. 323解题导引求出△ABC的内切圆半径r 比较底面△ABC内切圆的直径与柱体的高的大小 两者较小的为直三棱柱内切球直径的最大值 利用球的体积公式求得V的最大值解析易得AC=10.设底面△ABC的内切圆的半径为r,则 ×6×8= ×(6+8+10)·r,所以r=2,因为2r=43,所以最大球的直径2R=3,即R= .此时球的体积V= πR3= π.故选B.1212324392例5(2017天津,11,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.解题导引由正方体表面积得正方体棱长 得到外接球半径 代入球的体积公式得结果解析设正方体的棱长为a,球的半径为R,由题意可知6a2=18,所以a= ,由题意知R= a= ,因此这个球的体积V= πR3= π× = π.33232434333292答案 π92