向量与矩阵的范数

1/35计算方法三⑤3.5向量与矩阵的范数一、.向量范数：对n维实空间Rn中任一向量X，按一定规则有一确定的实数与其相对应，该实数记为||X||，若||X||满足下面三个性质：(1)(非负性)||X||0，||X||=0当且仅当X=0。(2)(齐次性)对任意实数，||X||=||||X||。(3)(三角不等式)对任意向量YRn，||X+Y||||X||+||Y||则称该实数||X||为向量X的范数2/35计算方法三⑤几种常用的向量范数：设X=(x1,x2,...,xn)T（1）向量的1—范数：||...||||||||||2111nniixxxxX（2）向量的2—范数：22221122...||||nniixxxxX（3）向量的∞—范数：||max||||1inixX（4）向量的p—范数：pnipipxX1||||||(1≤p≤∞)3/35计算方法三⑤例：设x=(1,-4,0,2)T求它的向量范数nkkxX11niixX122||||||max||||1inixXpnipipxX1||||||=721=4ppp241注：前三种范数都是p—范数的特殊情况。其中ppXX||||lim||||4/35计算方法三⑤向量范数的连续性:定理3.3设f(X)=||X||为Rn上的任一向量范数,则f(X)为X的分量x1,x2,…,xn的连续函数.定理3.4若||X||p与||X||q为Rn上任意两种范数，则存在C1，C20，使得对任意X∈Rn，都有：C1||X||p≤||X||q≤C2||X||p（证明略）注：同样有下列结论：存在C3,C40使得：C3||X||q≤||X||p≤C4||X||q向量范数的等价性注：上述性质，称为向量范数的等价性。也就是说，Rn上任意两种范数都是等价的。在讨论向量序列的收敛性时要用到向量范数的等价性。5/35计算方法三⑤向量序列的收敛问题定义：假定给定了Rn空间中的向量序列X(1),X(2),...,X(k),...，简记为{X(k)}，其中X(k)=(x1(k),x2(k),...,xn(k))T，若X(k)的每一个分量xi(k)都存在极限xi，即则称向量X=(x1，x2，...，xn)T为向量序列{X(k)}的极限，或者说向量序列{X(k)}收敛于向量X，记为)(lim)()(kXXXXkkk或),...,2,1(lim)(nixxikik6/35计算方法三⑤knkkkxxxX21x1x2xn…………XxxxxxxXnknkkk2121(k→∞)(k→∞)7/35计算方法三⑤例：设)(2)(1)(11kkkxxkkkX解:显然，当k→∞时，01)(1kxk11)(2kkxk10lim)(kkX8/35计算方法三⑤注：显然有：0limlim)()(XXXXkkkk0||||limlim)()(XXXXkkkk由无穷范数的定义知：||max||||1inixX定理3.5在空间Rn中，向量序列{X(k)}收敛于向量X的充要条件是对X的任意范数||·||，有：0||||lim)(XXkk9/35计算方法三⑤定理3.5在空间Rn中，向量序列{X(k)}收敛于向量X的充要条件是对X的任意范数||·||，有：0||||lim)(XXkk二、矩阵范数：设A是nn阶矩阵，A∈Rn×nX∈Rn，||X||为Rn中的某范数，称||AX||||X||||AX||nnRX,||X||||X||RX10maxmax为矩阵A的从属于该向量范数的范数，或称为矩阵A的算子，记为||A||。||A||=10/35计算方法三⑤几种常用的矩阵范数常用的矩阵范数有A的1—范数、A的2—范数、A的∞—范数，可以证明下列定理:定理3.6设A∈Rn×n，X∈Rn，则||max||||||||max||||)1(11110||||1niijnjXRXaXAXAn(又称为A的列范数);(||||||||max||||)2(max220||||2）AAXAXATXRXn(λ为ATA的特征值中绝对值最大者)||max||||||||max||||)3(110||||njijniXRXaXAXAn(又称为A的行范数)列元素绝对值之和的最大值行元素绝对值之和的最大值11/35计算方法三⑤例：设A=4321求A的各种范数解：||A||1=6，||A||∞=746.522115||||2A20141410'AA|λE-A’A|=0λ2-30λ+4=0niijnjFaA121——弗罗贝尼乌斯(Frobenius)范数简称F范数477.530||||FA注：12/35计算方法三⑤n1i2ijn1jFTmax2ni1n1iijnj11)(λ行范数列范数aAAAAaAaAaaaaaaaaaAn1jijnnn2n12n22211n1211maxmax设弗罗贝尼乌斯(Frobenius)范数简称F范数几种常用的矩阵范数：13/35计算方法三⑤Matlab中计算矩阵的范数的命令(函数)：(1)n=norm(A)矩阵A的谱范数(2范数),=A’A的最大特征值的算术根.(2)n=norm(A,1)矩阵A的列范数（1-范数）等于A的最大列之和.(3)n=norm(A,inf)矩阵A的行范数(无穷范数)等于A的最大行之和.(4)n=norm(A,'fro')矩阵A的Frobenius范数.087654321A14/35计算方法三⑤例6.计算矩阵A的各种范数12342341A=34124129n1=norm(A,1),n2=norm(A),n3=norm(A,inf)，n4=norm(A,'fro')解：A=[1,2,3,4;2,3,4,1;3,4,1,2;4,1,2,9];n1=16，n2=12.4884，n3=16，n4=13.856415/35计算方法三⑤•矩阵范数的性质：（1）对任意A∈Rn×n,有||A||≥0，当且仅当A=0时，||A||=0.（2）||λA||=|λ|||A||（λ为任意实数）（3）对于任意A、B∈Rn×n，恒有||A+B||||A||+||B||.（4）对于矩阵A∈Rn×n，X∈Rn，恒有：||AX||||A||||X||.（5）对于任意A、B∈Rn×n恒有||AB||||A||||B||16/35计算方法三⑤•谱半径：设nn阶矩阵A的特征值为i(i=1,2,3……n),则称ρ(A)=MAX|i|为矩阵A的谱半径.1in163053064A例5.求矩阵的谱半径2)A(mmAA)]([)(谱半径=A的特征值中绝对值的最大者)2()1(2AE解:17/35计算方法三⑤定理3.7设A为任意n阶方阵，则对任意矩阵范数||A||，有：ρ(A)≤||A||矩阵范数与谱半径之间的关系为:ρ(A)||A||证:设λ为A的任意一个特征值,X为对应的特征向量AX=λX两边取范数,得:||AX||=||λX||=|λ|||X|||λ|||X||=||λX||=||AX||≤||A||||X||由X≠0,所以||X||0,故有:|λ|≤||A||所以特征值的最大值≤||A||，即ρ(A)≤||A||18/35计算方法三⑤定理3.7设A为任意n阶方阵，则对任意矩阵范数||A||，有：ρ(A)≤||A||定理3.8设A为n阶对称方阵，则有:||A||2=ρ(A))()()()(||||222AAAAAATATA=A219/35计算方法三⑤矩阵序列的收敛性定义设Rn×n中有矩阵序列{A(k)|A(k)=(aij(k))}，若,,...,2,1;,...,2,1lim)(njniaaijkijk则称矩阵序列{A(k)}收敛于矩阵A=(aij)，记为AAkk)(limkkkkkaaaaA22211211a11a21a12a22如20/35计算方法三⑤kkkkkaaaaA22211211a11a21a12a222221121122211211aaaaaaaaAkkkkk则有0limlim)()(AAAAkkkk21/35计算方法三⑤关于矩阵序列收敛的性质：定义设A∈Rn×n中，称||A-B||为A与B之间的距离,其中||A||为Rn×n上的某种范数。定理3.10设A(0)，A(1)，...，A(k)，...为Rn×n上的一个矩阵序列，矩阵序列{A(k)}收敛于矩阵A的充要条件是存在A的某种范数||A||，使得：0||||lim)(AAkk即0||||limlim)()(AAAAkkkk定理3.11任意A∈Rn×n，有1)(0limAAmm(证明略)22/35计算方法三⑤三、方程组的性态和条件数——线性方程组解对系数的敏感性（误差分析）这种解依赖于方程组系数的误差A及b的问题，称为线性方程组解对系数的敏感性。对于线性方程组AX=b来说，由于观测或计算等原因，线性方程组两端的系数A和b都带有误差A和b，这样实际建立的方程组是近似方程组(A+A)(X+X)=b+b。对近似方程组求出的解是原问题的真解X加上误差X,即X+X。而X是由A及b引起的，它的大小将直接影响所求解的可靠性。23/35计算方法三⑤121001.22121xxxx120002.1001.22121xxxx00002.0b绝对误差例：方程组此方程组的准确解为x1=0,x2=-1。现将其右端加以微小的扰动使之变为：经计算可得它的解为x1=2,x2=-3.这两个方程组的解相差很大，说明方程组的解对常数项b的扰动很敏感。24/35计算方法三⑤相对误差关系式：设有方程组AX=b(A是可逆矩阵,b≠0)1）仅常数项有误差的情形:设常数项b有扰动δb,则相应的解为X+δX，即A（X+δX）=b+δbbbAA1则有这说明常数项的相对误差在解中放大了||A-1||||A||倍。bb解的相对误差常数项的相对误差25/35计算方法三⑤AAAAAAAA11111||||||||1||||||||2）仅系数矩阵有误差的情形:设方程组的系数A有扰动δA，则相应的解为X+δX，即(A+δA)(X+δX)=bAAAA11||||||||X这说明系数的相对误差在解中也放大了||A-1||||A||倍。AA26/35计算方法三⑤bbAAAA111一般情形3)常数项和系数矩阵都有误差的情形:设方程组的系数A有扰动δA，常数项b有扰动δb，则相应的解为X+δX，即可推得：与||A-1||||A||有关(A+δA)(X+δX)=b+δb27/35计算方法三⑤由上面关系式可看到，带有扰动的近似方程组中,扰动的大小直接影响着所求解的相对误差，而解的相对误差都与||A-1||||A||有关,故可作如下定义：定义：设A非奇异，称||A-1||||A||为矩阵A的条件数,记为Cond(A)，即Cond(A)