向量共线坐标表示

2.3.4平面向量共线的坐标表示1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能用向量的坐标表示判定两个向量共线,会用向量的坐标表示证明三点共线.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,当且仅当x1y2-x2y1=0时,a∥b.【做一做】下列各组向量共线的是()A.a=(-2,3),b=(4,6)B.a=(2,3),b=(3,2)C.a=(1,-2),b=(7,14)D.a=(-3,2),b=(6,-4)答案:D知识拓展1.线段中点坐标公式:设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB中点的坐标是𝑀𝑥1+𝑥22,𝑦1+𝑦22.2.若P1(x1,y1),P2(x2,y2),且𝑃1𝑃=𝜆𝑃𝑃2(𝜆≠-1),则𝑃𝑥1+𝜆𝑥21+𝜆,𝑦1+𝜆𝑦21+𝜆.1.对向量共线条件的理解剖析:(1)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),由x1y2-x2y1=0成立,可判断a与b共线;反之,若a与b共线,则它们的坐标满足x1y2-x2y1=0.(2)在讨论向量共线时,规定零向量可以与任一向量共线,故在x2y2≠0的条件下,a与b共线的条件可化为𝑥1𝑥2=𝑦1𝑦2,即两个向量共线的条件为相应坐标成比例.2.三点共线问题剖析:(1)若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则A,B,C三点共线的条件为(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0.(2)若已知三点的坐标,判断其是否共线可采用以下两种方法:①直接利用上述条件,计算(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)是否为0.②任取两点构成向量,计算出两个向量如𝐴𝐵,𝐴𝐶,再通过两个向量共线的条件进行判断.3.两个向量共线条件的表示方法剖析:已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),(1)当b≠0时,a=λb.这是几何运算,体现了向量a与b的长度及方向之间的关系.(2)x1y2-x2y1=0.这是代数运算,用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”,从而减少未知数个数,而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征.(3)当x2y2≠0时,𝑥1𝑥2=𝑦1𝑦2,即两个向量的相应坐标成比例.通过这种形式较容易记忆向量共线的坐标表示,而且不易出现搭配错误.题型一题型二题型三题型四题型一已知向量共线,求参数的值【例1】已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?分析:先由向量a,b求得向量ka+b与a-3b,再根据向量平行的条件列方程组求得k的值,最后判断两个向量的方向.题型一题型二题型三题型四解:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).当ka+b与a-3b平行时,-4(k-3)-10(2k+2)=0,解得k=−13.∴当k=−13时,ka+b与a-3b平行,这时ka+b=−13𝐚+b=−13(a-3b).∵λ=−130,∴ka+b与a-3b反向.反思已知两个向量共线,求参数的问题,通常先求出每一个向量的坐标,再根据两向量共线的坐标表示,列出方程求解参数.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a-c)∥b,则k=.解析:a-c=(3,1)-(k,7)=(3-k,-6).∵(a-c)∥b,∴3(3-k)+6=0,∴k=5.答案:5题型一题型二题型三题型四题型二三点共线问题【例2】求证:A(1,5),𝐵12,4,𝐶(0,3)三点共线.分析:可转化为证明𝐴𝐵∥𝐴𝐶.证明:由A(1,5),𝐵12,4,𝐶(0,3),得𝐴𝐵=-12,-1,𝐴𝐶=(−1,−2).又−12×(−2)−(−1)×(−1)=0,则𝐴𝐵与𝐴𝐶共线,且有一个公共点A,故A,B,C三点共线.题型一题型二题型三题型四反思证明三点共线的常见方法有:(1)证得两条较短的线段长度之和等于第三条线段的长度;(2)利用斜率;(3)利用直线方程即由其中两点求出直线方程,再验证第三点在这条直线上;(4)利用向量共线的条件,如本题.其中方法(4)是最优解法.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】(1)若A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),且A,B,C三点共线,则x=.(2)已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),求证:A,B,C三点共线.题型一题型二题型三题型四(1)解析:∵A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),∴𝐴𝐵=(5,10),𝐴𝐶=(6,𝑥+2).∵A,B,C三点共线,∴𝐴𝐵∥𝐴𝐶,∴5(x+2)-60=0,∴x=10.答案:10(2)证明:∵A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),∴𝐴𝐵=(2,4),𝐴𝐶=(3,6).又2×6-4×3=0,∴𝐴𝐵与𝐴𝐶共线,且有一个公共点A,∴A,B,C三点共线.题型一题型二题型三题型四题型三向量共线条件的应用【例3】如图,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),O(0,0),求AC与OB的交点P的坐标.分析:先设出点P的坐标,再利用向量共线的条件求解.题型一题型二题型三题型四解法一:由题意知P,B,O三点共线,可设𝑂𝑃=𝜆𝑂𝐵=(4𝜆,4𝜆),则𝐴𝑃=𝑂𝑃−𝑂𝐴=(4𝜆−4,4𝜆),𝐴𝐶=𝑂𝐶−𝑂𝐴=(−2,6).由𝐴𝑃与𝐴𝐶共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解之,得λ=34,∴𝑂𝑃=34𝑂𝐵=(3,3),∴P(3,3)即为所求.题型一题型二题型三题型四解法二:设P(x,y),则𝑂𝑃=(𝑥,𝑦).∵𝑂𝐵=(4,4),又𝑂𝑃与𝑂𝐵共线,∴x=y.又𝐴𝑃=(𝑥−4,𝑦),𝐴𝐶=(−2,6),𝐴𝑃与𝐴𝐶共线,∴(x-4)×6-y×(-2)=0.解之,得x=y=3,即点P的坐标为(3,3).反思在求点或向量的坐标时,要充分利用两个向量共线的条件,要注意方程思想的应用,建立方程的条件有向量共线、向量相等等.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】已知点A(3,5),B(6,9),且|𝐴𝑀|=3|𝑀𝐵|,𝑀是直线𝐴𝐵上一点,求点𝑀的坐标.解:设点M的坐标为(x,y),由于|𝐴𝑀|=3|𝑀𝐵|,则𝐴𝑀=3𝑀𝐵或𝐴𝑀=−3𝑀𝐵.由题意,得𝐴𝑀=(𝑥−3,𝑦−5),𝑀𝐵=(6−𝑥,9−𝑦).当𝐴𝑀=3𝑀𝐵时,(x-3,y-5)=3(6-x,9-y),∴𝑥-3=3(6-𝑥),𝑦-5=3(9-𝑦),题型一题型二题型三题型四解得x=214,𝑦=8.当𝐴𝑀=−3𝑀𝐵时,(x-3,y-5)=-3(6-x,9-y),∴𝑥-3=-3(6-𝑥),𝑦-5=-3(9-𝑦),解得x=152,𝑦=11.∴点M的坐标是214,8或152,11.题型一题型二题型三题型四题型四易错辨析易错点用错向量共线的等价条件致错【例4】已知a=(3,2-m)与b=(m,-m)平行,求m的值.错解:由题意,得3𝑚=2-𝑚-𝑚,解得m=5.错因分析:本题中,当m=0时,b=0,显然a∥b成立.利用坐标比例形式判断向量共线的前提是m·(-m)≠0,错解由于疏忽了这一前提,造成了转化不等价.正解:∵a∥b,∴3(-m)-(2-m)m=0,解得m=0或m=5.反思设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a与b共线的条件为x1y2-x2y1=0.要注意与条件𝑥1𝑥2=𝑦1𝑦2的区别,应用𝑥1𝑥2=𝑦1𝑦2时,分母应不为零.