向量内积的定义及运算规律

定义.],[,],[,,22112121的内积与称为向量令维向量设有yxyxyxyxyxyxyyyyxxxxnnnnn向量内积的定义及运算规律.,,],[都是列向量其中内积的矩阵表示yxyxyxT].,[],[],)[3(];,[],)[2(];,[],)[1(:),,,(zyzxzyxyxyxxyyxnzyx为实数量维向为其中内积满足下列运算规律定义).(,],[22221或范数的长度维向量称为令xnxxxxxxxn向量的长度具有下列性质：.)3(;)2(;0,0;0,0)1(yxyxxxxxxx三角不等式齐次性时当时当非负性２向量的长度.,1为单位向量称时当xx).0(,1],[],,][,[],[2时当从而有不等式向量的内积满足施瓦茨yxyxyxyyxxyx定义.],[arccos,0,0的夹角与维向量称为时当yxnyxyxyx.,0.,0],[与任何向量都正交则若正交与称向量时当xxyxyx３向量的夹角所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零向量．向量空间的基若是正交向量组，就称为正交基．定理.,,,,,,,2121线性无关则零向量是一组两两正交的非维向量若aaaaaanrr.,,,,,,,,)(,,,212121的一个规范正交基是则称两两正交如果的一个基是向量空间维向量设VeeeeeeRVVeeenrrnr定义４正交向量组的性质).,,2,1(],,[,,,,,221121rieaaeeeeaaVVeeeiTiirrr其中都可表为中任一向量那么的一个规范正交基是若施密特正交化方法.,,,,,,,,2121范正交化这个基规只需把的一个规范正交基要求的一个基是向量空间设aaaVVaaarr.,,,,,,,.],[],[],[],[],[],[;],[],[;2121111122221111111212211等价且与两两正交则取aaabbbbbbabbbbabbbbababbbbabababrrrrrrrrrrr第一步正交化第二步单位化.,1,,1,1222111的一个规范正交基就得取Vbbebbebberrr定义.),(1为正交矩阵那么称即满足阶矩阵如果AAAEAAAnTT.)(的一个规范正交基向量构成向量空间行个列的正交矩阵RnAn５正交矩阵与正交变换方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行（列）向量都是单位向量，且两两正交．AA定义若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换．正交变换的特性在于保持线段的长度不变．.,xxxpxPxyyyPxyTTTT则有为正交变换设PPxy定义.,,,,的特征向量的对应于特征值称为量非零向的特征值称为方阵这样的数那么成立使关系式维非零列向量和如果数阶矩阵是设AxAxAxxnnA.)(.0的特征多项式称为方阵的特征方程称为方阵AEAfAEA６方阵的特征值和特征向量.)2(;)1(,,,,)(.2122112121AaaaaAnAnnnnnnij则有的特征值为若个特征值有阶方阵.1;1,)3(.)(,)(.)()();()2(;)1(,)(11010特征值的是的特征值是可逆时当其中的特征值是为任意自然数的特征值是的特征值也是则的特征值是设AAAAAaAaEaAaaaAkAAaAmmmmkkTijnn７有关特征值的一些结论定理..,,,,,,,,,,,,,,,21212121征向量是线性无关的即属于不同特征值的特线性无关则各不相等如果向量依次是与之对应的特征个特征值的是方阵设ppppppmAmmmm定理属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．８有关特征向量的一些结论定义.,.,,,,,11的相似变换矩阵变成称为把可逆矩阵进行相似变换称为对进行运算对相似与或说矩阵的相似矩阵是则称使若有可逆矩阵阶矩阵都是设BAPAAPPABAABBAPPPnBA矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性；(3)传递性．９相似矩阵.,,,,)2(2121个特征值的是则相似与对角矩阵若nAAnn１０有关相似矩阵的性质若与相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值亦相同．ABAABB)1(.)()(,,,,.)()(,,)3(111111PPAPPAAPPPPBPAPBPAPPBAkkkk则有为对角阵使若有可逆阵特别地则若(4)能对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量．AAn(5)有个互异的特征值，则与对角阵相似．AAn.)1(实数实对称矩阵的特征值为.)2(量必正交特征值的特征向实对称矩阵的属于不同.,)3(个线性无关的特征向量的必有则对应重特征值的是实对称矩阵若rrA.,,,.)4(1对角阵个特征值为对角元素的的以是其中使得则必有正交阵称阵阶实对为即若实对称矩阵必可对角化nAAPPPnA１１实对称矩阵的相似矩阵定义.222),,,(,,,1,1311321122222221112121称为二次型的二次齐次函数个变量含有xxaxxaxxaxaxaxaxxxfxxxnnnnnnnnnn１２二次型.,,.,的秩的秩称为二次型称阵对的二次型称为对称阵的矩阵为二次型称其中二次型可记作fAAffAAAAxxfTT二次型与它的矩阵是一一对应的．.,;,称为实二次型是实数时当称为复二次型是复数时当fafaijij定义).(2222211或法式称为二次型的标准形只含平方项的二次型ykykykfnn１３二次型的标准形)..()(,,,,)1(ARBRBAACCBCT且亦为对称阵则阵为对称如果令任给可逆矩阵.)(,,,,,),()2(2122222111,的特征值的矩阵是其中化为标准形使有正交变换总任给实二次型aAfyyyffPyxaaxxafijnnnjiijjinjiij１４化二次型为标准形.,)3(变换换一般而言不是正交此时所用的可逆线性变形二次型化为标准拉格朗日配方法亦可把定义.,,0)(,0;,),0)0((0)(,0,)(是负定的并称对称矩阵为负定二次型则称都有如果对任何是正定的称对称矩阵并为正定二次型则称显然都有如果对任何设有实二次型AfxfxAffxfxAxxxfT１５正定二次型.,,,,,,),0(),0(,,212122222112222211数的个数相等中正中正数的个数与则及使及实的可逆变换有两个它的秩为设有实二次型rrirrirrTkkkzzzfkykykykfPzxCyxrAxxf１６惯性定理..2)(;;,,,21量化线性变换的不变它们是二次型对于非退差的符号称为称为负惯性指数数称为正惯性指中正数的个数frpprpNpsNprpkkkr注意;,:)1(npnAxxfT即正惯性指数个系数全为正它的标准形的是为正定的充分必要条件实二次型;:)2(特征值全为正的是为正定的充分必要条件对称矩阵AA１７正定二次型的判定).,,2,1(,0)1(,,:;0,;0;0,:))(3(111111112221121111nraaaaAaaaaaaaaaAArrrrrnnnn即而偶数阶主子式为正式为负奇数阶主子是为负定的充分必要条件对称矩阵即的各阶主子式都为正要条件是为正定的充分必对称矩阵霍尔维茨定理一、证明所给矩阵为正交矩阵典型例题二、将线性无关向量组化为正交单位向量组三、特征值与特征向量的求法四、已知的特征值，求与相关矩阵的特征值AA五、求方阵的特征多项式六、关于特征值的其它问题七、判断方阵可否对角化八、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵九、化二次型为标准形AA;,,2,1,),()(111njiaaaaijjknkikijkjnkki或交条件元素满足正或行证明矩阵的各列方法.,,2EAAATT验证然后先求出根据正交阵的定义方法一、证明所给矩阵为正交矩阵.)]/(2[,,为正交矩阵证明阶单位矩阵为维列向量是设aaaaEAnEnaTT例1证明.,EAAAATT证义验然后根据正交矩阵的定先验证])/2([aaaaEATTTTaaaaETT)/2(,AAAT])/2([])/2([aaaaEaaaaETTTTAA.)(])(/4[)](/2[)](/2[2aaaaaaaaaaaaaaETTTTTTT.2,1是正交矩阵时特别当aaEAaaTT,,0为一非零数aaaT),)(()(aaaaaaaaTTTT故,)]/(4[)]/(4[EaaaaaaaaEAATTTTT.是正交矩阵故A将线性无关向量组化为正交单位向量组，可以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与单位化．.,1001,0101,0011321向量组求与之等价的正交单位无关向量组是线性已知向量例2二、将线性无关向量组化为正交单位向量组解一先正交化，再单位化;)1(11取,,)2(12212正交与使得令k,0],[],[],[211121k,21],[],[1121k;0121212故得交正与且令,,,)3(123322113kk,21],[],[11311k,31],[],[22222k.13131313故得单位化将,,,)4(321333111222;002121;0626161.23)32(1)32(1)32(1解二同时进行正交化与单位化并单位化得取,)1(11111;002121得正交与使得令,,)2(12212k],[21k,21.06261612,0121212得正交与且令,,,)3(123322113kk],[311k],[322k,21,61.23)32(1)32(1)32(13,13131313.,,321为所求之向量组则第三步将每一个特征值代入相应的线性方程组，求出基础解系，即得该特征值的特征向量．三、特征值与特征向量的求法第一步计算的特征多项式；A第二步求出特征多项式的全部根，即得的全部特征值；A.3242024233和特征向量的全部特征值阶实矩阵计算A例332422423)(AEf.)1()8(2解第一步计算的特征多项式A.,)(的全部特征值即的全部根求出特征多项式第二步Af.,1,8,0)(321全部特征值的为解之得令Af.0)(,811的一个基础解系求相应线性方程组对xAE第三步求出的全部特征向量A,0524,0282,0425321321321xxxxxxxxx.2121个基础解系化简求得此方程组的一).0(81111数为实的全部特征向量为属