向量基本定理及坐标运算

第二节平面向量的基本定理及向量坐标运算【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填(1)平面向量基本定理:①基底:平面内_______的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.②定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=__________.不共线λ1e1+λ2e2(2)平面向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,该平面内的任一向量a可表示成a=xi+yj,由于a与数对(x,y)是一一对应的,把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=______,其中a在x轴上的坐标是x,a在y轴上的坐标是y.(x,y)(3)平面向量的坐标运算:向量的加法、减法设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=_____________,a-b=____________向量的数乘设a=(x,y),λ∈R,则λa=__________向量坐标的求法设O(0,0)，A(x1,y1),B(x2,y2)，则①=_______②=____________OAAB(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx,λy)(x1,y1)(x2-x1,y2-y1)(4)向量共线的坐标表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔________=0,特别地,若x2,y2≠0,则a∥b⇔x1y2-x2y11122xy.xy2.必备结论教材提炼记一记若是平面内不共线的向量,则存在实数λ1,λ2使则当λ1+λ2=1时,A,B,C三点共线.特别地,当λ1=λ2=时,C是A与B的中点.3.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:待定系数法.(2)数学思想:数形结合思想,函数与方程思想.OAOB，1OCOA2OB，12【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判(1)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.()(2)平面内任何两个不共线的向量均可作为一组基底.()(3)向量与的夹角为∠ABC.()(4)在同一组基底下同一向量的表现形式是唯一的.()BCAB【解析】(1)正确.由向量的坐标表示可知向量不论怎样平移,其坐标均为终点坐标减去起点坐标,故平移后坐标不变.(2)正确.由基底的定义可知,只要两向量不共线均可作为一组基底.(3)错误.两向量的夹角,关键要看起点与方向,与的夹角应为∠ABC的补角.(4)正确.由平面向量基本定理可知存在唯一实数对λ,μ使a=λe1+μe2故其表现形式唯一.答案:(1)√(2)√(3)×(4)√BCAB2.教材改编链接教材练一练(1)(必修4P98例7改编)已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,λ),若A,B,C三点共线,则λ=.【解析】由已知得=(2,4),=(1,λ-3).若A,B,C三点共线,则2(λ-3)-1×4=0,即2λ=10,得λ=5.答案:5BCAB(2)(必修4P99例8改编)设P是线段P1P2上的一点,若P1(2,3),P2(4,7)且P是P1P2的一个四等分点,则P的坐标为.【解析】由题意可知,P是P1P2的一个四等分点有三种情况:即=或=3或=,1PP2PP131PP2PP1PP2PP设P(x,y),则=(x-2,y-3),=(4-x,7-y),若=,则(x-2,y-3)=(4-x,7-y),即得2PP1PP1PP2PP13133x64x,3y97y,5x2y4.，若=3,则(x-2,y-3)=3(4-x,7-y),即得2PP1PPx2123x,y3213y,7x,2y6.若=,则(x-2,y-3)=(4-x,7-y),即得答案:或或(3,5)2PP1PPx24x,y37y,x3,y5.5(,4)27(,6)23.真题小试感悟考题试一试(1)(2014·福建高考)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)【解析】选B.只有B选项两个向量不共线,其他选项的向量都是共线的,不共线的向量方可成为基底,才可以表示向量a.(2)(2015·南宁模拟)在下列向量组中可以把a=(4,2)表示出来的是()A.b=(0,0),c=(3,2)B.b=(1,1),c=(-1,1)C.b=(1,-1),c=(-1,1)D.b=(2,4),c=(1,2)【解析】选B.由已知A中,b=0,而C,D中两向量共线,不符合作为基底的条件,而B中,a=3b-c,所以选B.(3)(2015·成都模拟)在▱ABCD中,AC为一条对角线,=(2,4),=(1,3),则向量的坐标为.ABACBD【解析】设=(x,y),因为所以(1,3)=(2,4)+(x,y),所以即所以=(-1,-1),所以=(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5).答案:(-3,-5)ADACABAD,12x,34y,x1,y1,ADBDADAB考点1平面向量基本定理及其应用【典例1】(1)(2015·广州模拟)设a是已知的平面向量且a≠0,关于向量a的分解,有如下四个命题:①给定向量b,总存在向量c,使a=b+c;②给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a=λb+μc;③给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μc;④给定正数λ和μ,总存在单位向量b和单位向量c,使a=λb+μc.上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4(2)(2015·泉州模拟)在△ABC中,点P是AB上一点,且Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又试求t的值.21CPCACB,33CMtCP,【解题提示】(1)利用平面向量基本定理来逐一判断.(2)首先利用条件确定P点的位置,再利用平面向量基本定理确定基底,从而联立方程得t.【规范解答】(1)选B.对于①因为a与b给定,所以a-b一定存在,可表示为c,即c=a-b,故a=b+c成立,①正确;对于②,因为b与c不共线,由平面向量基本定理可知②正确;对于③,以a的终点为圆心,以μ为半径作圆,这个圆必须和向量λb有交点,这个不一定满足,故③错误;对于④,由向量加法的三角形法则(不共线两边的和大于第三边),即必有|λb|+|μc|=λ+μ|a|,而给定的λ和μ不一定满足此条件,所以④是假命题.(2)因为所以即所以即P为AB的一个三等分点(靠近A点),又因为A,M,Q三点共线,21CPCACB33，3CP2CACB，2CP2CACBCP，2APPB.设所以=又=故解得故t的值是.AMAQ.11CMAMACAQAC(ABAC)AC222ABAC,221CMtCPtAPACt(ABAC)3tABtAC.3t,232t2，3t,41.234【易错警示】解答本例题(1)有两点容易出错.(1)对于①中判断易直接利用平面向量基本定理而不会变换为c=a-b去判断从而误解.(2)对于③④判断时易忽视向量加法的几何意义,及平面向量基本定理的理解而误解.【互动探究】题(2)中若条件和所求不变,再附加一问:M在AQ的什么位置?如何求解.【解析】由(2)的解析及λ=,知,因此点M是AQ的中点.2CMABAC2212CB2CQ12CMCBCACA22CB(1)CA2CQCACQ(1)CA.2【规律方法】应用平面向量基本定理的关键点(1)平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量.(2)选定基底后,通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来.(3)强调几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,常借助图形的几何性质,如平行、相似等.提醒:在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.【变式训练】如图,已知△OCB中,A是CB的中点,D是将分成2∶1的一个内分点,DC和OA交于点E,设=a,=b.(1)用a和b表示向量,.(2)若=λ,求实数λ的值.OBOAOBOCDCOEOA【解析】(1)由题意知,A是BC的中点,且由平行四边形法则,得所以=2a-b,=(2a-b)-b=2a-b.2ODOB3，OBOC2OA，OC2OAOBDCOCOD2353(2)由题意知,故设因为=(2a-b)-λa=(2-λ)a-b,=2a-b,所以(2-λ)a-b=x(2a-b).ECDC，ECxDC.ECOCOEDC5353因为a与b不共线,由平面向量基本定理,得解得故λ=.22x,51x,33x,54.545【加固训练】1.若a与b不共线,已知下列各组向量①a与-2b;②a+b与a-b;③a+b与a+2b;④a-b与a-b.其中可以作为基底的是(只填序号即可).121412【解析】因为a与b不共线,所以,对于①,显然a与-2b不共线;对于②,假设a+b与a-b共线,则存在实数λ,使a+b=λ(a-b),则λ=1且-λ=1,由此得λ=1且λ=-1矛盾,故假设不成立,即a+b与a-b不共线;同理,对于③,a+b与a+2b也不共线;对于④,a-b=(a-b),故a-b与a-b共线.由基向量的定义知,①②③都可以作为基底,④不可以.答案:①②③121412121212142.(2015·武汉模拟)如图所示,已知=a,=b,=c,以a,b为基底试表示c.【解析】由得即即c=b-a.AB2BC，OAOBOCAB2BC，AOOB2BOOC，2OCOA3OB，1232考点2平面向量的坐标运算【典例2】(1)(2015·临沂模拟)在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则等于()A.(-6,21)B.(-2,7)C.(6,-21)D.(2,-7)BPPCPAPQBC(2)(2013·北京高考)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=.【解题提示】(1)利用已知求得的坐标即可求的坐标.(2)结合图形建立适当的平面直角坐标系,利用平面向量的坐标运算及平面向量基本定理列方程组求解.PCBC【规范解答】(1)选A.如图,=(1,5)-(4,3)=(-3,2),=(1,5)+(-3,2)=(-2,7),=3=(-6,21).QCAQPQPAPCPQQCBCPC(2)以向量a,b的交点为原点,原点向右的方向为x轴正方向,正方形网格的边长为单位长度建立直角坐标系,则a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3),根据c=λa+μb得(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),即解得λ=-2,μ=-,所以=4.答案:461,23,12【互动探究】在本例(2)中,试用a,c表示b.【解析】建立本例(2)规范解答中的平面直角坐标系,则a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3),设b=xa+yc,则(6,2)=x(-1,1)+y(-1,-3),即解得故b=-4a-2c.xy6,x3y2,x4,y2,【规律方法】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.(2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解.【变式训练】已知向量a=(6,4),b=(0,2),=a+λb,O为坐标原点,若点C在函数y=sin的图象上,求实数λ的值.【解析】因为=a+λb=(6,4)+λ(0,2)=(6,4+2λ),所以点C的坐标为(6