卫生统计学-常用概率分布

常用概率分布第一节二项分布一、二项分布的概念与特征（一）摸球模型与二项分布一个袋子里有5个乒乓球，其中2个黄球，3个白球，我们进行摸球游戏，每一次摸到黄球的概率是0.4，摸到白球的概率是0.6，这个实验有三个特点：一是各次摸球是彼此独立的；二是每次摸球只有二种可能的结果，或黄球或白球；三是每次摸到黄球（或摸到白球）的概率是固定的。具备这三点，n次中有X次摸到黄球（或白球）的概率分布就是二项分布。例题例5-1：用针灸治疗头痛，假定结果不是有效就是无效，每一例有效的概率为π。某医生用此方法治疗头痛患者5例，3例有效的概率是多少？因为每例有效的概率相同，且各例的治疗结果彼此独立，5例患者中可以是其中的任意3例有效。35335)1()(CBP概念：医学研究中很多现象观察结果是以两分类变量来表示的，如阳性与阴性、治愈与未愈、生存与死亡等等。如果每个观察对象阳性结果的发生概率均为，阴性结果的发生概率均为（1－）；而且各个观察对象的结果是相互独立的，那么，重复观察n个人，发生阳性结果的人次数X的概率分布为二项分布，记作B（X；n，π）。二项分布应用的先决条件：（1）一个实验有两种对立的可能结果，如“阳性”与“阴性”；（2）n次独立的实验；（3）产生一种结果（如阳性）的概率不变；（4）求在n次实验中有X阳性的概率.（二）二项分布的概率函数XnXXnCXP)1()()!(!!XnXnCXn二项分布的概率函数P(X)可用公式（5-1）来计算。例题432.0)6.01(6.0)23(223C例5-2：临床上用针灸治疗某型头痛，有效的概率为60%，现以该法治疗3例，其中两例有效的概率是多大？表5-1治疗3例可能的有效例数及其概率有效人数(x)x(1－)n-x出现该结果概率P(X)010.60=10.4×0.4×0.40.064130.60.4×0.40.288230.6×0.60.40.432310.6×0.6×0.60.400.216XC3由表4-1可知，各种可能结果出现的概率合计为1，即P(X)=1（X=0,1,…,n）。因此，如果欲求1例以上有效的概率可以是：P(x≥1)=P(1)+P(2)+P(3)=0.288+0.432+0.216=0.936也可以是P(x≥1)=1－P(0)=1－0.064=0.936（三）二项分布的特征1、二项分布的图形特征接近0.5时，图形是对称的，如图4-1。离0.5愈远，对称性愈差，但随着n的增大，分布趋于对称，如图4-2。当n→∞时，只要不太靠近0或1，当nP和n(1－P)都大于5时，二项分布近似于正态分布。二项分布图形取决于与n，高峰=n处。图5-1π=0.5时，不同n值对应的二项分布n=3,π=0.500.10.20.30.4012345678910111213xP(x)n=10,π=0.500.10.20.30.4012345678910111213xP(x)图5-2π=0.3时，不同n值对应的二项分布n=3,π=0.300.10.20.30.40.50123456789101112131415xP(x)n=6,π=0.300.10.20.30.40.50123456789101112131415xP(x)n=10,π=0.300.10.20.30.40.50123456789101112131415xP(x)n=20,π=0.300.10.20.30.40.50123456789101112131415xP(x)2、二项分布的均数和标准差n)1(2n)1(n总体均数：方差：标准差：如果将出现阳性结果的频率记为：P的总体均数：P的总体标准差：nXppnp)1(例题nppnppSp)1(1)1(%0.2020.0150)067.01(067.0pS例5-4研究者随机抽查某地150人，其中有10人感染了钩虫，钩虫感染率为6.7%，求此率的抽样误差。二、二项分布的应用（一）概率估计例5-5如果某地钩虫感染率为13%，随机观察当地150人，其中有10人感染钩虫的概率有多大？从n=150，π=0.13的二项分布，由公式（5-1）和（5-2）可以得出150人中有10人感染钩虫的概率为：0055.087.013.0)!10150(!10!150)10(14010XP（二）单侧累积概率计算二项分布出现阳性的次数至多为k次的概率为：出现阳性的次数至少为k次的概率为：kXkXXnXXnXnXPkXP00)1()!(!!)()(nkXnkXXnXXnXnXPkXP)1()!(!!)()(例题例5-6例4-5中某地钩虫感染率为13%，随机抽查当地150人，其中至多有2名感染钩虫的概率有多大？至少有2名感染钩虫的概率有多大？至少有20名感染钩虫的概率有多大？•根据公式（5-10）至多有2名感染钩虫的概率为：•至少有2名感染钩虫的概率为：2020150)13.01(13.0)!150(!!150)()2(XXXXXXXPXP78101011.21080.11047.871030.215021502150)13.01(13.0)!150(!!150)()2(XXXXXXXPXP)]1()0([1XPXP]1080.11047.8[18101•至少有20名感染钩虫的概率为：1502015020150)13.01(13.0)!150(!!150)()20(XXXXXXXPXP190190150)13.01(13.0)!150(!!1501)(1XXXXXXXP4879.0第二节Poisson分布一、Poisson分布的概念Poisson分布也是一种离散型分布，用以描述罕见事件发生次数的概率分布。常用于研究单位时间内（或单位空间内）某事件发生不同次数的分布。医学上人群中出生缺陷、多胞胎、染色体异常等事件等都是罕见的，可能发生这些事件的观察例数n常常很大，但实际上发生类似事件的数目却很小很小。Poisson分布可以看作是发生的概率（或未发生的概率1－）很小，而观察例数n很大时的二项分布。除二项分布的三个基本条以外，Poisson分布还要求或（1－）接近于0或1（例如0.001或0.999）。二、Poisson分布的特征Poisson分布的概率函数为：式中为Poisson分布的总体均数，X为观察单位内某稀有事件的发生次数；e为自然对数的底，为常数，约等于2.71828。!)(XeXPXn由图5-3可以看到Poisson分布当总体均数λ值小于5时为偏峰，λ愈小分布愈偏，随着λ增大，分布趋向对称。Poisson分布有以下特性：（1）Poisson分布的总体均数与总体方差相等,均为λ。（2）Poisson分布的观察结果有可加性。当λ增大时，Poisson分布逐渐逼近正态分布。一般来说λ≥20时，Poisson分布的资料可按正态分布处理。当n很大，p很小，np＝λ为一常数时，二项分布近似Poisson分布，p越小，近似程度越好。Poisson分布图λ=600.10.20.30.40246810121416182022xP(x)λ=100.10.20.30.40246810121416182022xP(x)λ=300.10.20.30.40246810121416182022xP(x)λ=1000.10.20.30.40246810121416182022xP(x)图5-3λ取不同值时的Poisson分布图（一）概率估计例5-7实验显示某100cm2的培养皿平均菌落数为6个，试估计该培养皿菌落数等于3个的概率。该培养皿菌落数等于3个的概率：089.0!36)3(36eXP＝三、Poisson分布的应用251.0!25.1)2(25.1eXP例5-8如果某地居民脑血管疾病的患病率为150/10万，那么调查该地1000名居民中有2人患脑血管疾病的概率有多大？λ=n=1000×0.0015=1.5即调查该地1000名居民中有2人患脑血管疾病的概率为25.1%。例5-9实验显示某100cm2的培养皿平均菌落数为6个，试估计该培养皿菌落数等于3个的概率。该培养皿菌落数小于3个的概率：089.0!36)3(36eXP＝（二）单侧累计概率计算如果稀有事件发生次数的总体均数为λ，那么该稀有事件发生次数至多为k次的概率发生次数至少为k次的概率：kXkXXXeXPkXP00!)()()1(1)(kXPkXP例5-9实验显示某100cm2的培养皿平均菌落数为6个，试估计该培养皿菌落数小于3个的概率，大于1个的概率。该培养皿菌落数小于3个的概率：菌落数大于1个的概率为：062.0!26!16!06!6)()3(26160620206eeeXeXPXPXXX983.0!16!061)1()0(1)1(1606eeXPXPXP例题例5-10例5-8中，至多有2人患脑血管疾病的概率有多大？至少有3人患脑血管疾病的概率有多大？至多有2人患脑血管疾病的概率：至少有3人患脑血管疾病的概率：809.0!25.1!15.1!05.1!5.1)()2(25.115.105.120205.1eeeXeXPXPXXX191.0809.01)2(1)3(XPXP第三节正态分布一、正态分布的概念正态曲线(normalcurve)是一条高峰位于中央，两侧逐渐下降并完全对称，曲线两端永远不与横轴相交的“钟型”曲线，该曲线表现为中间高，两边低，左右对称。因为频率的总和等于1，故横轴上曲线下的面积等于1。正态分布是一种重要的连续型分布。医学研究中许多正常人生理、生化指标变量的分布呈正态或近似正态分布。正态分布是数理统计中发展得最为完善的一种分布，很多统计推断都是在正态分布条件下进行的。许多非正态分布的资料，当观察例数足够多时，也可以用正态分布作为它的极限分布形式。有时也将一些非正态分布资料转化为正态分布来处理。表5-4骨密度测量值的频数分布组段频数1.228~21.234~21.240~71.246~171.252~251.258~371.264~251.270~161.276~41.282~1.2881正态分布1.27701.26501.25301.24101.2290Frequency403020100图5-4体模“骨密度”测量值的分布接近正态分布示意图（频率密度=频率/组距）正态分布正态概率密度曲线的位置与形状具有如下特点：（1）关于x=μ对称。（2）在x=μ处取得该概率密度函数的最大值，在处有拐点，表现为钟形曲线。（3）曲线下面积为1。（4）μ决定曲线在横轴上的位置，μ增大，曲线沿横轴向右移；反之，μ减小，曲线沿横轴向左移。（5）σ决定曲线的形状，当μ恒定时，σ越大，数据越分散，曲线越“矮胖”；σ越小,数据越集中，曲线越“瘦高”。见图4-5。x正态分布u1u2u3-6-5-4-3-2-10123456不同均数正态分布-3-2-10123不同标准差正态分布•对任意一个服从正态分布的随机变量，可作如下的标准化变换，也称Z变换：•Z服从总体均数为0、总体标准差为1的正态分布。我们称此正态分布为标准正态分布(standardnormaldistribution)，用N(0，1)表示。XZ),(2N正态分布•统计学家编制了标准正态分布曲线下面积分布表（附表1），因为正态分布两边对称，所以只给出Z取负值的情况。表内所列数据表示Z取不同值时标准正态分布的分布函数值，此值大小相当于Z值左侧标准正态曲线下面积，记作Φ（z）。正态分布例5-9已知X服从均数为μ、标准差为σ的正态分布，试估计：X取值在区间上的概率；