高2013届高三数学优化设计第二轮复习专题4-1第1讲 等差与等比数列

第1讲等差与等比数列考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练【考情快递】考点统计考查频度考例展示等差数列132012·辽宁4,2012·重庆2,2012·福建11,2012·北京10等比数列102012·北京6,2012·广东12,2012·安徽5考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练考点对接考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练1．等差数列思考1：等差数列的通项公式是什么？还有没有其它的推导方法？研讨：等差数列的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.其它的推导方法有叠加法和迭代法．考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练思考2：等差数列的前n项和公式是什么？其推导方法是什么？研讨：等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－1d2，其推导方法是倒序相加法．考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练2．等比数列思考3：等比数列的通项公式是什么？研讨：等比数列的通项公式是an＝a1qn－1.思考4：等比数列的前n项和公式是什么？其推导方法是什么？研讨：等比数列的前n项和公式是Sn＝na1(q＝1)和Sn＝a11－qn1－q(q≠1)．其推导方法是错位相减法．考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练1．(2012·辽宁)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝()．A．58B．88C．143D．176解析a4＋a8＝2a6＝16，∴a6＝8，而S11＝11a1＋a112＝11a6＝88.答案B考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练2．(2012·新课标全国)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝()．A．7B．5C．－5D．－7解析a4＋a7＝2，a5a6＝a4a7＝－8⇒a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4.a4＝4，a7＝－2⇒a1＝－8，a10＝1⇒a1＋a10＝－7，a4＝－2，a7＝4⇒a10＝－8，a1＝1⇒a1＋a10＝－7.答案D考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练3．(2012·广东)已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a22－4，则an＝________.解析a1＝1，a3＝a22－4⇒1＋2d＝(1＋d)2－4⇒d＝2⇒an＝2n－1.答案2n－1考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练4．(2012·江西)等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，且对任意的n∈N＋，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________.解析设数列{an}的公比为q.因为an＋2＋an＋1－2an＝anq2＋anq－2an＝0，又显然an≠0，所以q2＋q－2＝0.解得q＝－2或q＝1(已知q≠1，故舍去)．所以S5＝1×[1－－25]1－－2＝11.答案11考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练典例对接类型一等差、等比数列的基本运算【例1】已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项．(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}中，当n＝1时，c1＝6；当n≠1时，cn＝(4n＋1)a3n－1bn.求数列{cn}前n项和Sn.考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练[思路点拨](1)由已知条件求出公差，进而求出通项公式．(2)观察通项cn的特点，选择恰当的求和方法．[尝试解答](1)由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，d＞0，整理得2a1d＝d2.∵a1＝1，d＞0，∴d＝2或d＝0(舍去)．∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n∈N*)．∵b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，∴bn＝3n－1(n∈N*)．考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练(2)∵当n＝1时，c1＝6；当n≠1时，cn＝(4n＋1)a3n－1bn.(i)当a＝1时，Sn＝6＋9＋13＋…＋(4n＋1)＝6＋n－19＋4n＋12＝2n2＋3n＋1.(ii)当a≠1时，Sn＝c1＋c2＋…＋cn，即Sn＝6＋9a＋13a2＋…＋(4n－3)an－2＋(4n＋1)an－1.①aSn＝6a＋9a2＋13a3＋…＋(4n－3)an－1＋(4n＋1)an.②①－②得(1－a)Sn＝6＋3a＋4a2＋…＋4an－1－(4n＋1)an.考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练∴Sn＝6＋3a－4n＋1an1－a＋4a2－an1－a2.当a＝1时，Sn＝2n2＋3n＋1；当a≠1时，Sn＝6＋3a－4n＋1an1－a＋4a2－an1－a2.[规律方法]若等比数列的公比不是一个常数，而是一个字母，在求Sn时一定要分公比等于1和不等于1两种情况讨论；若一个数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积组成的，则求这一数列Sn的方法为“乘公比错位相减法”．考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练【变式训练1】(2012·重庆)已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.(1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值．解(1)设数列{an}的公差为d，由题意知2a1＋2d＝8，2a1＋4d＝12.解得a1＝2，d＝2.所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练(2)由(1)可得Sn＝na1＋an2＝n2＋2n2＝n(n＋1)．因为a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以a2k＝a1Sk＋2.从而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)，即k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍去)．因此k＝6.考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练类型二等差、等比数列的判断与证明【例2】已知数列{an}的前n项和公式Sn满足条件2Sn＝3(an－1)，其中n∈N*.(1)证明：数列{an}为等比数列；(2)设数列{bn}满足bn＝log3an，若cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和．[思路点拨](1)利用an＝Sn－Sn－1求出an与an－1之间的关系，进而用定义证明数列{an}为等比数列．(2)由(1)的结论得出数列{bn}的通项公式，求出cn的表达式，再利用错位相减法求和．考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练[尝试解答](1)证明：由题意得an＝Sn－Sn－1＝32(an－an－1)(n≥2)，∴an＝3an－1，∴anan－1＝3(n≥2)，又S1＝32(a1－1)＝a1，解得a1＝3，∴数列{an}为等比数列．(2)由(1)得an＝3n，则bn＝log3an＝log33n＝n，∴cn＝anbn＝n·3n，设Tn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋(n－1)3n－1＋n·3n,3Tn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋(n－1)3n＋n·3n＋1.考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练∴－2Tn＝31＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1＝31－3n1－3－n·3n＋1，∴Tn＝2n－13n＋1＋34.[规律方法]等差、等比数列的判断与证明方法是由已知条件求出an或得到an＋1与an的递推关系，再确认an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)或an＋1an＝q(n∈N*，q为非零常数)是否对一切正整数均成立．考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练【变式训练2】成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列Sn＋54是等比数列．(1)解设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)，故{bn}的第3项为5，公比为2.考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝54.所以{bn}是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝54·2n－1＝5·2n－3.(2)证明数列{bn}的前n项和Sn＝541－2n1－2＝5·2n－2－54，即Sn＋54＝5·2n－2，考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练所以S1＋54＝52，Sn＋1＋54Sn＋54＝5·2n－15·2n－2＝2.因此Sn＋54是以52为首项，公比为2的等比数列．考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练类型三等差、等比数列的综合运用【例3】已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a23＝9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式．(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列1bn的前n项和．[思路点拨](1)利用两个已知条件直接求公比和首项，确定通项公式．(2)首先利用对数运算性质求出bn，进而求1bn，再利用裂项相消法求和．考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练[尝试解答](1)设数列{an}的公比为q，由a23＝9a2a6得a23＝9a24所以q2＝19.由条件可知q＞0，故q＝13.由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝13.故数列{an}的通项式为an＝13n.(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－nn＋12，考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练故1bn＝－2nn＋1＝－21n－1n＋1.1b1＋1b2＋…＋1bn＝－21－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝－2nn＋1.所以数列1bn的前n项和为－2nn＋1.考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练[规律方法]数列求和的一般方法有：(1)直接法，即直接用等差、等比数列的求和公式求和；(2)错位相减法，即上面例1的求和方法；(3)裂项相消法，即把数列的每一项分裂成两项的和，通过正负项相消求和；(4)分组转化法，即把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求和．考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练【变式训练3】(2012·山东)在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.(1)求数列{an}的通项公式；(2)对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm.解(1)因为{an}是一个等差数列，所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，即a4＝28.所以，数列{an}的公差d＝a9－a49－4＝73－285＝9，所以，an＝a4＋(n－4)d＝28＋9(n－4)＝9n－8(n∈N*)．考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练(2)对m∈N*，若9m＜an＜92m，则9m＋8＜9n＜92m＋8，因此9m－1＋1≤n≤92m－1，故得bm＝92m－1－9m－1.于是Sm＝b1＋b2＋b3＋…＋bm＝(9＋93＋95＋…＋92m－1)－(1＋9＋92＋…＋9m－1)＝9×1－81m1－81－1－9m1－9＝92m＋1－10×9m＋180.考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练高考瞭望混淆基本公式致误通过分析近三年的高考试题可以看出，该部分在高考中主要考查等比数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式、等比中项，选择题、填空题主要以等比数列的通项公式及其应用为背景，考查等比数列的性质，解答题考查等比数列的判定与证明，以及前n项和公式的运用．考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练【典例仿真】(满分12分)在公差为d(d≠0)的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，已知a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)是否存在常数a，b，使得对于一切正整数n，都有an＝logabn＋b恒成立，若存在，求出常数a和b；若不存在，请说明理由．[规范解答](1)由条件