高2013届高中数学优化设计第二轮复习专题3-2三角恒等变换与解三角形

第2讲三角恒等变换与解三角形考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评【考情快递】考点统计考查频度考例展示三角变换与化简求值62012·四川18,2012·江苏11,2012·重庆5,2012·广东16正(余)弦定理82012·广东6,2012·陕西13,2012·湖北8,2012·北京11解三角形及综合应用82012·浙江18,2012·安徽16,2012·新课标全国17,2012·天津16正(余)弦定理的实际应用22011·上海21考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评考点对接考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评1．三角变换公式思考1：你能写出二倍角余弦的降幂公式吗？两角和正切变形公式呢？研讨：sin2α＝1－cos2α2，cos2α＝1＋cos2α2.tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评2．正弦定理思考2：在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的什么条件？研讨：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔a2R＞b2R⇔sinA＞sinB，故A＞B是sinA＞sinB的充要条件．考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评3．余弦定理思考3：如何利用余弦定理来判定三角形中角A为锐角、直角、钝角？研讨：由余弦定理cosA＝b2＋c2－a22bc，知应判定b2＋c2－a2与0的大小关系．当b2＋c2－a2＞0时，A为锐角；当b2＋c2－a2＝0时，A为直角；当b2＋c2－a2＜0时，A为钝角．考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评4．正(余)弦定理的应用思考4：解三角形中，若已知两边a，b和其中一边的对角A时，三角形的解唯一确定吗？有哪几种情形？研讨：三角形的解不唯一确定，可能出现一解、两解或无解的情况：A＞90°A＝90°A＜90°a＞b一解一解一解bsinA＜a＜b两解a＝bsinA或a≥b一解a＜b无解无解a＜bsinA无解考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评1．(2012·江西)若sinα＋cosαsinα－cosα＝12，则tan2α＝()．A．－34B.34C．－43D.43解析由sinα＋cosαsinα－cosα＝12，得tanα＋1tanα－1＝12.∴tanα＝－3，则tan2α＝2tanα1－tan2α＝34.答案B考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评2．(2012·广东)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝()．A．43B．23C.3D.32解析在△ABC中，ACsinB＝BCsinA.∴AC＝BC·sinBsinA＝23.答案B考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评3．(2012·上海)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是()．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定解析由正弦定理，得a2＋b2＜c2.∴cosC＝a2＋b2－c22ab＜0，则C为钝角，故△ABC为钝角三角形．答案C考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评4．(2012·北京)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－14，则b＝________.解析由b＋c＝7，知c＝7－b，又b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝4＋(7－b)2－4(7－b)×－14.整理得15b＝60，∴b＝4.答案4考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评典例对接类型一三角变换及应用【例1】(2012·连云港质检)已知函数f(x)＝sinx＋7π4＋cosx－3π4，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cosβ＋α＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f(β)]2－2＝0.考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评[思路点拨](1)先把已知角转化为x－π4，再化简．(2)利用两角和与差的余弦公式展开，再求cosαcosβ的值．[尝试解答](1)∵f(x)＝sinx＋7π4－2π＋sinx－3π4＋π2＝sinx－π4＋sinx－π4＝2sinx－π4.∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评(2)证明：由cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，得cosβcosα＋sinβsinα＝45，cosβcosα－sinβsinα＝－45.两式相加得2cosβcosα＝0.∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2，∴[f(β)]2－2＝4sin2π4－2＝0.考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评[规律方法]1.第(2)问中，注意到结论中仅涉及角“β”，因此运用两角和、差的余弦公式转化为单角的三角函数．2．灵活应用两角和差与二倍角公式是三角变换的关键，在遇到较复杂的三角函数等式时，一般可以先利用相应的公式把等式进行化简，再进一步求相关的量．考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评【变式训练1】(2012·重庆调研)已知sinα＝12＋cosα，且α∈0，π2，求cos2αsinα－π4的值．解依题意得sinα－cosα＝12，∴1－2sinαcosα＝14，2sinαcosα＝34.则(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝74.由0＜α＜π2，知sinα＋cosα＝72＞0.考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评所以cos2αsinα－π4＝cos2α－sin2α22sinα－cosα＝－2(sinα＋cosα)＝－142.考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评类型二正(余)弦定理【例2】(2012·沈阳模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a.(1)求ba；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.[思路点拨](1)利用正弦定理，化去角B的三角函数，再化简求值．(2)由条件结构特征，联想到余弦定理，求cosB的值，进而求出角B.考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评[尝试解答](1)由正弦定理，得asinB＝bsinA，又asinAsinB＋bcos2A＝2a，∴bsin2A＋bcos2A＝2a，即b＝2a.因此ba＝2.(2)由c2＝b2＋3a2及余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝1＋3a2c.(*)又由(1)知，b＝2a，∴b2＝2a2.考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评因此c2＝(2＋3)a2，c＝2＋3a＝3＋12a.代入(*)式，得cosB＝22，又0＜B＜π，所以B＝π4.考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评[规律方法]以三角形为载体考查三角变换是近年高考的热点，要时刻注意它的两重性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及三角形的有关性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的．考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评【变式训练2】(2012·新课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.解(1)由acosC＋3asinC－b－c＝0，及正弦定理得sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－sinC＝0.因为B＝π－A－C，所以3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评由于sinC≠0，所以sinA－π6＝12.又0＜A＜π，故A＝π3.(2)△ABC的面积S＝12bcsinA＝3，故bc＝4.由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评类型三解三角形及其综合应用【例3】(2012·山东)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.[思路点拨](1)从要证的结论看，需将条件中角的三角函数化为边，因此需统一为正弦函数，然后运用三角变换公式化简．(2)由(1)的结论，联想余弦定理，求cosB，进而求出△ABC的面积．考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评[尝试解答](1)证明：在△ABC中，由于sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC，所以sinBsinAcosA＋sinCcosC＝sinAcosA·sinCcosC，所以sinB(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAsinC.所以sinBsin(A＋C)＝sinAsinC.又A＋B＋C＝π，所以sin(A＋C)＝sinB，所以sin2B＝sinAsinC.由正弦定理得b2＝ac，考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评即a，b，c成等比数列．(2)因为a＝1，c＝2，所以b＝2.由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝12＋22－22×1×2＝34.因为0＜B＜π，所以sinB＝1－cos2B＝74，故△ABC的面积S＝12acsinB＝12×1×2×74＝74.考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评[规律方法]三角形中的边角计算是近年命题的重点，解决这类问题要抓住两点：(1)根据条件，恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化；(2)结合内角和定理、面积公式，灵活运用三角恒等变换公式．考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评【变式训练3】在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)·sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．解(1)由已知，根据正弦定理得：2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，又A∈(0，π)，∴A＝2π3.考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评(2)由(1)中a2＝b2＋c2＋bc及正弦定理可得：sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，即322＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，得sinB＝sinC＝12.∵0＜B＜π2，0＜C＜π2，∴B＝C＝π6.∴△ABC是等腰的钝角三角形．考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评类型四正(余)弦定理的实际应用【例4】(2012·惠州调研)如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评[思路点拨]由题设条件，先在△ABD中求BD，再在△BDC中求CD，进而求出时间．[尝试解答]由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝45°，∴∠ADB＝105°.∴sin105°＝sin45°·cos60°＋cos45°·sin60°＝22×12＋22×32＝2＋64.在△ABD中，由正弦定理得：BDsin∠DAB＝ABsin∠ADB，考点对接高考瞭望典例对接活页规范训练专题综合测评∴BD＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3×222＋64＝1031＋31＋3＝103(海里)．又∠DBC＝180°－6