3-7正弦定理和余弦定理资料

考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形第7课时正弦定理和余弦定理考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝，b2＝，c2＝.asinA＝bsinB＝csinCb2＋c2－2bc·cosAc2＋a2－2ca·cosBa2＋b2－2ab·cosC考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形定理正弦定理余弦定理变形形式①a＝，b＝，c＝；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a∶b∶c＝；cosA＝；cosB＝；cosC＝.2RsinA2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinCa2Rb2Rc2Rb2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形[思考探究]在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的什么条件？提示：充要条件．因为sinA＞sinB⇔a2R＞b2R⇔a＞b⇔A＞B.考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形1．已知△ABC，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，a＝2，b＝3，B＝60°，则A等于()A．30°B．45°C．45°或135°D．30°或150°考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形答案：B解析：由正弦定理得asinA＝bsinB，∴sinA＝asinBb＝2sin60°3＝22，又∵2＜3，即a＜b，∴A＜B＝60°，∴A＝45°.考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形答案：B2．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB等于()A.14B.34C.24D.23解析：由已知得b2＝ac，c＝2a，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝5a2－2a24a2＝34.考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形答案：C3．在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝13，则△ABC的面积为()A．33B．23C．43D.3解析：∵cosC＝13，∴sinC＝223，∴S△ABC＝12absinC＝12×32×23×223＝43.考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形4．在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，sinA＝13，则a＝________．解析：根据正弦定理应有asinA＝bsinB，∴a＝bsinAsinB＝5×1322＝523.答案：523考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形5．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为________．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos60°＝ac，即a2－2ac＋c2＝0，∴a＝c.又B＝60°，∴△ABC为等边三角形．答案：等边三角形考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形(2011·辽宁卷)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a.(1)求ba；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形解析：(1)由正弦定理，得sinAsinAsinB＋sinBcos2A＝2sinA∴sinB＝2sinA，所以ba＝2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cosB＝（1＋3）a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12.又cosB0，故cosB＝22，所以B＝45°.考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形1.利用正弦定理可解决以下两类三角形：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边的对角，求其他边角．2．利用余弦定理可解两类三角形：一是已知两边和它们的夹角，求其他边角；二是已知三边求其他边角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形1.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cos2C＝－14.(1)求sinC的值；(2)当a＝2，2sinA＝sinC时，求b及c的长．解析：(1)∵cos2C＝1－2sin2C＝－14，∴sin2C＝58，又0Cπ，∴sinC＝104.考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形(2)当a＝2，2sinA＝sinC时，由正弦定理得asinA＝csinC，∴c＝a·sinCsinA＝2×2sinAsinA＝4.由cos2C＝2cos2C－1＝－14及0Cπ得cosC＝±64，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，整理得b2±6b－12＝0，解得b＝6或b＝26，所以b＝6c＝4或b＝26c＝4.考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形(2012·山东临沂一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝3，试判断△ABC的形状．解析：(1)由2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∴A＝60°.考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°.由sinB＋sinC＝3，得sinB＋sin(120°－B)＝3，∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝3.∴32sinB＋32cosB＝3，即sin(B＋30°)＝1.∵0°B120°，∴30°B＋30°150°.∴B＋30°＝90°，B＝60°.∴A＝B＝C＝60°，△ABC为正三角形．考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形．如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A、B、C的范围对三角函数值的影响．考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形2.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且A，B，C成等差数列，求角B的大小并判断△ABC的形状．考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形解析：∵A，B，C成等差数列，A＋B＋C＝π，∴2B＝A＋C，∴B＝π3.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac，①又∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.②由①和②知a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵B＝π3，∴△ABC是等边三角形．考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB＝45，b＝2.(1)当A＝30°时，求a的值；(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形解析：(1)因为cosB＝45，所以sinB＝35.由正弦定理asinA＝bsinB，可得asin30°＝103.所以a＝53.考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形(2)因为△ABC的面积S＝12acsinB，sinB＝35，所以310ac＝3，ac＝10.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得4＝a2＋c2－85ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20.所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40，所以，a＋c＝210.考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形在解决三角形问题中，面积公式S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若锐角C满足sinC＝104，且a＝2，c＝4，求△ABC的面积．考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形解析：∵角C为锐角，sinC＝104.∴cosC＝64，由余弦定理，得b2＋4－2×2b×64＝16，即b2－6b－12＝0，解得b＝26或b＝－6(不符合题意，舍去)．∴S△ABC＝12absinC＝12×2×26×104＝15.考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形1．解三角形常见题型及求解方法(1)已知两角A、B与一边a，由A＋B＋C＝180°及asinA＝bsinB＝csinC，可求出角C，再求出b，c.(2)已知两边b，c，与其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccosA，求出a，然后由正弦定理，求出角B，C.(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理asinA＝bsinB，求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，求出C，再由asinA＝csinC，求出c.而通过asinA＝bsinB求B时，可能出现一解，两解或无解的情况，其判断方法如下表：考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形2.判断三角形的形状在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解.A90°A＝90°A90°ab一解一解一解a＝b无解无解一解ab无解无解absinA两解a＝bsinA一解absinA无解考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形从近两年的高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考的热点．主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象和性质等交汇命题，多以解答题的形式出现，属解答题中的低档题．考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形正、余弦定理解答题答题技法·轻松圆梦满分(本小题满分10分)(2011·湖北卷)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知a＝1，b＝2，cosC＝14.(1)求△ABC的周长；(2)求cos(A－C)的值．考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形解析：(1)∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－4×14＝4，1分∴c＝2.3分∴△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5.4分考点大整合考向大突破考题大攻略考前大冲关工具栏目导引第三章三角函数、解三角形(2)∵cosC＝14，∴sinC＝1－cos2C＝1－142＝154.5分∴sinA＝asinCc＝1542＝158.6分∵ac，∴AC，故A为锐角，∴cosA＝1－sin2A＝1－