3-7第七节 正弦定理、余弦定理应用举例(55张PPT)

第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节第七节►►正弦定理、余弦定理应用举例读教材·抓基础研考点·知规律拓思维·培能力考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节高考这样考考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中和三角形有关的角度、方向、距离等测量问题.考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节备考这样做1.会从实际问题抽象出解三角形问题，培养建模能力．2.掌握解三角形实际应用的基本方法，体会数学在实际问题中的应用.考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节回扣教材扫除盲点D读教材·抓基础考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节课本导读1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角(如图①)．上方下方考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节2．方位角从指北方向转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．顺时针考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节3．方向角相对于某一正方向的水平角(如图③)(1)北偏东α°，即由指北方向旋转α°到达目标方向．(2)北偏西α°，即由指北方向旋转α°到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．顺时针逆时针考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节4．坡度(比)坡角：坡面与水平面所成的的度数(如图④，角θ为坡角)．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度(比))．二面角考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节疑点清源1．合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型．2．把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值．3．合理运用换元法、代入法解决实际问题．考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节基础自评1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为()A．α＞βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°解析根据仰角与俯角的定义易知α＝β.答案B考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°.且AC＝BC，则点A在点B的()A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节解析如图．答案B考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节3．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时()A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节解析如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10(海里)，在Rt△ABC中，得AB＝5(海里)，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)．答案C考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节4．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是__________海里．解析由正弦定理，知BCsin60°＝ABsin180°－60°－75°.解得BC＝56(海里)．答案56考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节5．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为________米．考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节解析如图所示，山的高度MN＝200米，塔高为AB，CN＝MB＝2003，AC＝NC3＝2003·3＝2003.所以塔高AB＝200－2003＝4003(米)．答案4003考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节探究悟道点拨技法Y研考点·知规律考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节题型一测量距离问题【例1】某市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节(1)求AB的长度；(2)若不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)．听课记录(1)在△ABC中，由余弦定理得cosC＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝82＋52－AB22×8×5，在△ABD中，由余弦定理得cosD＝AD2＋BD2－AB22AD·BD＝72＋72－AB22×7×7，考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节由∠C＝∠D得cosC＝cosD.解得AB＝7，所以AB的长度为7米．(2)小李的设计使建造费用最低．理由如下：易知S△ABD＝12AD·BDsinD，S△ABC＝12AC·BCsinC，因为AD·BDAC·BC，且∠C＝∠D，所以S△ABDS△ABC.故选择△ABC的形状建造环境标志费用较低．考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节【规律方法】求距离问题要注意：(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节变式思考1如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝105°，∠CBA＝45°，且AB＝100m.(1)求sin∠CAB的值；(2)求该河段的宽度．考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节解(1)sin∠CAB＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝32×22＋12×22＝6＋24.(2)因为∠CAB＝105°，∠CBA＝45°，所以∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝30°.由正弦定理，得ABsin∠ACB＝BCsin∠CAB，考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节则BC＝AB·sin105°sin30°＝50(6＋2)(m)．如图所示，过点D作CD⊥AB，垂足为D，则CD的长就是该河段的宽度．在Rt△BDC中，CD＝BC·sin45°＝50(6＋2)×22＝50(3＋1)(m)．所以该河段的宽度为50(3＋1)m.考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节题型二测量高度问题【例2】如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20m，求山高CD.题图答图考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节听课记录如图，设CD＝xm，则AE＝x－20m，tan60°＝CDBD，∴BD＝CDtan60°＝x3＝33x(m)．在△AEC中，x－20＝33x，解得x＝10(3＋3)m.故山高CD为10(3＋3)m.考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节【规律方法】①测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；②分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节变式思考2如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节解在△BCD中，∠CBD＝π－α－β，由正弦定理得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD，所以BC＝CDsin∠BDCsin∠CBD＝s·sinβsinα＋β在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝stanθsinβsinα＋β.考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节题型三测量角度问题【例3】如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以103nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船．考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节听课记录设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD＝103t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝6.∴BC＝6，且sin∠ABC＝ACBC·sin∠BAC＝26·32＝22.考源教学资源网页名师一号高考总复习模块新课标新课标A版数学第三章第七节∴∠ABC＝45°.∴BC与正北方向垂直．∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10tsin120°103t＝12，∴∠BCD＝30°.答：缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船．考源教学资源网返回导航