3-8 正弦定理和余弦定理的应用资料

抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）[最新考纲展示]能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.第八节正弦定理和余弦定理的应用抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）实际应用中的常用术语抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）____________________[通关方略]____________________1．仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．2．利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．3．解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°解析：由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.答案：D抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）2．某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是3km，那么x的值为()A.3B．23C.3或23D．3抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）答案：C解析：如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理得(3)2＝x2＋32－2x·3·cos30°，整理得x2－33x＋6＝0，解得x＝3或23.抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）3．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是________海里．解析：由正弦定理，知BCsin60°＝ABsin180°－60°－75°.解得BC＝56(海里)．答案：56抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）4．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20m，则折断点与树干底部的距离是________m.解析：如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，所以∠OAB＝60°.由正弦定理知，AOsin45°＝20sin60°，解得AO＝2063m.答案：2063抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）测量距离问题【例1】(2014年石家庄模拟)如图所示，有两座建筑物AB和CD都在河的对岸(不知道它们的高度，且不能到达对岸)，某人想测量两座建筑物尖顶A、C之间的距离，但只有卷尺和测量仪两种工具．若此人在地面上选一条基线EF，用卷尺测得EF的长度为a，并用测角仪测量了一些角度：∠AEF＝α，∠AFE＝β，∠CEF＝θ，∠CFE＝φ，∠AEC＝γ.请你用文字和公式写出计算A、C之间距离的步骤和结果．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）[解析]第一步：在△AEF中，利用正弦定理，得AEsinβ＝EFsin180°－α－β，解得AE＝asinβsinα＋β；第二步：在△CEF中，同理可得CE＝asinφsinθ＋φ；第三步：在△ACE中，利用余弦定理，得AC＝AE2＋CE2－2AE·CE·cosγ＝a2sin2βsin2α＋β＋a2sin2φsin2θ＋φ－2a2sinβsinφcosγsinα＋βsinθ＋φ.抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）反思总结求距离问题时要注意(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解；(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）变式训练1．隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距3km的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）解析：如图，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°.所以AC＝CD＝3.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，由正弦定理知BC＝3sin75°sin60°＝6＋22.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(3)2＋6＋222－2×3×6＋22×cos75°＝3＋2＋3－3＝5，所以AB＝5km，所以A，B两目标之间的距离为5km.抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）高度问题【例2】(2014年青岛模拟)如图，在湖面上高为10m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1m)()A．2.7mB．17.3mC．37.3mD．373m抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）[答案]C[解析]在△ACE中，tan30°＝CEAE＝CM－10AE.∴AE＝CM－10tan30°.在△AED中，tan45°＝DEAE＝CM＋10AE，∴AE＝CM＋10tan45°，∴CM－10tan30°＝CM＋10tan45°，∴CM＝103＋13－1＝10(2＋3)≈37.3(m)．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）反思总结求解高度问题首先应分清(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）变式训练2.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）解析：在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，BCsin45°＝CDsin30°，BC＝CDsin45°sin30°＝102.在Rt△ABC中，tan60°＝ABBC，AB＝BCtan60°＝106.答案：106抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）方位角问题【例3】(2014年福州模拟)如图，我国的海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其东北方向与它相距16海里的B处里一外国船只，且D岛位于海监船正东142海里处．(1)求此时该外国船只与D岛的距离；(2)观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行．为了将该船拦截在离D岛12海里处，不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值．(参考数据：sin36°52′≈0.6，sin53°08′≈0.8)抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）[解析](1)依题意，在△ABD中，∠DAB＝45°，由余弦定得，DB2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos∠DAB＝(142)2＋162－2×142×16×22＝200，所以DB＝102.即此时该外国船只与D岛的距离为102海里．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）(2)过点B作BC⊥AD于点C.因为在Rt△BAC中，AC＝AB·cos∠BAD＝16×22＝82，BC＝AB·sin∠BAD＝16×22＝82，所以CD＝AD－AC＝142－82＝62.以D为圆心，12为半径作圆交BC于点E，连接AE，DE.在Rt△CED中，CE＝ED2－CD2＝62，则BE＝82－62＝22.在Rt△AEC中，AE＝AC2＋CE2＝102，sin∠EAC＝CEAE＝35，所以∠EAC≈36°52′.又外国船只到达点E的时间t＝BE4＝224＝22(小时)，抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）反思总结解决方位角问题其关键是弄清方位角概念．结合图形恰当选择正、余弦定理解三角形，同时注意平面图形的几何性质的应用．所以海监船速率v≥AEt＝10222＝20(海里/小时)．故海监船的航向为北偏东约90°－36°52′＝53°08′，速度的最小值为每小时20海里．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）变式训练3.如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进mkm后在B处测量该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围nkm范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）答案：mcosαcosβnsin(α－β)解析：由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得BMsin90°－α＝msinα－β，解得BM＝mcosαsinα－β，要使该船没有触礁危险需满足BMsin(90°－β)＝mcosαcosβsinα－βn，所以当α与β的关系满足mcosαcosβnsin(α－β)时，该船没有触礁危险．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏山东金太阳书业有限公司提素能高效训练高考总复习A数学（理）——函数思想在解三角形中的应用函数思想在解三角形中常与余弦定理应用及函数最值求法相综合，此类问题综合性较强，能力要