2018届高三一轮复习课件第五章第2讲等差数列及其前n项和

第五章数列第2讲等差数列及其前n项和栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析突破考点名师讲坛提升素养分层演练直击高考第五章数列1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减它的前一项所得的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n∈N*，n≥2)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析突破考点名师讲坛提升素养分层演练直击高考第五章数列2．等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.亦可以用数列中的第m项am与公差d表示为an＝am＋(n－m)d.3．等差中项若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝a＋b2.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析突破考点名师讲坛提升素养分层演练直击高考第五章数列4．等差数列{an}的前n项和公式Sn＝na1＋n(n－1)2d＝n(a1＋an)2.5．等差数列的性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．(1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，特别地：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…，仍是等差数列，公差为kd.(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，也是等差数列．栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析突破考点名师讲坛提升素养分层演练直击高考第五章数列1．在等差数列{an}中，a1＝x－2，a2＝x，a3＝2x＋1，则x＝___．[解析]由等差数列定义知2x＝x－2＋2x＋1，解得x＝1.1栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析突破考点名师讲坛提升素养分层演练直击高考第五章数列2．在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，an－an－1＝3，则an＝________．3n2[解析]由定义知{an}是以3为首项，以3为公差的等差数列，故an＝3n，即an＝3n2.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析突破考点名师讲坛提升素养分层演练直击高考第五章数列3．已知数列{an}是等差数列，且a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，则a3＋a15＝________．234[解析]由等差中项公式可得2a9＝a5＋a13，又1＋17＝5＋13，所以a1＋a17＝a5＋a13.由题设易知a9＝117.所以a3＋a15＝2a9＝234.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析突破考点名师讲坛提升素养分层演练直击高考第五章数列4．设{an}是等差数列，若a5＝6，则数列{an}前9项的和为___．54[解析]等差数列{an}前9项的和S9＝9(a1＋a9)2＝9a5＝54.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析突破考点名师讲坛提升素养分层演练直击高考第五章数列5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝________．45[解析]由{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6也成等差数列，故2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析突破考点名师讲坛提升素养分层演练直击高考第五章数列1．必明辨的2个易错点(1)判断等差数列忽视首项．(2)等差数列一些重要性质能为解题带来方便，但做题时不能想当然，运用性质公式要有理有据，不能混淆一些性质．栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析突破考点名师讲坛提升素养分层演练直击高考第五章数列2．必会的3种方法思想(1)函数思想：在等差数列{an}中an＝dn＋c(d，c为常数)，是关于n的一次函数(或常数函数)，Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)是关于n的二次函数(或一次函数)．(2)方程思想：准确分析a1，d，an，Sn，n之间的关系，通过列方程(组)可做到“知三求二”．(3)整体思想：在应用等差数列{an}的性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq”时，要会用整体思想进行代换．栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析突破考点名师讲坛提升素养分层演练直击高考第五章数列1．已知等差数列{an}的前n项和记为Sn，S10＝10，S30＝70，则S40等于_____．[解析]由题意：10a1＋10×92d＝10，30a1＋30×292d＝70，得a1＝25，d＝215.代入得S40＝40a1＋40×392d＝120.此题易误将等差数列中Sm,S2m－Sm,S3m－S2m成等差数列误解为Sm,S2m,S3m成等差数列．从而导致错解S30＝S10＋2d.所以d＝30，所以S40＝S30＋d＝100.120栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析突破考点名师讲坛提升素养分层演练直击高考第五章数列2．等差数列{an}满足a3＝3，a6＝－3，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为________．16[解析]由a3＝3，a6＝－3得，a1＋2d＝3，a1＋5d＝－3，解得a1＝7，d＝－2.所以Sn＝na1＋n(n－1)2d＝－n2＋8n＝－(n－4)2＋16.所以当n＝4时Sn有最大值16.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析突破考点名师讲坛提升素养分层演练直击高考第五章数列3．(2016·高考江苏卷)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a22＝－3，S5＝10，则a9的值是________．20[解析]设等差数列{an}的公差为d，则a1＋a22＝a1＋(a1＋d)2＝－3，S5＝5a1＋10d＝10，解得a1＝－4，d＝3，则a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析突破考点名师讲坛提升素养分层演练直击高考第五章数列4．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n＋1.问数列{an}是否是等差数列？说明你的理由．[解]当n＝1时，a1＝S1＝3.当n≥2时，an＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝2n.所以an＝3，n＝1，2n，n≥2.所以{an}从第二项起是以4为首项，公差为2的等差数列．但对于整个数列不是等差数列．栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析突破考点名师讲坛提升素养分层演练直击高考第五章数列等差数列基本量的计算(1)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝________.(2)(2017·无锡模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sn＋2－Sn＝36，则n＝________.1928栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析突破考点名师讲坛提升素养分层演练直击高考第五章数列【解析】(1)因为公差为1，所以S8＝8a1＋8×(8－1)2×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.因为S8＝4S4，所以8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝12，所以a10＝a1＋9d＝12＋9＝192.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析突破考点名师讲坛提升素养分层演练直击高考第五章数列(2)法一：由题知Sn＝na1＋n(n－1)2d＝n＋n(n－1)＝n2，Sn＋2＝(n＋2)2，由Sn＋2－Sn＝36得，(n＋2)2－n2＝4n＋4＝36，所以n＝8.法二：Sn＋2－Sn＝an＋1＋an＋2＝2a1＋(2n＋1)d＝2＋2(2n＋1)＝36，解得n＝8.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析突破考点名师讲坛提升素养分层演练直击高考第五章数列等差数列基本运算的解题方法(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析突破考点名师讲坛提升素养分层演练直击高考第五章数列在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析突破考点名师讲坛提升素养分层演练直击高考第五章数列[解](1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n，所以Sn＝n[1＋(3－2n)]2＝2n－n2.由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析突破考点名师讲坛提升素养分层演练直击高考第五章数列等差数列的性质及应用(高频考点)(1)若等差数列{an}前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为______．(2)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有SnTn＝2n－34n－3，则a9b5＋b7＋a3b8＋b4的值为________．131941栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析突破考点名师讲坛提升素养分层演练直击高考第五章数列【解析】(1)因为a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，又因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an＝60，所以Sn＝n(a1＋an)2＝n·602＝390，即n＝13.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析突破考点名师讲坛提升素养分层演练直击高考第五章数列(2)因为{an}，{bn}为等差数列，所以a9b5＋b7＋a3b8＋b4＝a92b6＋a32b6＝a9＋a32b6＝2a62b6＝a6b6.因为S11T11＝a1＋a11b1＋b11＝2a62b6＝2×11－34×11－3＝1941，所以a6b6＝1941.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析突破考点名师讲坛提升素养分层演练直击高考第五章数列应用等差数列的性质应注意的两点(1)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m、n、p、q、k∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ak是常用的性质．(2)掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口．栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析突破考点名师讲坛提升素养分层演练直击高考第五章数列1.设数列{an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7＝________．28[解析]因为a3＋a4＋a5＝3a4＝12，所以a4＝4，所以a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析突破考点名师讲坛提升素养分层演练直击高考第五章数列2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________．60[解析]因为S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，所以2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，所以40＝10＋S30－30，所以S30＝60.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析突破考点名师讲坛提升素养分层演练直击高考第五章数列等差数列的判定与证明已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝12.(1)求证：1Sn是等差数列；(2)求an的表达式．栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析突破考点名师讲坛提升素养分层演练直击高考第五章数列【解】(1)证明：Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0，两边同除以Sn·Sn－1，得1Sn－1－1Sn＋2＝0，即1Sn－1Sn－1＝2(n≥2)，所以1Sn是以2为首项，2为公差的等差数列．栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析突破考点名师讲坛提升素养分层演练直击高考第五章数列(2)由(1)知1Sn＝1S1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，所以Sn＝12n.