第2章 特殊三角形1

(一)等腰三角形的性质与判定1.性质(1)：等腰三角形的两个底角相等。(2)：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。2.判定定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。等边三角形:1,三个角都相等的三角形是等边三角形。2,有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。(一)以等腰三角形为条件时的常用辅助线:如图：若AB=AC①作AD⊥BC于D，必有结论:∠1=∠2，BD=DC②若BD=DC，连结AD，必有结论：∠1=∠2，AD⊥BC③作AD平分∠BAC必有结论：AD⊥BC，BD=DC作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作AD⊥BC，使∠1=∠2.ABCD12分析：我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出已知和求作并构思整个作图过程……已知：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC=a，高AD=h作法：1、作PQ⊥MN，垂足为D2、在DM上截取DA=h3、以点A为圆心，以a为半径作弧，交PQ于点B、C4、连结AB、AC则△ABC为所求的三角形。ABCDahABCDMNhaPQ例1已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。例2.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。证明：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）∴BD⊥AC于D，CE⊥AB于E∴∠BEC=∠CDB=90°∴∠1+∠ACB=90°，∠2+∠ABC=90°（直角三角形两个锐角互余）∴∠1=∠2（等角的余角相等）∴BM=CM（等角对等边）ABCD12EM说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。例3.已知：如图，∠A=90°，∠B=15°，BD=DC.请说明AC=BD的理由.解∵BD=DC，∠B=15°∴∠DCB=∠B=15°（等角对等边）∴∠ADC=∠B+∠DCB=30°（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠A=90°∴AC=DC∴AC=BD2121ABCD21例4.已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点.求证：△MDE是等腰三角形.分析：要证△MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结CM，可利用△BMD≌△CME得到结果。证明：连结CM∵∠C=90°，BC=AC∴∠A=∠B=45°∵M是AB的中点∴CM平分∠BCA（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）∴∠MCE=∠MCB=∠BCA=45°∴∠B=∠MCE=∠MCB∴CM=MB（等角对等边）在△BDE和△CEM中∴△BDM≌△CEM（SAS）∴MD=ME∴△MDE是等腰三角形CMBMMCEBCEBDABCDEM例5.如图，在等边△ABC中，AF=BD=CE，请说明△DEF也是等边三角形的理由.解：∵△ABC是等边三角形∴AC=BC，∠A=∠C∵CE=BD∴BC－BC=AC－CE∴CD=AE在△AEF和△CDE中∴△AEF≌△CDE（SAS）∴EF=DE同理可证EF=DF∴EF=DE=DF∴△DEF是等边三角形CEAFCACDAEABCDEF说明：证明等边三角形有三种思路：①证明三边相等②证明三角相等③证明三角形是有一个角为60°的等腰三角形。具体问题中可利用不同的方式进行求解。例7.如图2-8-6，在△ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q.请说明BP=2PQ的理由.思路在Rt△BPQ中，本题的结论等价于证明∠PBQ=30°证明∵AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°，AE=CD，∴△BAE≌△ACD∴∠ABE=∠CAD∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=60°又∵BQ⊥AD∴∠PBQ=30°∴BP=2PQ说明本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方法值得同学们细心体会。例8：如图、在△ABC中，D，E在直线BC上，且AB=BC=AC=CE=BD，求∠EAC的度数。探索：如图、在△ABC中，D，E在直线BC上，且AB=AC=CE=BD，∠DAE=100°，求∠EAC的度数。DECBADECBA1.下列结论叙述正确的个数为（）（1）等腰三角形高、中线、角平分线重合；（2）等腰三角形两底角的外角相等；（3）等腰三角形有且只有一条对称轴；（4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个2.等腰三角形顶角为36°，底角为_________。3.等腰三角形顶角和一个底角之和为100°，则顶角度数为_____________。4.等腰三角形两个角之比为4:1，则顶角为__________，底角为___________。5.等腰三角形两边长为4、6，这个三角形周长为_____________。6.已知△ABC中AB=AC，AB垂直平分线交AC于E，交AB于D，连结BE，若∠A=50°，∠EBC=__________。7.△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，若△ABC的周长为50，△ABD的周长为40，则AD=____________。8.若等腰三角形顶角为n度，则腰上的高与底边的夹角为_____________。9.如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个?ＯＤ150°ＣaＥＦＨ10.已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成２：１两部分，已知三角形底边长为５，求腰长？解：如图，令CD＝x，则AD＝x，AB＝2x∵底边BC＝5∴BC＋CD＝5＋xAB＋AD＝3x∴(5+x)：3x＝2:1或3x：(5+x)=2:1ＡＢＣＤxx2x511、如图，D是正△ABC边AC上的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，说明BD=DE的理由.ABCED12解:∵△ABC是正三角形∴∠ABC=∠ACB=600（）∵D是AC边上的中点∴∠1=∠ABC=300（）12∵CE=CD∴∠2=∠E（）∵∠2+∠E=∠ACB=600（）∴∠E=300，∴∠1=∠E∴BD=DE（）12、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠CAB的平分线AD交BC于D，AB边上的高线CE交AB于E，交AD于F，求证：CD=CFBACED12F分析：CD=CF∠1=∠2∠1=∠B+∠BAD∠2=∠3+∠DAC∠3=∠B∠1=90°－∠BAD∠２=90°－∠CAD∠ACB=90°，CE是AC边上高小结1、等腰三角形的有关概念。2、等腰三角形的识别。3、应用等腰三角形的性质定理和三线合一性质解决有关问题。4、通过习题，能总结代数法求几何角的大小、线段长度的方法。例1.已知：如图，AB=AC，AD=AE，求证：BD=ECABCDEF方法一：利用全等知识方法二：利用“三线合一”例2.如图，等边△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，OE∥AB，OF∥AC，求图中等腰三角形的个数。OABCEF解：有5个等腰三角形，分别是△ABC，△BOC，△COF，△OBC△OEF。例3.已知，如图，等边△ABC和等边△CDE中。求证：BE=ADABCDE分析：要证明的两条线段分布在两个不同的三角形中，考虑先证线段所在的三角形全等，根据等边三角形的性质，易得AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°∴∠ACB-∠ACE=∠ECD-∠ACE∴∠BCE=∠ACD，由“边角边”可证将△CDE绕点C逆时针旋转到如图位置，刚才的结论还成立吗？ABCDE变形题（1）分析：要证明BE=AD，思想方法仍是利用“SAS”证两个三角形全等，有所不同的是这里证角等是通过“和”，即∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD∴∠ACD=∠BCE将△CDE绕点C继续旋转，使B、C、D共线，刚才的结论还成立吗？ABCDE变形题（2）证明：∵在等边△ABC和等边△CDE中AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°又∵B，C，D三点共线，∴∠ACE=60°∴∠ACD=∠BCE=120°在△ACD和△BCE中AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴BE=AD分析：要证明BE=AD，思想方法仍是先证两个三角形全等，这里证角等还是通过“和”已知，如图，等边△ABC和等边△CDE中，B、C、D共线，BC与AC交于M，AD与CE交于N。求证：CM=CNABCDE变形题（3）MN分析：上题已证△ACD≌△BCE所以，∠CBM=∠CAN，BE=AD，又因BC=AC，利用“边角边”条件可判定△BCM≌△CAN，结论成立。已知，如图，等边△ABC和等边△CDE中，B、C、D共线，BE与AC交于M，AD与CE交于N，连结MN。求证：△CMN是等边三角形ABCDE变形题（4）MN分析：由上一题的结论已知CM=CN，根据等边三角形的判定方法，只要其中有一个角为60°即可，根据条件易得∠MCN为60°例4、已知AB=AC，EB=EC，求证∠B=∠CABCE变式：已知AB=AC，∠B=∠C，求证EB=EC如图是某城市部分街道示意图，△ABC和△CDE都是等边三角形，A、B、C、D、E、F、G、H为公共汽车停靠站。公共汽车甲从A站出发，按照A、H、G、D、E、C、F的顺序到达F站。公共汽车乙从B站出发，按照B、F、H、E、D、C、G的顺序到达G。如果甲、乙分别从A、B站出发，在各站耽误的时间相同，两车行驶的速度也一样，试问哪辆公共汽车先到达指定车站。ABCDE拓展应用FGH1.如图,在三角形ABC中,AB=AC,∠A=36,你能把ABC分成三个等腰三角形吗?(提供两中以上不同的作图方案)ABCDEABCDEABCABCABCABC区别与上一题能否用剪刀剪一刀把一个等腰三角形分成两个等腰三角形？若能，求出原来的等腰三角形的顶角的度数。3。已知等腰三角形ABC的底边为AB,直线L过直角顶点C.过点A,点B分别作L的垂线为AE,BF,垂足分别为E、F。（1）如图甲，当直线L不与底边AB相交时，求证：EF=AE+BF（2）当直线L绕点C顺时针旋转，使直线L交底边AB于点D，且AD﹥BD，请在图乙中画出相应的图形，写出EF，AE，BF之间的等量关系。ECFLABBLCADEF1.我们学校有一块形状是等腰三角形的花坛,其中有一个角是36°(如图),现想在花坛中种上三种不同的花,且形状都是等腰三角形,请你试着分一分,在图上画出来.BACABCABC36°36°72°72°36°36°108°72°72°36°108°36°36°36°36°108°36°36°36°36°72°72°72°72°108°2.在纸上画出4个点,要求任意三个点组成的三角形都是等腰三角形,请问这四个点怎样放?就一种情况吗?(若画5个点呢?请在课后完成!)例6.如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于G请说明DG=EG的理由.思路因为△GDB和△GEC不全等，所以考虑在△GDB内作出一个与△GEC全等的三角形。说明本题易明显得出DG和EG所在的△DBG和△ECG不全等，故要构造三角形的全等，本题的另一种证法是过E作EF∥BD，交BC的延长线于F，证明△DBG≌△EFG，同学们不妨试一试。