2.2线性微分方程与常数变易法

§2.2线性方程与常数变易法0)()()(xcyxbdxdyxa一阶线性微分方程的区间上可写成在0)(xa()()(2.28)dyPxyQxdx的连续函数在考虑的区间上是这里假设xxQxP)(),(()0,(2.28)Qx若则变为()(2.3)dyPxydx(2.3)阶齐称为；线一次性微分方程()0,(2.28)Qx一阶非齐次线性微若则称为分方程.一一阶线性微分方程的解法-----常数变易法解对应的齐次方程01()(2.3)dypxydx得对应齐次方程解常数变易法求解02((),(2.28))cxcx将常数变为的待定函数使它为的解(),pxdxycec为任意常数()()(2.28),pxdxycxe令为的解则()()(2.28)dyPxyQxdxdxxpdxxpexpxcedxxdcdxdy)()()()()(代入(2.28)得dxxpexQdxxdc)()()(积分得()()()pxdxcxQxedxc03(2.28)故的通解为()()(())(2.31)pxdxpxdxyeQxedxc注求(2.28)的通解可直接用公式(2.31)此外，方程(2.28)的通解也可以写成000()()[()]xsxxPtdtPtdtxxyecQseds或00()()()xxxsPtdtxPtdtxyceQseds此外，还要注意方程形式，如果方程形如()()dyPxyQxdx则通解形如()()(())pxdxpxdxyecQxedx或00()()()xxxsPtdxxtPtdtyceQseds初值问题00()0()dypxydxyxy的解为00exp(())xxyypxdx初值问题00()()()dypxygxdxyxy的解为0000exp(())()exp()xxsxxxyypdgspdds例1求方程1)1()1(nxxenydxdyx通解,这里为n常数解:将方程改写为nxxeyxndxdy)1(1首先,求齐次方程yxndxdy1的通解从yxndxdy1分离变量得dxxnydy111lnlncxny两边积分得故对应齐次方程通解为(1)nycx其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,()(1),nycxx令为原方程的通解代入得11()(1)()(1)()(1)(1)nnnxndcxxncxxncxxexdx即()xdcxedx积分得()xcxec故通解为(1)(),nxyxecc为任意常数()1(1)ndxpxdxnxycececx例2求方程22yxydxdy通解.解:，y的线性方程原方程不是未知函数但将它改写为yyxdydx22即yxydydx2，yx为自变量的线性方程为未知函数它是以,故其通解为()()(())pydypydyxeQyedyc22(())dydyyyeyedyc2(ln),yycc为任意常数.例3求初值问题1)1(,1432yxyxdxdy的解.解:先求原方程的通解()()(())pxdxpxdxyeQxedxc332((41))dxdxxxexedxc3231((41))xxdxcx321(4ln)2xxcx343ln2xxxcx代入后得将初始条件1)1(y32c故所给初值问题的解为223ln343xxxxy343ln2xyxxcx线性微分方程解的性质:1.齐次方程的解或者恒为零，或恒不为零。2.齐次方程任何解的线性组合仍是它的解。3.齐次方程的任一解与非齐次方程的任一解之和仍为非齐次方程的解。4.非齐次方程的两解之差为对应齐次方程的解。5.非齐次方程的任一解与对应齐次方程的通解之和是非齐次方程的通解。线性非齐次方程初值解公式在理论上的意义我们可以利用它来研究解的性质，对解进行“估值”.证方程()dxxftdt的所有解均在[0,)上有界。例：设函数()ft在上连续且有界,试[0,)证：设()xxt为方程的任一解，它满足某初始条件00()xtx0[0,)t我们只证0()[,]xtt在上有界。于是00()()0()()tttsttxtxefseds000()()[()]xsxxPtdtPtdtxxyecQseds设(),[0,)ftMt于是，对0tt有00()0()()tttsttxtxefseds00ttstxMeeds0()0[1]ttxMe0xM证毕。00()()0()()tttsttxtxefseds例设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:()(),()(),(0)0,fxgxgxfxf且(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(2)求出F(x)的表达式.解:(1)()()()()()Fxfxgxfxgx22()()gxfx2[()()]2()()gxfxfxgx2(2)2()xeFx所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:()()2.xfxgxe2()2()4xFxFxe(2)由一阶线性微分方程解的公式得2d2d2()4dxxxFxeeexC244dxxeexC(0)(0)(0)0Ffg将代入上式，1C得，于是22().xxFxee2()2()4xFxFxe22xxeCe(Bernoulli)二伯努利方程形如()()0,1ndypxyQxyndx，的方程,称为伯努利方程.。xxQxP的连续函数为这里)(),(解法:方程变为引入变量变换,110nyz)()1()()1(xQnzxPndxdz求以上线性方程的通解02变量还原03例4求方程yxxydxdy222的通解.解:,1,nBernoulli方程这是代入方程得令,2yz21xzxdxdz解以上线性方程得)(121cdxexezdxxdxx321xcx:2为代入得所给方程的通解将yz3221xcxy26dyyxydxx22(1)(41)81dyxyxydx（5）22221168181(41)2dyxxyyxydxxy解：方程化为14xyu令，14dyduxdxdx则关于求导得，21944duudx所以，2149dudxu分离变量，228arctan()6333xyxcc两边积分得，为任意常数.即为原方程通解.P436252222dyyxdxxyxy（6）P43322332223232()23[()2](22dyyxdyyxdxyxyxdxxyx，3yu令，则原方程化为解：原方程整理得222223636221uduuxxudxxuxxuzx令，dudzzxdxdx则，23621zdzzxzdx所以，26...........(1)21dzzzxdxz即，260321zzzz当，得或是（）方程的解。3332yxyx即或是方程的解。2221160zzzdzdxzzdx当时，变量分离，7353)(2),zzxc两边积分的（373353)(2)yxyxxc即（，33320yxyxc又因为或包含在通解中当时。373315(3)(2).yxyxcxc故原方程的解为，为任意常数P43解：原方程化为2222222222(231)231(321)321dyxxydyxydxyxydxxy即有22231,,.......(1)321duvuyuxvdvvu令则231011113210vuZvYuvu方程组的解为（，）；令，，，23132YdyZYdzZ从而方程（）化为YtZ令，222...........(2)32dYdtdtttZZdZdZdZt则有，所以，32232332dyxxyxdxxyyy（7）2220t当时，1(2)t即，是方程的解。22222yxyx得或是原方程的解；2220t当时，分离变量得22222yxyx此外，或，包含在其通解中，22225(2).yxyxcc故原方程的解为，为任意常数22225(2)yxyxc两边积分得，232122tdtdZtZ，3223237328dyxxyxdxxyyy2370232801vuuvuv方程组的解为32232332dyxxyxdxxyyy4.已知试求函数的一般表达式.0()()1(0),xfxftdtx()fxP43解设(),yfx则原方程化为01(),xftdty两边对x求导，并整理得3,yy求得其通解为12yxc代入原方程的c=0，所以1().2fxxP43的连续函数，证明该方程的非零解以为周期的作业P49必做1(1)(2)(6)(8)选作2思考题(选作)（2）设方程的系数是以为周期()0dypxydx()px0()0.pxdxlim[()()]0,xyxyx试证：lim()0.xyx设在上连续可微，且有()yx[0,)（1）充要条件是伯努利在科学史上，父子科学家、兄弟科学家并不鲜见，然而，在一个家族跨世纪的几代人中，众多父子兄弟都是科学家的较为罕见，其中，瑞士的伯努利家族最为突出。伯努利家族3代人中产生了8位科学家，出类拔萃的至少有3位；而在他们一代又一代的众多子孙中，至少有一半相继成为杰出人物。伯努利家族的后裔有不少于120位被人们系统地追溯过，他们在数学、科学、技术、工程乃至法律、管理、文学、艺术等方面享有名望，有的甚至声名显赫。最不可思议的是这个家族中有两代人，他们中的大多数数学家，并非有意选择数学为职业，然而却忘情地沉溺于数学之中，有人调侃他们就像酒鬼碰到了烈酒。老尼古拉·伯努利（NicolausBernoulli，公元1623～1708年）生于巴塞尔，受过良好教育，曾在当地政府和司法部门任高级职务。他有3个有成就的儿子。其中长子雅各布（Jocob，公元1654～1705年）和第三个儿子约翰（Johann，公元1667～1748年）成为著名的数学家，第二个儿子小尼古拉（NicolausI，公元1662～1716年）在成为彼得堡科学院数学界的一员之前，是伯尔尼的第一个法律学教授。家族简介