2018高考数学异构异模复习第八章立体几何8.5.2利用空间向量求空间角与距离课件理

第八章立体几何第5讲空间向量与立体几何考点二利用空间向量求空间角与距离撬点·基础点重难点1求两条异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θa与b的夹角〈a，b〉范围0θ≤π20〈a，b〉π求法cosθ＝|cos〈a，b〉|＝|a·b||a||b|cos〈a，b〉＝a·b|a||b|2求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|.3二面角的平面角的求法设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图①②)．4点到平面的距离的向量求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝|AB→·n||n|.注意点二面角的大小与两法向量夹角的关系求出两平面法向量的夹角后，一定要根据图形来判断二面角的大小与两法向量夹角的关系是相等还是互补.1．思维辨析(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．()(4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，二面角的范围是[0，π]．()×√××2．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于()A.105B.155C.45D.23解析本题考查空间向量的运算．设正方体的棱长为2，建立如右图所示的坐标系，O(1,1,0)，E(0,2,1)，F(1,0,0)，D1(0,0,2)，∴FD1→＝(－1,0,2)，OE→＝(－1,1,1)．∴cos〈FD1→，OE→〉＝FD1→·OE→|FD1→|·|OE→|＝1＋0＋25·3＝155.3．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.64B.104C.22D.32解析如图，以A1C1中点E为原点建立空间直角坐标系E－xyz，设棱长为1，则A12，0，1，B10，32，0，设AB1与平面ACC1A1所成的角为θ，EB1为平面ACC1A1的法向量．则sinθ＝|cos〈AB1→，EB1→〉|＝－12，32，－1·0，32，02×32＝64.撬法·命题法解题法[考法综述]利用空间向量计算角和距离，首先要选取适当的坐标系，然后将所求的角或距离转化为某些向量的夹角或坐标运算，尤其是直线的方向向量、和平面的法向量的相关运算．命题法利用空间向量计算角和距离典例如图1，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．(1)求点B到平面PCD的距离；(2)求二面角C－AE－D的余弦值．[解](1)如图2，以A为原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A－xyz，则依题意可知A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，P(0,0,2)，PD→＝(0,4，－2)，CD→＝(－2,0,0)，BC→＝(0,4,0)，设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y,1)，则n·CD→＝0，n·PD→＝0，即－2x＝0，4y－2＝0，解得x＝0，y＝12，所以平面PCD的单位法向量为n|n|＝0，55，255，所以BC→·n|n|＝0，4，0·0，55，255＝455，则点B到平面PCD的距离为455.(2)由(1)可得E(0,2,1)，易知平面ADE的一个法向量为n1＝(1,0,0)．设平面ACE的一个法向量为n2＝(x′，y′，1)，又AE→＝(0,2,1)，AC→＝(2,4,0)，则n2·AE→＝0，n2·AC→＝0，即2y′＋1＝0，2x′＋4y′＝0⇒x′＝1，y′＝－12，所以平面ACE的一个法向量为n2＝1，－12，1.设二面角C－AE－D的大小为θ，则cosθ＝n1·n2|n1|·|n2|＝1×1－12×0＋1×012＋02＋02×12＋－122＋12＝23.结合图形可知二面角C－AE－D的余弦值为23.【解题法】向量法求空间角和距离的方法(1)向量法求异面直线所成角时应注意的问题①当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，那么这个锐角或直角就是该异面直线所成的角．②当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，那么这个钝角的补角才是异面直线所成的角．(2)利用向量法求线面角的方法①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(锐角或直角时)或其补角(钝角时)．②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线与平面所成的角．(3)向量法求二面角大小的两种方法①分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．②分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．(4)求点到平面距离的三种方法①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离．②在三棱锥中用等体积法求解．③向量法：d＝|n·MA→||n|(n为平面的法向量，A为平面内一点，MA为过A点的斜线段)．如图，在四棱锥A－BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝2.(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B－AD－E的大小．[正解](1)同上(2)以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.由题意知各点坐标如下：D(0,0,0)，E(1,0,0)，C(0,2,0)，A(0，2，2)，B(1,1,0)．设平面ADE的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面ABD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，可算得AD→＝(0，－2，－2)，AE→＝(1，－2，－2)，DB→＝(1,1,0)．由m·AD→＝0，m·AE→＝0，得－2y1－2z1＝0，x1－2y1－2z1＝0.可取m＝(0,1，－2)．由n·AD→＝0，n·BD→＝0，得－2y2－2z2＝0，x2＋y2＝0，可取n＝(1，－1，2)．于是|cos〈m，n〉|＝|m·n||m|·|n|＝33×2＝32.由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B－AD－E的大小是π6.[错解][错因分析]本题易出错的地方是误以为两个平面的法向量所成的角的大小等于所求二面角的大小，在计算时对两个平面的法向量所成的角和二面角的关系判断错误，导致计算结果出错．[心得体会]